素超代數(shù)上廣義超導(dǎo)子的線性組合

袁 鶴

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

素超代數(shù)上廣義超導(dǎo)子的線性組合

袁 鶴

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

本文給出了超代數(shù)上廣義超導(dǎo)子的定義并研究了素超代數(shù)上廣義超導(dǎo)子的線性組合．

素超代數(shù)；超導(dǎo)子；廣義超導(dǎo)子

1957年，Posner[1]指出非交換素環(huán)上的中心化導(dǎo)子必為零．Posner定理發(fā)表之后，出現(xiàn)了大量研究素環(huán)上映射的文獻(xiàn)．二十世紀(jì)末，人們對超代數(shù)產(chǎn)生了濃厚的興趣，許多學(xué)者把素環(huán)上的理論推廣到了素超代數(shù)上，其中Chen[2]把Posner定理推廣到了素超代數(shù)上．

1993年，Bresar 研究了素環(huán)上導(dǎo)子的線性組合，他在文獻(xiàn)[3]中證明了：設(shè)R是素環(huán)，d,g,h是R上的導(dǎo)子，若存在非中心元素a,b滿足d(x)=ag(x)+h(x)b，則存在λ∈C，使得d(x)=[λab,x]，g(x)=[λb,x]，h(x)=[λa,x]，其中C是R的擴(kuò)展形心．1998年，牛鳳文[4]討論了素環(huán)上三個(gè)導(dǎo)子的線性組合，證明了：設(shè)R是素環(huán)，f,h,t是R上的非零導(dǎo)子，a,b,c∈R且af+bh+ct仍為R上的導(dǎo)子，如果b,c在R中的中心化子不相等，則存在λ,μ，ρ∈C，使得h=μf，t=λf，ρ=a+μb+λc．2002年，王宇[5]去掉了牛鳳文關(guān)于中心化子的限制，從而得到了更完整的結(jié)論．2008年，本文作者[9]討論了素超代數(shù)上超導(dǎo)子的線性組合．本文的目的是研究素超代數(shù)上廣義超導(dǎo)子的線性組合．

若超代數(shù)A滿足當(dāng)aAb=0時(shí)，有a=0或b=0，其中a,b∈A0∪A1，則稱A是素超代數(shù)．Montaner[6]證明了:若A是素超代數(shù)，則A和A0作為代數(shù)是半素的且至少有一個(gè)是素的，所以可以構(gòu)造A的擴(kuò)展形心C和極大右商環(huán)Qmr．關(guān)于它們的結(jié)構(gòu)及相關(guān)性質(zhì)可參見[7]．

下面我們給出超代數(shù)上廣義超導(dǎo)子的定義和一些經(jīng)常用到的引理．

定義：設(shè)A是超代數(shù)且i∈{0，1}，稱一個(gè)A到A的Φ—線性映射gi是度為i的廣義超導(dǎo)子，如果它滿足gi(Aj)?Ai+j，j∈Z2且存在A上度為i的超導(dǎo)子di滿足gi(ab)=gi(a)b+(-1)i|a|adi(b)，a,b∈A0∪A1．如果g=g0+g1，則稱g是A上的廣義超導(dǎo)子；d=d0+d1為g的伴隨超導(dǎo)子．

(i)若C1=0，則對于任意的xk∈Ak有

引理2([9]，引理3.1)：設(shè)A是素超代數(shù)，f,h,t是A上超導(dǎo)子，若存在a,b,c∈A滿足af+bh+ct為A上超導(dǎo)子，則對于任意的x,y∈A有

[a,x]f(y)+[b,x]h(y)+[c,x]t(y)=0．

引理3([9]，引理2.4)：設(shè)A是素超代數(shù)，f,g為A上超導(dǎo)子，a,b∈A，若對于任意的x∈A有af(x)+bg(x)=0，則對于任意的x,y∈A有axf(y)+bxg(y)=0．

引理5([11]，定理3.1)：設(shè)A是素超代數(shù)，g是A上廣義超導(dǎo)子，則g可被擴(kuò)張到Qmr上且存在a∈Qmr和A上的超導(dǎo)子d滿足g(x)=ax+d(x)，a和d是由g唯一確定的．

