強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)

王海英，符祖峰，楊筱珊

(安順學(xué)院數(shù)理學(xué)院，安順 貴州561000)

0 引言

在最優(yōu)化理論、管理科學(xué)、對策論及工程中，凸集及凸函數(shù)都起著相當(dāng)重要的作用.近年來，關(guān)于凸性及其各種形式的推廣的研究成果越來越多(見［1-9］及其中的參考文獻(xiàn)).1988年，Weir和Mond在文獻(xiàn)［4］中引入了不變凸集，隨后Weir和Jeyakwmar在文獻(xiàn)［5］中提出了預(yù)不變凸函數(shù)的概念，并且研究了它們的若干性質(zhì)及應(yīng)用.2001年，Yang和Li在文獻(xiàn)［6］中又給出了預(yù)不變凸函數(shù)的其它一些性質(zhì).顏麗佳和劉芙萍在文獻(xiàn)［7］中討論了半連續(xù)函數(shù)與強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)的關(guān)系，秦春蓉在文獻(xiàn)［8］中通過對文獻(xiàn)［7］中定理?xiàng)l件的削弱得到了同樣的結(jié)論.

受以上研究成果的啟發(fā)，本文對強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)作了進(jìn)一步研究，在更弱的條件下討論半連續(xù)函數(shù)與強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)之間的關(guān)系，簡化了強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)一些性質(zhì)定理的證明.并進(jìn)一步給出強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)在數(shù)學(xué)規(guī)劃問題中的兩個應(yīng)用，從而完善了對此類廣義凸函數(shù)的研究，這些結(jié)果也豐富了廣義凸性理論.

1 預(yù)備知識

在本文我們約定X?Rn，f:X→R和η:Rn×Rn→Rn是兩個函數(shù).

定義 1.1［7］如果?x，y∈X，?λ∈［0，1］有

則稱X是不變凸集.

定義 1.2［7］設(shè) X 是不變凸集，如果?x，y∈X，?λ∈［0，1］有

則稱f是預(yù)不變凸函數(shù).

定義 1.3［7］設(shè) X 是不變凸集，如果?x，y∈X，?λ∈［0，1］，存在 β ＞0，使得

則稱f是強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù).

條件 C［7］若?x，y∈X，?λ∈［0，1］有，

則稱η滿足條件C.

條件D［7］設(shè)X是不變凸集，若?x，y∈X有則f稱滿足條件D.

條件 H［7］設(shè) X 是不變凸集，如果 λn∈［0，1］且 λn→λ，則?ε ＞0，?正整數(shù) N，當(dāng) n ＞N 時，對?x，y∈x都有

則f稱滿足條件H.

則f是強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù).

2 主要結(jié)果

本節(jié)我們將在適當(dāng)?shù)臈l件下，分別建立強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)與上半連續(xù)函數(shù)和下半連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系，簡化強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)一些性質(zhì)定理的證明.同時給出強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)在數(shù)學(xué)規(guī)劃中的兩個重要應(yīng)用.

定理2.1 設(shè)X是不變凸集，f上半連續(xù)且滿足條件D，η滿足條件C，則f是強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，?α∈(0，1)，使得對任意?x，y∈X，存在 β ＞0 有

證明 事實(shí)上，我們只需證明充分性.假設(shè)f不是強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，則∈(0，1)和β ＞0，對?x，y∈X有

令

因f上半連續(xù)，則g(λ)在［0，1］上也上半連續(xù)，從而由上半連續(xù)函數(shù)在緊集上可取得最大值的結(jié)果知，g(λ)在［0，1］上存在最大值 M0.令

易知g(0)=0，由f滿足條件D可知

因而 λ0∈(0，1).

選取 δ，使得

令

由η滿足條件C有

從而

我們有

矛盾，故f是強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù).

定理2.2 設(shè)X是不變凸集，f下半連續(xù)則f是強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，?α∈(0，1)，使得對任意?x，y∈X，存在 β ＞0 有

證明 事實(shí)上，我們只需證明充分性.

令

如果 λn∈A 且 λn→λ，則由 A 的定義，對?x，y∈X，有

又f下半連續(xù)，則f滿足條件H，即對?ε＞0，?正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時，對?x，y∈X都有

由(1)、(2)可得

再由λn→λ和ε的任意性，有

即f是強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù).

注2.1 定理2.1、定理2.2沒用到文獻(xiàn)［7］中X是開集這一條件.

注2.2 定理2.2排除了文獻(xiàn)［7］中集合A在［0，1］上的稠密性.

考慮下面的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題:

因f是強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，從而對于?λ∈［0，1］有，

當(dāng)λ充分小時，我們有

(2)唯一性證明.假設(shè)x0，x1∈K為規(guī)劃問題(P)的兩相異全局最優(yōu)點(diǎn)，則x0≠x1且f(x0)=f(x1).由于 X 是不變凸集，則對于?λ∈［0，1］，x0+λη(x1，x0)∈X.因 f是強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，從而有

當(dāng) x0≠x1，由條件 C 有 η(x0，x1)≠0，從而

這與x0是規(guī)劃問題(P)的全局最優(yōu)解矛盾，因此規(guī)劃問題(P)的全局最優(yōu)解唯一.

定理2.4 設(shè)X是不變凸集，f是強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，則規(guī)劃問題(P)的最優(yōu)解集是不變凸集.

證明 設(shè)x，y是規(guī)劃問題(P)的兩相異解，由于X是不變凸集，即對于?λ∈［0，1］，有z=y+λη(x，y)∈X.因f是強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)，從而有

當(dāng) x≠y，由條件 C 有 η(x，y)≠0，從而于是z=y+λη(x，y)也是規(guī)劃問題(P)的最優(yōu)解，所以規(guī)劃問題(P)的最優(yōu)解集是不變凸集.

注2.3 定理2.3和定理2.4不但可以看作是強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)的兩個很好的性質(zhì)，而且給出了強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)在極小化問題中的應(yīng)用，從而說明了強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)在數(shù)學(xué)規(guī)劃中也有著非常重要的意義和地位.

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［7］顏麗佳，劉芙萍.強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2005，22(1):11～15.

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