復數(shù)域最小二乘平差及其在PolInSAR植被高反演中的應用

朱建軍，解清華，左廷英，汪長城，謝 建

中南大學 地球科學與信息物理學院，湖南 長沙410083

1 引 言

傳統(tǒng)的測量工作主要是在現(xiàn)實的實數(shù)空間中展開的，各種觀測值及待估參數(shù)都是實數(shù)值，因此目前平差函數(shù)模型和隨機模型以及相應的平差理論和方法都是建立在實數(shù)空間內(nèi)。隨著科學技術的發(fā)展，數(shù)據(jù)獲取方式的多樣化和現(xiàn)代化，近年來測繪及相關領域出現(xiàn)了一些以復數(shù)形式表達的觀測數(shù)據(jù)，比如極化干涉合成孔徑雷達（polarimetric SAR interferometry，PolInSAR）地表參數(shù)反演和植被高度估計［1－5］，核磁共振圖像（MRI）的邊緣檢測［6］，地震傳感器的相對和絕對定位［7］，通信信號處理［8－9］，多源遙感圖像融合［10］，GNSS 數(shù)據(jù)處理［11］、汛期降水預報等方面［12］。與實數(shù)數(shù)據(jù)一樣，這些復數(shù)數(shù)據(jù)同樣面臨著如何從帶有誤差的觀測值中找出未知量的最佳估計值的問題。經(jīng)典的測量平差目前主要是以高斯提出的最小二乘準則作為平差準則，即以觀測殘差V的平方和最小作為確定最佳參數(shù)的估計準則，但目前涉及復數(shù)觀測的數(shù)據(jù)處理時，主要還是依據(jù)觀測過程，分步或直接解算，不能考慮觀測誤差、多余觀測信息等。因此，本文考慮將實數(shù)域平差準則推廣到復數(shù)域，介紹復數(shù)域中數(shù)據(jù)處理的最小二乘方法。首先總結一下目前數(shù)學領域中針對復數(shù)域數(shù)據(jù)處理的兩種平差準則［12－14］和參數(shù)估計的數(shù)學表達式，然后采用數(shù)值算例定量對比了兩種準則的優(yōu)劣性。

為了進一步說明和推廣復數(shù)最小二乘在測繪相關領域中的應用，本文將其應用到復相干性極化干涉SAR植被高反演當中。PolInSAR技術綜合了InSAR對散射體高度敏感的特性，同時繼承了極化信息對散射體結構敏感的優(yōu)點［15－19］，已經(jīng)廣泛應用于森林植被高度反演。根據(jù)植被高反演觀測值為復數(shù)且存在多余觀測的特點，將復數(shù)域最小二乘準則引入到植被高反演當中，根據(jù)觀測值先驗統(tǒng)計信息定權，建立平差函數(shù)模型和隨機模型，構建一種復數(shù)最小二乘算法反演植被高度。該算法表達直觀，易于編程實現(xiàn)。為驗證算法有效性，本文利用極化干涉數(shù)據(jù)采用復數(shù)域最小二乘算法反演植被高，且與其他常用的兩種植被高反演算法比較，并對其反演結果作了定性和定量評價。

2 復數(shù)域最小二乘

對于復數(shù)域線性系統(tǒng)，其函數(shù)模型一般可以表示為

式中，Y＝［y1y2…ym］T表示復觀測向量；X＝［x1x2…xn］T表示復未知參數(shù)向量；d＝［d1d2…dm］T表示復誤差向量；觀測值數(shù)量m多于未知數(shù)個數(shù)n；B為復系數(shù)矩陣，它的每個元素都為復數(shù)

上述模型的基本形式和實數(shù)域最小二乘相同，不同點在于式中的每個元素都是復數(shù)。對于這樣的復數(shù)域平差問題，目前數(shù)學領域有兩種方法來進行處理：

（1）第1種方法是以復數(shù)觀測值殘差的實部和虛部的平方和分別最小作為平差準則［12－13］。即將觀測方程分解為實部和虛部，利用傳統(tǒng)的最小二乘分別求解未知參數(shù)的實部和虛部，然后合并參數(shù)實部和虛部的估計值從而得到最終的未知參數(shù)的估計值。下式即為分解后的觀測方程

