筑形態(tài)創(chuàng)建中的幾何方法——經(jīng)典二維不可定向流形在E3 中的浸入

黃志斌 張群力 黃 俊 蔣 輝

(浙江省建筑設(shè)計研究院，杭州 310006)

1 概述

正如皮特·賽納在他的著作【異質(zhì)空間】中所評論的，“建筑正在重塑自身，參與到對拓?fù)鋷缀蔚难芯恐腥ィ瑓⑴c到機(jī)器人材料生產(chǎn)的交響樂中，參與到生成、動力學(xué)塑造空間中去”。幾何的定義非常廣泛，按Riemann 的觀點幾何是由度量決定的，Klein 則提出了用變換群(代數(shù)方法)對幾何分類的觀點。二種觀點在法國大幾何家E.Cartan 提出聯(lián)絡(luò)觀點以后得到了統(tǒng)一。拓?fù)鋵W(xué)最初是幾何學(xué)的一個分支，研究拓?fù)湫误w上與連續(xù)性質(zhì)有關(guān)而與度量性質(zhì)無關(guān)的問題。按Klein 的觀點，拓?fù)鋵W(xué)就是研究流形在連續(xù)變換下保持不變的性質(zhì)的一種幾何。因而拓?fù)鋵W(xué)研究的問題更為本質(zhì)也更抽象。流形上的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是本質(zhì)的，但度量結(jié)構(gòu)則是附加的。拓?fù)淞餍问且环N柔軟、彎曲的形體或空間。建筑師在大腦中構(gòu)思建筑的形態(tài)時，就自然地在運(yùn)用流形的方法進(jìn)行思維了，在他腦海里所呈現(xiàn)出的拓?fù)湫误w就是流形。他可以運(yùn)用拓?fù)浞矫娴慕?jīng)驗與知識進(jìn)行抽象的思維。一旦該拓?fù)湫误w思考成熟后就采用草圖的方式勾畫在白紙上。接下來就是要將這個拓?fù)淞餍?柔軟的)嵌入或浸入到E3中來(賦予其歐氏度量)成為幾何模型(硬的)。M˙obius帶、Klein 瓶、實射影平面是連通、緊致、不可定向的二維流形。M˙obius 帶是開流形，Klein 瓶、實射影平面是閉流形。受視覺功能限制，我們無法看到嵌入在高維歐氏空間中的Klein 瓶和實射影平面。但可以看到它們在E3中的浸入子流形。這些子流形有著豐富的幾何、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，是非常理想的造型曲面。拓?fù)鋵W(xué)中的概念較為抽象，本文采用形象思維與抽象思維相結(jié)合，直覺與邏輯相結(jié)合的方式展開討論。

圖1 不同旋轉(zhuǎn)對稱的Boy's 曲面

2 流形與閉曲面拓?fù)浞诸?/h2>

2.1 流形簡介

流形的概念是歐氏空間的推廣，同時也是曲線曲面的抽象。歐氏空間是一種最簡單的流形。拓?fù)鋵W(xué)一般關(guān)心流形的整體(宏觀)性質(zhì)，而古典微分幾何關(guān)注流形的局部(微觀)性質(zhì)。由流形上的高斯-博(Gauss -Bonnet)公式可知:流形的局部幾何性質(zhì)與流形的整體拓?fù)湫再|(zhì)是密切相關(guān)的。用流形的方法來討論問題的好處之一就是可以從整體上討論幾何、拓?fù)溟g的關(guān)系。一般來講凡是可以參數(shù)化的幾何形體都是流形，例如NURBS 曲線、曲面，解析曲線、曲面，歐氏空間等等。

2.2 子流形的浸入與嵌入

嵌入、浸入:設(shè)M 和N 分別是m 維和n 光滑流形。若存在光滑映射F:M →N，使得:對?p ∈M，映射F 均為滿秩的，即rank(F)=m ≤n，則稱F 是M 在N 中的一個浸入，而稱M 在F下為N 的一個浸入子流形，記為(F，M)。映射F 為滿秩的條件下是單一映射，則稱F 是M 在N中的一個嵌入，(F，M)為N 的一個嵌入子流形。浸入在局部是單一的映射(這一點由滿秩決定)，但是在大范圍則不一定單一。因此，浸入子流形和嵌入子流形的區(qū)別在于像集F(M)在N 中是否有自交點。

2.3 流形的定向性

曲面(或二維流形)的定向性是曲面的整體、內(nèi)在的拓?fù)湫再|(zhì)。曲面(或二維流形)上的法向量從任一點出發(fā)，沿著曲面上任一閉曲線回到原處時法向量的方向若不變時稱該曲面(或二維流形)是可定向的。法向量的方向若變成相反時稱該曲面(或二維流形)為不可定向的。

