基于正交距離最短的平面線形擬合方法及應(yīng)用*

王利朋，劉成龍，楊雪峰

(西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川成都611756)

隨著我國高速鐵路的發(fā)展以及普速鐵路的提速，鐵路軌道的平順性評價以及軌道不平順處的調(diào)整逐漸成為一個非常重要的研究課題。軌道不平順不僅限制列車運行的速度，還直接影響列車運行的平穩(wěn)性。當(dāng)線路設(shè)計文件缺失或現(xiàn)有的線路設(shè)計文件不再具有現(xiàn)實性時，就需要通過線形擬合確定一個與既有線路實際情況最為契合的線形，這一工作稱為軌道線形整正優(yōu)化，傳統(tǒng)上這個過程中采用的基本準(zhǔn)則為最小二乘準(zhǔn)則。利用最小二乘原理可以簡便地求出既有線直線段與圓曲線段擬合模型中的未知參數(shù)，即直線的斜率和截距、圓曲線的圓心和半徑，并且使得殘差平方和最小。傳統(tǒng)的最小二乘擬合方法只考慮線路平面坐標(biāo)觀測值(x，y)中單一變量x或y的測量誤差，實際測量過程中坐標(biāo)x與y均有誤差［1－3］，而依據(jù)正交距離最短的原則進(jìn)行既有線線形的擬合，就是同時考慮x與y均有誤差。本文依據(jù)正交距離最短的原則進(jìn)行鐵路既有線線形的擬合，并將它與傳統(tǒng)的的最小二乘擬合方法進(jìn)行對比。通過實例計算和精度評定，證明了基于正交距離最短的最小二乘線形擬合效果要優(yōu)于傳統(tǒng)的最小二乘線形擬合，前者可以得出與軌道線形最為契合的函數(shù)模型。正交距離最小二乘線形擬合按照撥道量的平方和最小這一準(zhǔn)則確定法方程并求解模型參數(shù)，不僅簡化了參數(shù)求解過程，提高了線形擬合的整體精度，而且獲得了更小的圓度。

1 正交距離最短的線形擬合原理

1.1 正交距離最短的直線擬合原理

設(shè)欲擬合的直線方程為:

式(1)中a和b分別為直線的截距和斜率，設(shè)a0和b0為a和b的近似值，δa和δb為a0、b0的改正數(shù)，于是有:

任一平面測點(xi，yi)到擬合直線距離的平方為:

即正交距離最短的直線擬合誤差方程的矩陣形式為:

則未知參數(shù)的方差－協(xié)方差陣為:

1.2 正交距離最短的圓曲線擬合原理

設(shè)欲擬合的圓曲線方程為:

把式(6)的結(jié)果代入式(5)后，可按下式計算驗后單位權(quán)方差為:X0，Y0和 R0分別為和的近似值，δx，δy和 δr為圓曲線方程中參數(shù)的改正數(shù)，則:

任一平面測點(Xi，Yi)到擬合圓的距離為:

將式(11)在(X0，Y0，R0)處按照多元函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式進(jìn)行展開，并略去二次項和更高次項后得到線性化的距離誤差方程純量形式為:

上述距離矩陣形式的誤差方程為:

設(shè)Si等精度，按照最小二乘準(zhǔn)則求解，得到圓曲線參數(shù)改正數(shù)的平差值:

之后，可按照式(7)和式(8)類似的原理，計算圓曲線擬合后的驗后單位權(quán)方差和未知參數(shù)的方差－協(xié)方差陣。

2 正交距離最短與普通最小二乘法線形擬合的比較與分析

為了比較正交距離最短最小二乘與普通最小二乘的線形擬合效果差異情況，采用某普速鐵路上一段直線數(shù)據(jù)與一段圓曲線數(shù)據(jù)進(jìn)行計算實驗，然后通過比較不同擬合方法計算得出的參數(shù)估值的精度、樣本點的殘差以及驗后單位權(quán)中誤差，分析不同擬合方法的擬合效果。由于軌道線形測量數(shù)據(jù)量龐大，在此僅列出利用直線段10個樣本點進(jìn)行擬合的對比結(jié)果和利用圓曲線段18個樣本點進(jìn)行擬合的對比結(jié)果。直線段樣本點坐標(biāo)如表1所示，2種方法擬合的殘差如表2所示，參數(shù)估值及精度信息如表3所示。圓曲線段樣本點坐標(biāo)如表4所示，殘差對比如表5所示，圓曲線擬合的參數(shù)估值及精度信息如表6所示。