式中，Re為取復數(shù)實部算子；Im為取復數(shù)虛部算子。假設PRe為觀測值實部的權，PIm為觀測值虛部的權。此時，這樣一個復數(shù)域平差問題就轉(zhuǎn)換成兩個實數(shù)域平差問題，然后利用經(jīng)典的實數(shù)域最小二乘準則，可以得到參數(shù)的最小二乘解為

（2）第2種方法是以復數(shù)觀測值殘差的模的平方和最小作為平差準則［12－14］。由于數(shù)學上模的平方等于實部的平方加上虛部的平方，故模的平方和最小意味著要保證復數(shù)觀測值的實部殘差平方和和虛部殘差平方和的總和最小。這種準則同時兼顧了觀測值的實部和虛部的誤差，其表達式為

由上述兩式對比可以發(fā)現(xiàn)，復數(shù)域最小二乘平差的結果與實數(shù)域最小二乘的結果在形式上基本相同，區(qū)別在于復數(shù)域的系數(shù)矩陣上多了個共軛。

值得注意的是，上述參數(shù)估計值均是針對復數(shù)線性系統(tǒng)參數(shù)求解問題，并基于不同平差準則通過構建法方程求解而得到的，本文稱這種解算參數(shù)的方法為直接解法。然而，在測量及相關領域中涉及復數(shù)觀測時非線性模型比較多。傳統(tǒng)的方法是將數(shù)學模型進行線性化近似，略去高次項，從而將非線性問題化作線性問題來求解，然后基于上述兩種準則求解未知參數(shù)。但是，當觀測模型顯式表達式十分復雜時，線性化比較困難，即使強行采取線性化近似，往往也會帶來較大的模型誤差，可能導致參數(shù)估計結果扭曲［20］，故此時應采用非線性最小二乘迭代法求解，在解空間內(nèi)逐一搜索迭代，直到找到滿足代價函數(shù)最小的那一組解，即為最小二乘準則下的最佳估值。這種解算方法本文稱之為迭代解法。至于具體采取哪一種解算方法，要根據(jù)觀測模型的復雜度來靈活選擇。

3 復數(shù)域平差準則對比

為了對比兩種平差準則應用于復數(shù)域平差問題的優(yōu)劣性，本文首先采用一個簡單例子來說明。為了獲取真值進行有效對比，本文利用復數(shù)域線性模型Y＝aX＋b構造算例。在構造時取復自變量X＝ ［1 3 2 7 2 1 9 15 3 －2 ］T＋i·［3 －2 1 －2 7 5 9 －3 15 －2］T，設未知參數(shù)的真值para＝［ab］T＝［1＋2i3－i］T，由此可得Y的真值Yt為

為了模擬觀測值的隨機噪聲，本文在Yt的實部和虛部分別加上一個均值為0、方差為1的一維高斯噪聲，從而構成了帶誤差的復數(shù)觀測值Y為

假定觀測值同等精度，即權陣為單位矩陣。接著，分別采用上面提到的兩種平差準則和兩種解算方法去求解。當采用殘差的實部和虛部的平方和分別最小的平差準則（4）和直接解法時，可得para的估計值

基于準則式（4）采用迭代解法時，可得para的估計值

采用殘差的模的平方和最小的平差準則式（5）和直接解法可得para的估計值

基于準則式（5）采用迭代解法可得para的估計值

表1給出了兩種準則分別應用直接解法和迭代法求得的參數(shù)統(tǒng)計指標對比。

由上述算例的參數(shù)估計結果以及統(tǒng)計指標對比結果中可以很直觀地看出：①對于復數(shù)域數(shù)據(jù)平差問題，采用殘差的模的平方和最小的準則得到的參數(shù)估計值，相比采用殘差的實部和虛部的平方和分別最小的平差準則得到的參數(shù)估計值更為準確，觀測值的標準差和均方根誤差更?。虎趯τ趶蛿?shù)域線性系統(tǒng)，直接解法和迭代解法得到的參數(shù)估計值相同。