定理1：設(shè)A是素超代數(shù)，d,f,g,h為A上非零廣義超導(dǎo)子，ω，α，β，γ為其非零伴隨超導(dǎo)子．若對于任意的x∈A有d(x)=af(x)+bg(x)+ch(x)，其中a,b,c∈A，則下列條件成立：

(i) 對于任意的x∈A有ω(x)=aα(x)+bβ(x)+cγ(x)，

(ii){a,b,1}，{b,c,1}，{a,c,1}中一個(gè)是C-相關(guān)集，或存在不全為零的λ,ρ,ε∈C使得λf+ρg+εh為左乘映射．

證明：(I)當(dāng)a,b,c中任兩個(gè)為零時(shí)，不妨設(shè)b=c=0．由假設(shè)，

d(x)=af(x),x∈A

所以

d0(x)=a0f0(x)+a1f1(x)；d1(x)=a0f1(x)+a1f0(x)．

以兩種不同的方式展開d0(xy)，有

d0(xy) =a0f0(xy)+a1f1(xy)

=a0f0(x)y+a0xα0(y)+a1f1(x)y+a1σ(x)α1(y)

d0(xy) =d0(x)y+xω0(y)

=a0f0(x)y+a1f1(x)y+xω0(y)．

比較上面兩個(gè)式子，對于任意的x,y∈A有

xω0(y)=a0xα0(y)+a1σ(x)α1(y)．

(1)

在(1)中取x0∈A0有

x0ω0(y)=a0x0α0(y)+a1x0α1(y).

(2)

由引理1，當(dāng)C1≠0時(shí)，有xω0(y)=a0xα0(y)+a1xα1(y)．

當(dāng)C1=0時(shí)，在(1)中取x1∈A1，yi∈A0∪A1有

x1ω0(yi)=a0x1α0(yi)-a1x1α1(yi)，

由引理1有

x1ω0(yi)=a0x1α0(yi)，a1x1α1(yi)=0．

相加有

x1ω0(yi)=a0x1α0(yi)+a1x1α1(yi)．

所以

x1ω0(y)=a0x1α0(y)+a1x1α1(y)．

(3)

由(2)和(3)有xω0(y)=a0xα0(y)+a1xα1(y)．

同理展開d1(xy)有xω1(y)=a0xα1(y)+a1xα0(y)，所以

xω(y) =xω0(y)+xω1(y)

=a0xα0(y)+a1xα1(y)+a0xα1(y)+a1xα0(y)

=axα(y)．

因?yàn)樗爻鷶?shù)上任意的廣義超導(dǎo)子可擴(kuò)張到Qmr上且1∈Qmr，所以取x=1，顯然(i)和(ii)成立．

(Ⅱ)當(dāng)a,b,c中有且只有一個(gè)為零時(shí)，不妨設(shè)c=0．由假設(shè)，

d(x)=af(x)+bg(x),x∈A，

則

d0(x)=a0f0(x)+b0g0(x)+a1f1(x)+b1g1(x)；

d1(x)=a0f1(x)+b0g1(x)+a1f0(x)+b1g0(x)．

和(Ⅰ)一樣的方法有ω(x)=aα(x)+bβ(x)，所以(i)和(ii)成立．

(Ⅲ)當(dāng)a,b,c均不為零時(shí)，對于任意的x∈A有

d(x)=af(x)+bg(x)+ch(x)；

d0(x)=a0f0(x)+b0g0(x)+c0h0(x)+a1f1(x)+b1g1(x)+c1h1(x)；

d1(x)=a0f1(x)+b0g1(x)+c0h1(x)+a1f0(x)+b1g0(x)+c1h0(x)．

和(Ⅰ)一樣的方法可得ω(x)=aα(x)+bβ(x)+cγ(x)，所以(i)成立．

由引理2，對于任意的x,y∈A有[a,x]α(y)+[b,x]β(y)+[c,x]γ(y)=0．

由引理3，對于任意的x,y,z∈A有

[a,x]zα(y)+[b,x]zβ(y)+[c,x]zγ(y)=0．

(4)

