拉格朗日插值法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法是以法國18世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫·拉格朗日命名的一種插值方法。對實(shí)踐中的某個(gè)物理量進(jìn)行觀測，在若干個(gè)不同的地方得到相應(yīng)的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個(gè)簡單函數(shù)，其恰好在各個(gè)觀測的點(diǎn)取到觀測到的值，這個(gè)函數(shù)可以是代數(shù)多項(xiàng)式，三角多項(xiàng)式等。本文主要討論拉個(gè)朗日插值多項(xiàng)式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：拉格朗日插值法 高中數(shù)學(xué) 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2013）09（c）-0103-01

首先，我們給出插值函數(shù)的定義：

本文只討論多項(xiàng)式插值，即求一次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式：

本文主要討論插值多項(xiàng)式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，所以下面我們看一下如何得到插值多項(xiàng)式。

1 插值多項(xiàng)式

定義2：對某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，已知有給定的k+1個(gè)取值點(diǎn)：其中對應(yīng)著自變量的位置，而對應(yīng)著函數(shù)在這個(gè)位置的取值。

假設(shè)任意兩個(gè)不同的都互不相同，那么應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項(xiàng)式為：

其中每個(gè)為拉格朗日基本多項(xiàng)式（或稱插值基函數(shù)），其表達(dá)式為：

拉格朗日基本多項(xiàng)式的特點(diǎn)是在上取值為1，在其它的點(diǎn)上取值為0。

2 應(yīng)用

本文給出插值多項(xiàng)式的目的是省去我們高中數(shù)學(xué)中遇到的一些繁瑣的求解過程，例如求函數(shù)的解析式，復(fù)雜的因式分解以及一些特殊的證明題。

分析：本題的一般方法不多說，如應(yīng)用上述的插值多項(xiàng)式公式帶入也可直接求得。

解：

在奧林匹克數(shù)學(xué)中，會(huì)遇到復(fù)雜的因式分解的題。

例2：因式分解：

分析：通常我們會(huì)用拆項(xiàng)合并來進(jìn)行因式分解，但本題顯然很難求得。觀察其與插值多項(xiàng)式接近，所以嘗試用多項(xiàng)式的方法。

分析：顯然本題要用反證法證明，通常我們假設(shè)都大于，然后列出不等式組討論，得到矛盾。但本題也可用插值多項(xiàng)式證明。

以上給出了三個(gè)在高中數(shù)學(xué)中常見的應(yīng)用插值多項(xiàng)式解的題，事實(shí)上，還有很多類型題是可以利用插值多項(xiàng)式來解決的，在這里就不一一列舉了。

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