4 PolInSAR植被高反演的復數(shù)最小二乘算法

目前PolInSAR植被高反演算法主要有：①三階段算法［5］；②DEM 差分算法［19］；③ESPRIT超分辨率算法［17－18］；④六維非線性最優(yōu)參數(shù)估計算法［4］。在這幾類算法中，前3種算法不屬于基于散射模型的直接參數(shù)解算方法，過程繁瑣，不易理解和編程實現(xiàn)，且不考慮觀測誤差，無法給觀測值定權從而評定精度。最后一種算法是一種直接參數(shù)解算方法，雖然易于理解，卻沒有考慮觀測值的先驗統(tǒng)計信息。此外，4種方法都沒有考慮多極化觀測提供的多余觀測信息。針對這些問題，本文提出用復數(shù)最小二乘來進行PolIn－SAR植被高反演。下面首先根據(jù)物理模型和先驗統(tǒng)計信息建立植被高反演的函數(shù)模型和隨機模型，然后構建復數(shù)最小二乘算法估計植被高度。

4.1 復數(shù)最小二乘植被高反演算法

4.1.1 復數(shù)最小二乘植被高反演算法的函數(shù)模型

根據(jù)極化干涉SAR理論，在進行距離向頻譜濾波消除基線幾何去相干后的任意極化的復相干性可以表示為［3－5］

式中，w為單位復數(shù)矢量，對應于某一種極化方式；φ0代表植被下的地表相位；hv代表植被高度；μ（w）為地體幅度比；γV表示只由植被層產(chǎn)生的純體相干性，其一般表達式為

式中，σ為消光系數(shù)，用于描述植被層散射體對入射波的吸收和散射過程；kz表示有效垂直波數(shù)，依賴于雷達波長λ和成像幾何（垂直基線B⊥，入射角θ和斜距R）。式（14）就是PolInSAR植被高反演的物理模型，即隨機地體二層相干散射模型（random volume over ground，RVOG）。

從測量平差角度來看，該模型可以看做是以多極化復相干性為觀測量，以植被高，消光系數(shù)等植被參數(shù)作為未知數(shù)的觀測方程。故可以將觀測方程作為平差的函數(shù)模型，將植被高求解看成是一個間接平差問題，則植被高平差求解的函數(shù)模型可以表示為

式中，L表示復觀測向量；V表示改正數(shù)向量；F表示函數(shù)關系（14）；＾表示平差符號。當具備一定觀測數(shù)量（N＞3時）時，則可以采用復數(shù)域最小二乘求解。

4.1.2 復數(shù)最小二乘植被高反演算法的隨機模型

為了獲取更為準確的參數(shù)估計值，本文這里考慮根據(jù)觀測值的先驗統(tǒng)計信息定權，從而得到測量平差所需要的隨機模型。根據(jù)極化SAR理論，不同極化的復相干性的模的中誤差表達式如下［21］

式中，L代表相干性估計時參與估計的獨立像元樣本總個數(shù)。在本文的植被高反演平差策略中，假定不同極化觀測值之間互相獨立。根據(jù)權的定義，本文選取中誤差最小的那一組極化通道的復相干性作為單位權觀測值，則可以得到任意極化通道觀測值的權為N代表參與平差的復相干性個數(shù)。式（17）即為的復數(shù)域最小二乘算法的隨機模型。

4.1.3 復數(shù)最小二乘植被高反演算法的平差策略

在建立了復數(shù)最小二乘植被高反演算法的函數(shù)模型和隨機模型模型后，接著就需要根據(jù)現(xiàn)有復數(shù)觀測值和平差準則估計植被參數(shù)。對于單基線全極化干涉觀測模式反演植被參數(shù)的情況，用戶在拿到數(shù)據(jù)時，觀測值只有3個線性極化通道HH、HV、VV（根據(jù)單站互易性原理HV＝VH）的復相干性γHH、γHV、γVV，沒有多余觀測。然而，根據(jù)電磁波極化合成理論，極化空間的任意極化通道的SAR信號都可以由3個線性極化通道的信號線性組合獲取［2］。因此，可以通過增加極化通道數(shù)量來增加復相干性的數(shù)量。由于RVOG模型中植被散射體各向同性的假設，所有的消光系數(shù)不依賴于極化通道，因此每增加一個極化通道的復相干性，實數(shù)觀測值數(shù)量增加兩個，未知數(shù)（即與極化相關的地體幅度比μ）增加一個，存在多余觀測。因此，本文從測量平差的角度出發(fā)，將這一問題看做一個復數(shù)域平差問題，利用建立的函數(shù)模型和隨機模型，并選取殘差模的平方和最小這一更優(yōu)的平差準則構建復數(shù)最小二乘算法進行植被參數(shù)求解。由于觀測模型為非線性模型，且模型的顯式表達式十分復雜，線性化過程困難，因此本文選用迭代法求解。具體地，假定選取的極化通道數(shù)為N，則PolInSAR植被高反演的復數(shù)最小二乘準則表達式為