在(4)中用w代替y，右乘γ(y)有

[a,x]zα(w)γ(y)+[b,x]zβ(w)γ(y)+[c,x]zγ(w)γ(y)=0．

在(4)中用zγ(w)代替z有

[a,x]zγ(w)α(y)+[b,x]zγ(w)β(y)+[c,x]zγ(w)γ(y)=0．

比較上面兩個(gè)式子有

[a,x]z[α(w)γ(y)-γ(w)α(y)]+[b,x]z[β(w)γ(y)-γ(w)β(y)]=0．

若α(w)γ(y)-γ(w)α(y)≠0或β(w)γ(y)-γ(w)β(y)≠0，由引理4存在不全為零的λ1,λ2∈C使得λ1[a,x]+λ2[b,x]=0，所以[λ1a+λ2b,x]=0，即λ1a+λ2b∈C，顯然(ii)成立．

因此，若{a,b,1}，{b,c,1}，{a,c,1}均為C-無關(guān)集，則必有

α(w)γ(y)-γ(w)α(y)=0；β(w)γ(y)-γ(w)β(y)=0．

比較上面兩個(gè)式子有

[α(w)-β(w)]γ(y)-γ(w)[α(y)-β(y)]=0．

用y代替w有[α(y)-β(y)]γ(y)-γ(y)[α(y)-β(y)]=0．

由引理3，對于任意的x,y∈A有[α(y)-β(y)]xγ(y)-γ(y)x[α(y)-β(y)]=0．

由引理4，存在不全為零的λ3，λ4使得λ3α(y)-λ3β(y)=λ4γ(y)．

由引理5，設(shè)f(x)=mx+α(x)，g(x)=nx+β(x)，h(x)=px+γ(x)，其中m,n,p∈Qmr，所以λ3f(x)-λ3g(x)-λ4h(x)=(λ3m-λ3n-λ4p)x，因此存在不全為零的λ,ρ，ε∈C使得λf+ρg+εh為左乘映射．

[1]E.C.Posner.Derivations in prime rings [J].Proc.Amer.Math.Soc.,1957,8:1093-1100.

[2]T.S.Chen.Supercentralizing superderivations on prime superalgebras [J].Comm.Algebra,2005,33:4457-4466.

[3]M.Bresar.Centralizing mappings and derivations in prime rings [J].J.Algebra,1993,156(2):385-394.

[4]牛鳳文.素環(huán)上導(dǎo)子的線性組合 [J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào),1998,1:24-26.

[5]Y.Wang.The linear combination of derivations in prime rings [J].Northeast.Math.J.,2002,18(4):298-302.

[6]F.Montaner.On the Lie structure of associative superalgebras [J].Comm.Algebra,1998,26(7):2337-2349.

[7]K.I.Beidar,W.S.III.Martindale,A.V.Mikhalev.Rings with Generalized Identities[M]．Dekker,New York,1996.

[8]Y.Wang.On-derivations of rings [J].J.of Math.(PRC),2003,23:64-66.

[9]He.Yuan.A linear combination of superderivations on prime superalgebras [J].Northeast.Math.J.,2008,24(5):399-408.

[10]M.Fosner.On the extended centroid of prime associative superalgebras with applications to superderivations [J].Comm.Algebra,2004,32(2):689-705.

[11]H.Yuan,Y.Wang.The product of generalized superderivations on a prime superalgebra [J].Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics,accept.

TheLinearCombinationofGeneralizedSuperderivationsonPrimeSuperalgebras

YUANHe

(College of Mathematics,Jilin Normal University,Siping 136000,China)

In the paper, we give the definition of generalized superderivations on superalgebras and study the linear combination of generalized superderivations on prime superalgebras.

prime superalgebra; superderivation; generalized superderivation.

梁懷學(xué))

2014-05-16

吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(吉教科合字[2013]第210號)

袁 鶴(1983-)，女，吉林省四平市人，現(xiàn)為吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院講師，在讀博士.研究方向：代數(shù)環(huán)論.

O153.3

A

1674-3873-(2014)03-0090-03