正弦變換與Bézier曲線的參數(shù)化

摘 要： 通過對Bernstein基函數(shù)實施正弦變換，給出了Bézier曲線的一類重新參數(shù)化方法?；贐ernstein基函數(shù)，導出了正弦—Bernstein-Bézier類（Sine Bernstein-Bézier Class-SBBC）函數(shù)，定義了SBBC曲線，討論了SBBC曲線和Bézier曲線的關系，提供了Bézier曲線重新參數(shù)化的一種有效方法。

關鍵詞： 正弦變換； SBBC函數(shù)； SBBC曲線； Bézier曲線； 重新參數(shù)化

中圖分類號：TP301.6 文獻標志碼：A 文章編號：1006-8228（2013）10-49-03

0 引言

曲線的重新參數(shù)化方法在幾何造型和CAGD中有重要應用。國內外學者已經給出不少重要的結論和方法。有理Bézier曲線可以通過線性變換進行重新參數(shù)化而保持參數(shù)域和控制頂點不變，變化的是參數(shù)和曲線上點的對應關系[1]。Farin和Worsey給出了有理Bézier曲線的標準形式[2]，他們建議重新參數(shù)化有理曲線以使得首末權因子為1。Farouki討論了曲線的最佳參數(shù)化方法[3]，給出了與曲線導數(shù)有關的最佳參數(shù)化標準。鄭建民研究了與重新參數(shù)化有關的有理Bézier曲線的權因子比率的最小化問題[4]。施法中等介紹了通過權因子變換實現(xiàn)曲線重新參數(shù)化的途徑[5-6]。

需要說明的是，這些文獻中解決曲線參數(shù)化或重新參數(shù)化的問題時主要采用有理線性參數(shù)變換f（u）=[（1+α）u]/（1+αu），u∈[0，1]，α>-1，α∈R和權因子變換，前者涉及到參數(shù)u的有理式計算和化簡，計算量較大；后者在討論參數(shù)化之前必須確定曲線的形狀不變因子，需要相關的計算支持。本文通過對Bernstein基函數(shù)實施正弦變換，得到了Bézier曲線等價形式的SBBC曲線，它可以規(guī)避現(xiàn)有方法的局限。

5 結束語

SBBC曲線是Bézier曲線的等價形式?？梢杂脕斫鉀QBézier曲線的重新參數(shù)化問題。通過調整重新參數(shù)化因子θ的值，可以得出任意參數(shù)化條件下的Bézier曲線的重新參數(shù)化形式，算法計算簡單，容易操作，具有通用性。

參考文獻：

[1] Lucian， M. Linear fractional transformations of rational BézierCurves. In： Farin， G.（Ed.）， NURBS for Curve and Surface Design. SIAM [M].ISBN 0-89871-286-6.

[2] Farin， G.， Worsey， A.J. Tessellation of curved surfaces under highly varying transformations. In： Proc. EUROGRAPHICS 91（1991）：385-397

[3] Farouki， R. Optimal parameterizations[J].Computer Aided Geo-metric Design，1997.14（2）：153-168

[4] Jianmin. Zheng. Minimizing the maximal ratio of weights of arational Bézier Curve[J].Computer Aided Geometric Design，2005.22：275-280

[5] 施法中.計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條[M].高等教育出版社，2001.

[6] 韓西安，施法中.有理Bézier曲線的重新參數(shù)化方法研究[J].小型微型計算機系統(tǒng)，2001.1（22）.