式中，［M］表示觀測模型（14）。雖然增加極化通道觀測值可以提高多余觀測量，但同時未知數(shù)（地體幅度比μ）的個數(shù)也增加了，這樣會使得參數(shù)求解更為復雜，因此極化通道個數(shù)選擇不宜太多。同時為了改善平差中的病態(tài)問題，應當盡量選擇相關性小的極化通道，因此極化通道選取時要兼顧參數(shù)反演的復雜性和穩(wěn)健性。針對這一問題，本文在利用復數(shù)域最小二乘反演植被高時，選取了PD（phase diversity）相干最優(yōu)化極化方式和Pauli基極化方式共5個極化方式，即PDHigh、PDLow、HV、HH＋VV、HH－VV，此時觀測量個數(shù)有10個，未知數(shù)個數(shù)為8個，存在2個多余觀測量。

4.2 植被高反演質(zhì)量對比方法

為了了解復數(shù)最小二乘算法反演性能，本文采取兩種常用的PolInSAR植被高反演算法進行反演質(zhì)量對比，即DEM差分算法和三階段算法。

4.2.1 DEM 差分算法

DEM差分算法的基本思想是利用兩種相位中心高度分別接近于樹冠和樹底的極化方式的復相干性γwV和γwS。假設γwV對應的地體幅度比μwV為0，代入到RVOG模型可以求得地表相位的估計值＾φ0，將接近于樹冠的γwV與地表相位＾φ0的相位差作為植被高對應的干涉相位，最后根據(jù)相位高程轉(zhuǎn)換關系將相位差轉(zhuǎn)換為植被高＾hV。具體算法表達式如下［19］

根據(jù)物理先驗信息，對于植被覆蓋區(qū)域場景，一般可以認為HV極化對應著冠層內(nèi)的體散射機制，其散射中心接近于冠層，HH－VV極化對應著地面和樹干作用引起二面角散射機制，其散射中心接近于地表［22］。故本文中的DEM差分法反演植被高時，選取HV和HH－VV兩種極化方式的復相干性對應式（20）中的γwV和γwS。

4.2.2 三階段算法

三階段算法是由文獻［5］提出的一種基于RVOG模型的植被高反演幾何方法，它包括直線擬合、地表相位估計和植被高估計三個階段，其提取的植被高精度較高，是目前PolInSAR反演植被高最常用的方法。具體地，該方法首先將RVOG模型改寫成如下線性模型

由這個線性模型可知，復數(shù)觀測值在復平面理論上呈直線分布。該方法首先利用一定數(shù)量的極化觀測值通過直線擬合可以得到地表相位φ0，然后假設HV極化方式地體幅度比為0，即μHV＝0，從而可以求得純體相干性估計值~γV，接著建立二維查找表，找出差異最小的那一組值，從而求得植被高度hv，相應的約束條件如下

5 試驗結果及分析

5.1 數(shù)據(jù)介紹

由于獲取森林地區(qū)的植被高的實測資料比較困難，故本文采用歐空局發(fā)布的極化SAR數(shù)據(jù)處理軟件PolSARpro中的森林模擬器模塊模擬L波段全極化干涉數(shù)據(jù)來驗證算法的優(yōu)越性。表2為模擬數(shù)據(jù)參數(shù)表，圖1為模擬的植被場景圖和落葉林模型［23］。

圖1 模擬的植被場景圖（a）和落葉林模型（b）Fig.1 The simulated forest scene（a）and deciduous forest model（b）

表2 模擬SAR數(shù)據(jù)參數(shù)表Tab.2 Parameter list of simulated SAR data

在圖1中，中間圓形區(qū)域為植被覆蓋區(qū)域，其他區(qū)域為地面。圖2為場景對應的L波段極化干涉數(shù)據(jù)主影像對的HH、HV、VV 3個極化通道的功率圖及總功率圖。