2.4 拓?fù)湔澈?/h3>

在現(xiàn)實的物理時空中，建筑師會用一些小紙片涂上膠水粘出復(fù)雜的模型，或者用建筑模型材料搭出復(fù)雜的建筑模型。在抽象的拓?fù)淇臻g里則可以用內(nèi)蘊(yùn)的方法對拓?fù)鋵ο蟆餍芜M(jìn)行類似操作。拓?fù)湔澈?商映射)的方法是一種內(nèi)蘊(yùn)的方法，與外圍空間無關(guān)，對每一個粘合過程不必考慮是否能在歐氏空間中的實現(xiàn)問題。商映射就是粘拓?fù)淇臻g的膠水。它讓我們可以去刻畫以前無法想象的復(fù)雜空間，把它們分解成簡單直觀的小塊，并為分解和重新組裝等操作提供嚴(yán)謹(jǐn)可靠的拓?fù)浣忉?。例?將二個有界二維流形——圓盤(圓盤中部想象為可以突起)，沿著它們的邊界(一維子流形——圓)上對應(yīng)點粘合起來，可以得到一個二維閉流形——二維球面，這就是我們生活的現(xiàn)實世界——地球的拓?fù)淠Ｐ?。將二個三維流形——球體沿著它們的邊界(二維子流形——球面)上對應(yīng)點粘合起來，可以得到一個三維閉流形——三維球面，這就是Poincar˙e 所猜想的宇宙的拓?fù)淠Ｐ汀?/p>

2.5 閉曲面拓?fù)涞姆诸?/h3>

閉曲面分類定理:任何閉曲面必同胚于或球面，或者球面挖掉有限多個圓盤添上環(huán)柄，或者球面挖掉有限多個圓盤而補(bǔ)上M˙obius 帶。這些曲面中的任意兩個是不同胚的。在一個球面上挖掉n 個圓盤，再粘上n 個環(huán)柄后就得到閉曲面Mn，稱為虧格數(shù)為n 的可定向曲面，顯然M1就是圓環(huán)T1。而在一個球面上挖掉n 個圓盤，再粘上n 個M˙obius 帶后就得到閉曲面Pn，稱為虧格數(shù)為n 的不可定向曲面。當(dāng)然這種粘帖在E3空間無法具體實現(xiàn)。用曲面拓?fù)渲械恼迟N空間(商空間)法，可以證明P1就是實射影平面。而P2就是Klein 瓶。根據(jù)曲面拓?fù)鋵W(xué)，E3空間連通、緊致的閉曲面可按虧格數(shù)分類:球面虧格數(shù)為0，剩下來虧格數(shù)為正的(可定向的)一半是環(huán)面T1、雙環(huán)面T2……Tn;虧格數(shù)為負(fù)的(不可定向的)一半是實射影平面RP1、Klein 瓶、P2……Pn。M˙obius 帶是開流形，Klein 瓶、實射影平面是閉流形。與可定向的曲面相比不可定向曲面有著更豐富的幾何、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

圖2 二維緊致閉可定向曲面的拓?fù)浞诸?，虧格?shù)依次為0，1，2，3(網(wǎng)絡(luò)圖片)

3 莫比烏斯(M˙obius)帶與建筑造型

M˙obius 帶是二維不可定向的開流形，它可以嵌入到E3中。任何一個二維流形只要其上局部有M˙obius 帶，那么這個二維流形就是不可定向的。它的一個簡單的拓?fù)淠Ｐ褪?，將一個長方形紙條的一端固定，另一端扭轉(zhuǎn)180 度后，粘合在一起，得到的曲面就是M˙obius 帶。

圖3 M˙obius 帶的基本多邊形

圖4 帶M˙obius 在E3 中的一種嵌入

圖5 全球首座帶M˙obius 造型的三D 打印建筑將于2014年誕生，由荷蘭與德國工程師攜手制造(網(wǎng)絡(luò)圖片)

圖6 M˙obius 住宅，韓國設(shè)計師設(shè)計圖

圖7 M˙obius 塔BAU 建筑事務(wù)所

圖8 M˙obius 帶造型

4 克萊因(Klein)瓶與建筑造型

Klein 瓶是二維不可定向的虧格數(shù)為-2 的閉流形。Klein 瓶記作P2，它和環(huán)面T2都可以用一截圓柱面將兩個截口相互粘接得到。如果每一直母線的兩端粘合，得到的是環(huán)面，此時兩個截口是以相同的方相粘接的。如果讓兩個截口方相相反地粘接，得到的就是Klein 瓶。要實現(xiàn)這樣的粘接，必須將圓柱面彎曲后，把一端穿過管壁進(jìn)入管內(nèi)與另一端相接。在E3中這是做不到的，因為在進(jìn)入管內(nèi)之處必然要相交。但在E4中可以實現(xiàn)(讓相交點的第四個坐標(biāo)不同，從而把它們分開)。另一種構(gòu)造方法是，從一個球面挖去二個圓盤，并在此處添上二個M˙obius 帶，M˙obius 帶的邊緣是由一個整圓周構(gòu)成，將這個圓周與球面上所開洞的邊界圓周粘起來便可。這樣得到的閉曲面就是Klein 瓶。

圖9 Klein 瓶的基本多邊形

圖10 Klein 瓶在E3 中一種經(jīng)典浸入

圖11 2010 年上海世博會 委瑞內(nèi)拉館Klein 瓶造型(網(wǎng)絡(luò)圖片)