表1 直線段線形擬合樣本點Table 1 Sample points of line－fitting

表2 直線段不同擬合方法計算的殘差Table 2 Residual errors of different line－fitting methods

表3 直線段不同擬合方法計算的參數(shù)估值及精度信息Table 3 Parametric estimation and precision of different line－fitting methods

為了更準(zhǔn)確地描述軌道線形實測點與擬合線形的接近程度，引入圓度作為一個評價標(biāo)準(zhǔn)。圓度是指圓柱體截面上一個實際圓與理論圓(本文中理論圓為擬合圓)的接近程度，為最大外接圓半徑與最小內(nèi)接圓半徑之差值［4］。引入到線形擬合中，可以表示為線形實測點到擬合線形的最大與最小距離之差，也可以表示為所有樣本點的最大與最小殘差的差值，此時，表2中的“+”、“－”作為數(shù)學(xué)意義上的正負(fù)參與運算。該指標(biāo)表示實際線形相對于擬合線形的波動范圍，在軌道調(diào)整中可以代表撥道量的區(qū)間。

從表2可以看出，正交距離最小二乘法的殘差更加均勻，其圓度為e1=1.39 mm，即軌道調(diào)整時撥道量區(qū)間較小;而普通最小二乘法的殘差分布不均勻，其圓度為e2=3.86 mm，撥道量區(qū)間相對較大，不利于軌道的調(diào)整。從驗后的精度信息來看，表3中數(shù)據(jù)表明正交距離最小二乘法解算的參數(shù)精度高于普通最小二乘法，說明這種方法得到的線形更加符合實際情況。

表4 圓曲線段曲線擬合樣本點Table 4 Sample points of circular curve－fitting

表5 圓曲線段不同擬合方法計算的殘差Table 5 Residual errors of different circular curve－fitting methods

表6 圓曲線段不同擬合方法計算的參數(shù)估值及精度信息Table 6 Parametric estimation and precision of different circular curve－fitting methods

如表5所示，正交距離最小二乘法計算得出的殘差總體上要小于普通最小二乘法且更加均勻，表6數(shù)據(jù)表明正交距離最小二乘法的驗后單位權(quán)中誤差要優(yōu)于普通最小二乘法，2種方法的參數(shù)精度幾乎相等。正交最小二乘法的圓度為e3=4.5 mm，而普通最小二乘法的圓度為e4=10.3 mm，即2種方法的軌道調(diào)整量相差5.8 mm，因此，在進(jìn)行圓曲線擬合時，正交最小二乘法要優(yōu)于普通最小二乘法。出于工程量和工作效率的考慮，理應(yīng)以正交距離最小二乘法取代普通最小二乘法作為線形擬合的最優(yōu)方法，并以此為依據(jù)計算撥道量。

3 結(jié)論

(1)從前面所述的2種擬合方法的擬合原理可以看出，基于正交距離最短的最小二乘法同時考慮了樣本點在x和y 2個方向上的誤差，而普通最小二乘法僅考慮了一個方向上的誤差。因此，按照正交最小二乘法所開列的誤差方程要優(yōu)于普通最小二乘法。

(2)通過實測數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果可以看到，正交距離最小二乘法的殘差總體上小于普通最小二乘法的殘差。而且前者的圓度小于后者，這一點對于既有線的整正優(yōu)化具有重要意義，因為圓度的大小直接決定了軌道調(diào)整量的區(qū)間，這也說明了正交距離最小二乘法有利于減少工作量，從而提高工作效率。

(3)采用本文提供的算法，直線擬合中驗后精度提高了2～3倍，軌道調(diào)整量區(qū)間減小了2.47 mm;圓曲線擬合中驗后精度幾乎相等，軌道調(diào)整量區(qū)間減小了5.80 mm。因此，在線形擬合和軌道調(diào)整工作中應(yīng)采用正交距離最小二乘法取代普通最小二乘法是具有實際意義的。

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