一類可映射為Riemann空間的Riemann－Cartan位形空間

王 勇，陳英華

（廣東醫(yī)學(xué)院 信息工程學(xué)院，廣東 東莞523808）

0 引言

非完整約束系統(tǒng)是一類受到不可積分的非完整約束的力學(xué)系統(tǒng)。盡管經(jīng)典力學(xué)中的Lagrange原理和Hamilton原理近乎完美地解決了完整約束系統(tǒng)的運動問題，但在將上述理論推廣至非完整約束問題時卻遇到了極大的困難?！胺峭暾到y(tǒng)和完整系統(tǒng)的差別在于，完整系統(tǒng)的運動可以用第二類Lagrange方程來描述，而非完整系統(tǒng)需用更復(fù)雜的微分方程來表征”［1］。從幾何的角度看，完整約束系統(tǒng)的位形空間是有曲率、無撓率、且有自然辛結(jié)構(gòu)的Riemann位形空間，而非完整約束系統(tǒng)的位形空間則是有曲率且有撓率的Riemann－Cartan位形空間［2－6］。將完整約束問題的經(jīng)典分析力學(xué)原理推廣至非完整約束問題中，本質(zhì)上是將經(jīng)典分析力學(xué)原理從Riemann位形空間推廣至具有更復(fù)雜結(jié)構(gòu)的Riemann－Cartan位形空間。一般來說，撓率的存在將破壞系統(tǒng)位形空間的辛結(jié)構(gòu)，這正是無法將基于辛幾何的經(jīng)典分析力學(xué)原理直接推廣至非完整系統(tǒng)的根本原因。因此，深入研究Riemann－Cartan位形空間的幾何結(jié)構(gòu)是研究非完整力學(xué)的一項基礎(chǔ)且重要的理論工作。

我們在之前的研究中提出，對一階定常線性約束系統(tǒng)，可以通過約束構(gòu)造出從高維平直空間到不含約束的、低維位形空間的一階線性映射，并由此計算出該位形空間的幾何結(jié)構(gòu)［4－7］。可以證明，若此約束系統(tǒng)為完整約束系統(tǒng)，則可構(gòu)造出一階線性可積映射，與該映射對應(yīng)的系統(tǒng)的位形空間是無撓率、有曲率的Riemann空間；若此約束系統(tǒng)為非完整約束系統(tǒng)，則構(gòu)造出的一階線性映射不可積，與該映射對應(yīng)的系統(tǒng)的位形空間是有撓率的（一般來說也有曲率）Riemann－Cartan空間，由于此位形空間中存在撓率，因此一般情況下不具有自然的辛結(jié)構(gòu)。

本文將指出，并不是所有的Riemann－Cartan位形空間都沒有辛結(jié)構(gòu)。存在一種特殊的Riemann－Cartan位形空間，可以通過引入一個無約束的一階線性不可積映射，將其映射為一個Riemann位形空間，這說明此類特殊的Riemann－Cartan位形空間本質(zhì)上就是一個完整約束系統(tǒng)的位形空間，因此也具有辛結(jié)構(gòu)，只不過其辛結(jié)構(gòu)需要通過引入一個合適的無約束的一階線性不可積映射才能表現(xiàn)出來。

為方便起見，文中采用愛因斯坦求和約定，并對指標取值范圍作如下規(guī)定：拉丁字母i，j，k，l＝1，2，…，n；羅馬字母μ，ν，ρ，σ，λ＝1，2，…，n－m；希臘字母α，β，γ，ξ的取值范圍和羅馬字母一致。

1 可映射為Riemann空間的Riemann－Cartan位形空間

對由N個粒子組成的、受到3N－m個約束的約束系統(tǒng)，設(shè)ciρ為定義在其n維（n＝3 N）平直位形空間［X］（該空間的坐標為xi，度規(guī)為gij，聯(lián)絡(luò)Γkij＝0）切空間上的一個含約束的線性映射，即