圖2 L波段數(shù)據(jù)HH功率圖（a）、HV功率圖（b）、VV功率圖（c）Fig.2 L－band data power diagrams corresponding to HH（a），HV（b），VV（c）

5.2 植被高反演結果及分析

圖3所示的是本文提到的3種植被高反演算法得到的植被高剖面對比圖。其中，圖3（a）表示的是圖2（b）中標注的橫向剖面線（距離向）的植被高結果對比；圖3（b）表示的是圖2（b）中標注的縱向剖面線（方位向）的植被高結果對比。圖4為圖2（c）矩形方框區(qū)域內(nèi)的植被高結果統(tǒng)計直方圖。從這些結果可以直觀地看出：①3種方法反演的植被高在兩個方向的整體趨勢基本相同；②復數(shù)域平差法反演的植被高度略高于3階段算法結果，明顯高于DEM差分法結果；③DEM差分算法反演結果在距離向剖面出現(xiàn)部分負值。分析其原因主要是因為雷達觀測模式使得該像元內(nèi)散射機制在高度向分界不清晰，導致相干性估計獲取的HV和HH－VV兩種極化方式的相位中心相對位置與事先假定的相反。

圖3 L波段極化干涉數(shù)據(jù)植被高反演結果Fig.3 Tree height estimation based on L－band PolInSAR data

為了定量評價兩種算法的性能，表3給出了3種算法的統(tǒng)計指標比較，比較樣本數(shù)為10 000。從統(tǒng)計結果看，復數(shù)最小二乘算法得到的植被高平均值為9.17m，三階段算法為8.92m，DEM差分算法出現(xiàn)了較嚴重的低估現(xiàn)象，均值僅為4.18m。相比10m的植被高理論值，本文中的復數(shù)最小二乘算法提取的植被高結果更為準確，其反演精度明顯優(yōu)于DEM差分算法，略優(yōu)于三階段算法。從反演模型和具體實現(xiàn)過程來分析，3種方法都是基于RVOG模型，但是采取的策略各不相同。DEM差分算法利用兩個復相干性觀測值采用類似三階段法中直線擬合思想估計地表相位，但由于最后計算樹高時模型簡單，導致反演精度不高。三階段算法雖然反演精度較高，但整個過程繁瑣，不易理解和編程實現(xiàn)，且無法給觀測值定權從而評定精度。相比而言，復數(shù)平差算法則具有表達直觀、編程簡單、能進行精度評定的等優(yōu)點，且反演結果更為可靠。

圖4 兩種方法得到的植被高結果統(tǒng)計直方圖Fig.4 Histograms of tree height results corresponding to two methods

表3 反演算法性能Tab.3 The retrieval performance comparison m

6 結 論

本文針對復數(shù)域測量數(shù)據(jù)處理問題，把實數(shù)域最小二乘準則推廣到復數(shù)域，研究結果表明：

（1）對于目前復數(shù)域數(shù)據(jù)處理時常用的兩種平差準則，采用殘差的模的平方和最小的平差準則得到的參數(shù)估計結果比采用采用殘差的實部和虛部的平方和分別最小的平差準則得到的參數(shù)估計值更為準確，精度更高。

（2）采用復數(shù)域最小二乘的方法來處理極化干涉SAR植被高反演所得的植被高精度高，明顯優(yōu)于DEM差分算法的精度，略優(yōu)于三階段算法的精度，并且復數(shù)域最小二乘計算還具有表達直觀、編程簡單、能進行精度評定的等優(yōu)點。

（3）對于PolInSAR植被高反演的復數(shù)域最小二乘，觀測值按式（18）定權是可行的。

PolInSAR植被高反演模型只是復數(shù)平差模型的一個范例，實際上在大地測量的其他領域廣泛存在。目前在實數(shù)域最小二乘平差模型中已形成了一整套成熟的參數(shù)估計和精度評定的理論，而復數(shù)域測量相應的計算方法和精度評定尚無系統(tǒng)的理論與方法。因此，把局限于實數(shù)域的經(jīng)典最小二乘平差理論拓展到復數(shù)域，系統(tǒng)研究復數(shù)域平差模型的理論與方法，并根據(jù)復數(shù)本身的特性添加新的元素，擬建立起一整套復數(shù)非線性最小二乘的參數(shù)估計和精度評定的理論是今后研究的主要方向。

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