四邊形變式問(wèn)題的解題策略

楊東興

“讓學(xué)生受到觀察、聯(lián)想、類比、歸納、猜想、抽象概括、分析和綜合等方法的熏陶，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科重視考察學(xué)生的基礎(chǔ)能力，著眼于發(fā)展學(xué)生綜合能力的特點(diǎn).”近幾年來(lái)數(shù)學(xué)中考的變式題型就體現(xiàn)了這個(gè)特點(diǎn)，尤其是每年各地市的試卷里都有關(guān)于四邊形綜合題的變式題.這類題也是中考中難度較大的一類題.那么，變式題有哪些特點(diǎn)呢？有沒(méi)有什么好的解決方法呢？下面我們就以近年來(lái)黑龍江省各地市的一些中考題為例進(jìn)行說(shuō)明.

例1：（2014年 黑龍江省綏化市）在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF中點(diǎn)，連接PG，PC.

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段PC，PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想，并給予證明；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段PC，PG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想.（不必證明）

【點(diǎn)評(píng)】

本題主要考察了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn).根據(jù)已知和所求的條件正確地構(gòu)建出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵.

例2：（2015年 黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在直線BC上，連接AE將△ABE沿AE所在直線折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'，連接AB'，并延長(zhǎng)直線交DC于點(diǎn)F.

（1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)如圖4，易證：DF+BE=AF（不需證明）；

（2）當(dāng)點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)如圖5，當(dāng)點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖6，線段DF，BE，AF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，并選擇一種情況給予證明.

【解析】

根據(jù)折疊的圖形全等這個(gè)特點(diǎn)得出全等，再根據(jù)正方形對(duì)角線平分角相等，得到相等的邊，然后根據(jù)等量代換得到需要證明的結(jié)論，第（2）問(wèn)中圖5、圖6與圖4證明方法相同，并且同學(xué)們通過(guò)仔細(xì)觀察，能夠得出正確的數(shù)量關(guān)系，圖5：DF+BE=AF，圖6：DF+AF=BE，證明過(guò)程同第（1）問(wèn).

【點(diǎn)評(píng)】

這是一道四邊形綜合題.本題主要考察正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定等知識(shí)，找出全等關(guān)系是解題關(guān)鍵.

例3：（2014年 黑龍江省齊齊哈爾市）在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°， AB=AC，直線MN過(guò)點(diǎn)A且MN平行BC，以點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作Rt△BDE，∠BDE=90°，且點(diǎn)D在直線MN上（不與點(diǎn)A重合）如圖7，DE與AC交于點(diǎn)P，易證BD=DP （無(wú)需證明過(guò)程）。

（1）在圖8中，DE與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD=DP是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）在圖9中，DE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD與DP

是否相等？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論.

【解析】

證明方法與例1、例2類似，都是由第（1）問(wèn)中“易證”的結(jié)論得到解題的證明方法，然后仔細(xì)觀察，一定能得到第（2）問(wèn)或第（3）問(wèn)的數(shù)量關(guān)系和證明方法，輔助線做法也都與第（1）問(wèn)相似.

【點(diǎn)評(píng)】

本題主要考察全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

例4：（2015年 黑龍江省牡丹江市）已知四邊形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角頂點(diǎn)E在直線BC上（不與點(diǎn)B、C重合），F(xiàn)M⊥AD，交射線AD于點(diǎn)M.

（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)M在邊AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖10，求證：AB+BE=AM；

（提示：延長(zhǎng)MF，交邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.）

（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)M在邊AD上時(shí)，如圖11；當(dāng)點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)M在邊AD上時(shí)，如圖12. 請(qǐng)分別寫(xiě)出線段AB，BE，AM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；

【解析】

（1）首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得AE=EF，∠ABE=∠EHF=90°，利用全等三角形的判定定理證明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性質(zhì)定理可得結(jié)論；

（2）同（1）首先證明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性質(zhì)定理可得結(jié)論；

（3）利用分類討論的思想，首先由∠AFM=15°，易得∠EFH，由△ABE≌△EHF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)易得∠AEB，利用銳角三角函數(shù)易得AB，利用（1）（2）的結(jié)論，易得AM.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查的仍是四邊形綜合題. 本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)及判定定理.數(shù)形結(jié)合、分類討論和前面問(wèn)題的結(jié)論是解答此題的關(guān)鍵.

以上幾道中考變式題有一個(gè)共同的特點(diǎn)：通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兓?，在?wèn)題情境中運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題. 同學(xué)們做這類題的時(shí)候不要緊張，要先審好題，一般第一問(wèn)中的證明方法也同樣適用于其他問(wèn)題，其次是仔細(xì)觀察圖形的變化和所求的數(shù)量關(guān)系產(chǎn)生的變化，然后利用已知圖形的性質(zhì)，做相應(yīng)的輔助線來(lái)證明等等。做輔助線的正確與否是解題關(guān)鍵點(diǎn)，也是難點(diǎn).只要同學(xué)們?cè)谌粘＞毩?xí)中認(rèn)真學(xué)習(xí)，歸納日常練習(xí)或測(cè)試中做過(guò)的這類題型的輔助線做法，就能達(dá)到“心中有數(shù)”，所以此類變式題，看似變化莫測(cè)，實(shí)則百變不離基礎(chǔ).功夫在平時(shí)，重在積累、歸納、抓住規(guī)律.