考慮式（3）可知，空間［W］的撓率不為零，空間［W］是一個Riemann－Cartan位形空間。

考慮到矩陣（珘bαρ）非奇異，我們可以在 Riemann－Cartan位形空間［W］中引入如下無約束的一階線性不可積映射：

映射（6）將Riemann－Cartan位形空間［W］映射為一個新的空間［Q］，且空間［Q］的度規(guī)和聯(lián)絡(luò)分別為：

考慮式（3）可知，空間［Q］的聯(lián)絡(luò)關(guān)于下腳標對稱，該空間的撓率為零，即：

說明空間［Q］是一個完整約束系統(tǒng)的、具有自然辛結(jié)構(gòu)的Riemann位形空間。

顯然，由映射（1）所定義的m維Riemann－Cartan位形空間［W］是一個特殊的Riemann－Cartan空間。雖然由于撓率的存在，位形空間［W］不具有自然的辛結(jié)構(gòu)，但通過引入一個合適的無約束的一階線性不可積映射珘aρα，就可以將其映射為一個完整約束系統(tǒng)的、具有自然辛結(jié)構(gòu)的Riemann位形空間［Q］。這說明雖然位形空間［W］具有撓率，但其本質(zhì)上是一個完整約束系統(tǒng)的位形空間，因此也具有辛結(jié)構(gòu)，只不過其辛結(jié)構(gòu)需要通過引入一個合適的無約束的一階線性不可積映射才能表現(xiàn)出來。

2 算例

設(shè)［X］是一個受到約束的、具有單位質(zhì)量的質(zhì)點的三維平直位形空間，通過如下非完整線性映射

用一階線性映射的方法可計算其位形空間［W］的聯(lián)絡(luò)為：

空間［W］的聯(lián)絡(luò)關(guān)于下腳標不對稱，其撓率為：

說明位形空間［W］是一個Riemann－Cartan空間。

若引入一個不可積映射

則通過計算可得位形空間［Q］的聯(lián)絡(luò)為：

顯然空間［Q］的聯(lián)絡(luò)關(guān)于下腳標對稱，其撓率全部為零，說明空間［Q］是一個無撓率的Riemann位形空間。

上述結(jié)果說明，由式（10）所定義的空間［W］是一個可映射為Riemann空間的特殊的Riemann－Cartan位形空間，因而本質(zhì)上是一個完整約束系統(tǒng)的、具有辛結(jié)構(gòu)的Riemann－Cartan位形空間。事實上，從式（10）可直接通過積分得到系統(tǒng)所受完整約束為：

3 結(jié)論

盡管就一般而言，Riemann－Cartan位形空間中的撓率將破壞其辛結(jié)構(gòu)，但確實存在一種特殊的、本質(zhì)上具有辛結(jié)構(gòu)的Riemann－Cartan位形空間。通過引入一個恰當?shù)臒o約束的一階線性不可積映射，可以將此類特殊的Riemann－Cartan位形空間映射為一個Riemann位形空間，這說明此類特殊的Riemann－Cartan位形空間本質(zhì)上就是一個完整約束系統(tǒng)的位形空間。從力學(xué)的角度看，上述引入的無約束的一階線性不可積映射相當于是此類特殊的Riemann－Cartan位形空間與一個完整約束系統(tǒng)的Riemann位形空間之間的“準坐標變換”。

［1］ 梅鳳翔.分析力學(xué)［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，2013：309.

［2］ Kleinert H，Shabanov S V.Space with torsion from embedding，and the special role of autoparallel trajectories［J］.Phys Lett B，1998，428：315－321.

［3］ Kleinert H，Pelster A.Autoparallels from a new action principle［J］.Gen Rel Grav，1999，31（9）：1439－1447.

［4］ Guo Y X，Wang Y，Chee G Y，et al.Nonholonomic versus vakonomic dynamics on a Riemann－Cartan manifold［J］.J Math Phys，2005，46（5）：062902.

［5］ 王勇，郭永新.Riemann－Cartan空間中的d’A1embert－Lagrange原理［J］.物理學(xué)報，2005，54（12）：5517－5520.

［6］ 王勇，郭永新，呂群松，等.非完整映射理論與剛體定點轉(zhuǎn)動 的 幾 何 描 述 ［J］.物 理 學(xué) 報，2009，58（8）：5142－5149.

［7］ Guo Yongxin，Liu Chang，Wang Yong，et al.Nonholonomic mapping theory of autoparallel motions in riemann－cartan space［J］.Science China（physics，mechanics ＆ Astronomy），2010（9）：1707－1715.