由正則算子求解無阻尼耦合擺問題

【摘 要】通過物理與數(shù)學(xué)模型的建立，由正則算子K、U對無阻尼耦合擺進(jìn)行研究，導(dǎo)出了其解的一般形式，并討論了正則模式，直觀簡明。

【關(guān)鍵詞】耦合擺 模型 正則模式

【Abstract】Through the physical and mathematical model model establishment， by the regular operator K、U conducts the research to the non-damping coupled pendulum，has derived its solution general form，and discussed the regular pattern，direct-viewing concise.

【Key wordes】Coupled Pendulum；Model；Regular Pattern

一、物理與數(shù)學(xué)模型建立

圖1 耦合擺

文獻(xiàn)[1]的耦合擺如圖1所示，長度為，質(zhì)量分別為和的兩個(gè)擺，用勁度系數(shù)為的彈簧耦合起來。

該模型描述的是穩(wěn)定力學(xué)系統(tǒng).設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)能，勢能，式中K、U為一正則算子.力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

由Lagrange方程得

（1）

本征值問題為 （本征向量）

方程（1）的一般解為[2]為

（2）

給定初始條件，有

，

應(yīng)用正交關(guān)系

（3）

不難得到系數(shù)和，由下式確定

（4）

二、模型的求解

首先確定、、。如圖1所示，力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)能

式中和分別為和偏離豎直方向的角位移（角坐標(biāo)），故

對于小幅振蕩，系統(tǒng)的勢能為

于是

由特征方程有

解得 ，.

式中折合質(zhì)量，于是本征向量，.

由正交關(guān)系式（3）得到

，

確定系數(shù)和，給定初始條件為

，

由（4）式可知：

，

由（2）式得一般解為，即是

（5）

三、分析與討論

上述解形式（5）比文獻(xiàn)[1]給出的解表達(dá)式要簡潔明了得多，用它來討論耦合擺的正則模式，直觀方便，物理圖像更清晰。

（一）若，

則有.

可知僅出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)，表明兩個(gè)擺彼此以相同的相位（同一步調(diào)），相同的振幅和頻率振動(dòng)（好像一個(gè)單擺一樣），這是兩擺中間的彈簧既不伸長也不壓縮，根本失去作用。該模式是對稱的，對應(yīng)較低頻率為正則頻率[3].

（二）若，

，則有

可知僅出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)兩擺振動(dòng)相位相反，彈簧以同等程度伸長或壓縮.當(dāng)時(shí)，兩擺振幅也相同（均為）.該振動(dòng)模式是反對稱的模式，對應(yīng)的頻率為正則頻率.

（三）耦合振動(dòng)的總能量為

第一個(gè)方括號(hào)所代表的項(xiàng)為的能量，第二個(gè)方括號(hào)所代表的項(xiàng)為的能量，最后一項(xiàng)與和有關(guān)為耦合能量或相互作用能，這種耦合作用使振動(dòng)能量在兩個(gè)振子之間傳遞。

參考文獻(xiàn)：

[1]周衍柏.理論力學(xué)教程（第2版）[M].北京：高等教育出版社，1985. 306-308.

[2]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方程（第1版）[M]. 北京：高等教育出版社，1985. 181-188.

[3]丁光濤.理論力學(xué)簡明教程[M]. 北京：高等教育出版社，1989. 92-96.

作者簡介：

蔣衛(wèi)東，男，生于1973年，1994年畢業(yè)于西華大學(xué)，講師。