圖12 Klein 瓶在E3 中的經(jīng)典浸入

圖13 8 字Klein 瓶在E3 中的浸入

5 實射影平面與藝術(shù)造型

5.1 實射影平面簡介

實射影平面是二維不可定向的虧格數(shù)為-1 的閉流形。實射影平面記作RP1，它是射影幾何中的概念。拓?fù)鋵W(xué)中，有幾種描述它的方法:1)將矩形的兩對對邊按相反的方向粘合起來;2)把圓盤的邊界上每一對對徑點粘合起來;3)從一個球面挖去一個圓盤，并在此處添上一個M˙obius 帶，M˙obius 帶的邊緣是由一個整圓周構(gòu)成，將這個圓周與球面上所開洞的邊界圓周粘起來便可。這樣得到的閉曲面就是實射影平面(該過程中，不使自己相交的粘合最低維數(shù)的歐氏空間是E4)。實射影平面是無法嵌入到E3中的，但可以浸入到E3中，圖18 給出了實射影平面到E3中的幾種經(jīng)典浸入的圖形。實射影平面到E3中的最佳浸入是由數(shù)學(xué)家伯伊給出的，通常稱其為Boy's 曲面。其造型獨特、十分優(yōu)美是理想的建筑造型曲面。

圖14 Klein 瓶在E3 中的浸入的不同變異

圖15 實射影平面的基本多邊形

圖16 實射影平面在E3 中的最佳浸入Boy's 曲面

圖17 德國上沃爾法赫數(shù)學(xué)研究所大門內(nèi)的Boy's 曲面雕塑

圖18 其幾種實射影平面在中的經(jīng)典浸入，這些看上去不太相同的曲面，其實就是同一個拓?fù)淇臻gRP1 (實射影平面)在E3 中的不同浸入，不過它們有著相同“內(nèi)蘊(yùn)”的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

5.2 Boy's 曲面的繪制

利用復(fù)平面上的圓盤到E3中極小映射(Weierstrass表示)，得到葉輪狀極小曲面。再將葉輪狀極小曲面邊緣上的對徑點“粘合”起來，就得到了Boy's 曲面。

第一步:取復(fù)平面上單連通的單位圓域為定義域D，復(fù)變量z 采用極坐標(biāo)形式z=reiθ，得參數(shù)變動范圍為D:0 ≤r ≤1;0 ≤θ ＜2π。

第二步:由極小映射

計算出三葉狀極小曲面上離散點的三維空間坐標(biāo)(x，y，z)，利用Rhino 軟件繪制出它的NURBS 曲面(圖19)。

圖19 三葉狀極小曲面

第三步:粘合邊界上的對徑點得到Boy's 曲面，具體就是用下式:

計算出120 度旋轉(zhuǎn)對稱的Boy's 曲面上離散點的三維空間坐標(biāo)(X，Y，Z)，最后繪制出它的NURBS 曲面(圖20)。圖中可以看到，Boy's 曲面在R3中是自交的，因此它是E3的浸入而不是嵌入。另外Boy's 曲面是由極小曲面做粘合映射而得，但它不是極小曲面。

圖20 Boy's 曲面

圖21 Boy's 曲面同胚變換

圖22 Boy's 曲面空間網(wǎng)格造型

6 結(jié)語

人類是只能觀察三維物體的生物，我們在鏡中看到自己的圖象是三維物體在二維空間的投影。同樣地，通常人們展示的Klein 瓶、實射影平面的實物模型只不過是它們在E3中的某一種浸入而已(模型上都有一部分和另一部分重疊交叉)。真正的克萊因瓶、實射影平面都是二維不可定向的流形。是柔軟的拓?fù)湫误w而不是剛硬的幾何形體。它們只能嵌入到E4中。因此只能進(jìn)行想象卻又無法看到的。事實上，那些用現(xiàn)實建筑方式表現(xiàn)的克萊因瓶、實射影平面也只是采用了它們在E3中浸入的某種浸入的造型，建筑師只是從中獲得概念性的啟示。同時從這些不同浸入的造型以及它們的拓?fù)渥冃沃蝎@得理想的建筑形態(tài)。建筑形態(tài)一般是基于歐氏幾何的，現(xiàn)在逐步出現(xiàn)了一些基于非歐幾何、流形幾何的傾向。這反映了當(dāng)代技術(shù)、科學(xué)、哲學(xué)和美學(xué)的發(fā)展。當(dāng)然這一切源自于思想的解放、觀念的更新和技術(shù)的提高。

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［4］劉濱.拓?fù)鋵W(xué)在當(dāng)代建筑形態(tài)與空間創(chuàng)作中的應(yīng)用.天津大學(xué)學(xué)位論文

［5］李娜.空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)幾何形態(tài)研究與實現(xiàn).浙江大學(xué)學(xué)位論文

［6］ROB KUSNER CONFORMAL GEOMETRY AND COMPLETE MINIMAL SURFACES BULLETIN(New Series)OF THE AMRICAN MATHEMATICAL SOCIETY.1987，17(2)

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