中學(xué)數(shù)學(xué)向量的教學(xué)探究

【摘 要】學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)向量，可以使得同學(xué)們領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算的意義得以體會(huì)，此外對(duì)運(yùn)算能力予以擴(kuò)展，對(duì)處理幾何問題的某種方法予以駕馭，提高數(shù)形結(jié)合分析問題的意識(shí)，使得同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)本來屬性的認(rèn)知得到增強(qiáng)。對(duì)向量的教學(xué)務(wù)必體現(xiàn)物理背景，注重向量的代數(shù)性質(zhì)與幾何意義，同時(shí)重視向量工具和方法在物理、數(shù)學(xué)以及現(xiàn)代科技當(dāng)中的運(yùn)用。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué)；向量教學(xué)；探究

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中對(duì)平面和空間向量的內(nèi)容分別進(jìn)行了設(shè)置，大多數(shù)數(shù)學(xué)老師認(rèn)為高中數(shù)學(xué)的向量更多地是被當(dāng)作使得幾何問題簡(jiǎn)化的某種工具。正因?yàn)槿绱?，把向量教學(xué)的探索重點(diǎn)聚焦于向量在處理幾何問題當(dāng)中的運(yùn)用，用向量使得幾何問題簡(jiǎn)化的技巧即為該教學(xué)的主要方向。本研究更多的是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)行課程當(dāng)中向量?jī)?nèi)容的定位、向量的教育價(jià)值以及向量教學(xué)經(jīng)常用到的方法進(jìn)行了較為深入的探討。

一、對(duì)向量的初步認(rèn)識(shí)

1.作為幾何的研究對(duì)象

作為幾何學(xué)的基本研究對(duì)象的向量，能夠用來對(duì)物體的位置予以表示。向量作為幾何學(xué)的研究對(duì)象來說，它有方向和長(zhǎng)度，不僅能夠?qū)€面以及空間等對(duì)象和它們的位置關(guān)系予以描述，而且能夠?qū)﹂L(zhǎng)寬、大小以及容量等度量問題予以描述。

2.作為代數(shù)的研究對(duì)象

向量能夠用來予以不同種類的運(yùn)算，該部分運(yùn)算帶給向量集合自身的組成，使得向量有著一連串很多的屬性。因此，毋庸置疑的是，向量的運(yùn)算以及向量的性質(zhì)成為代數(shù)的探索對(duì)象。

3.作為串聯(lián)代數(shù)與幾何的導(dǎo)線

作為有向線段的向量，能夠用來對(duì)位置予以確定。然而要用向量對(duì)圖形的性質(zhì)進(jìn)行描述，克服幾何中的長(zhǎng)寬和大小度量問題僅有有向線段還不行，務(wù)必利用向量的代數(shù)運(yùn)算才可以得以完成。比如說，通過向量的數(shù)乘運(yùn)算能夠?qū)ζ叫杏枰悦枋觯ㄟ^向量的數(shù)量積運(yùn)算能夠?qū)Υ怪币约叭顷P(guān)系等予以描述。所以，集數(shù)和形于一身的向量，最好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，成為串聯(lián)代數(shù)以及幾何之間的導(dǎo)線。

二、向量部分的教學(xué)意義

1.領(lǐng)悟數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活以及其他學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)

向量是用來刻畫位置的一種不可或缺的數(shù)學(xué)工具，在空間科學(xué)尖端技術(shù)當(dāng)中有著廣泛的運(yùn)用。向量亦為對(duì)一部分物理量予以描述的數(shù)學(xué)工具，它很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)同物理的關(guān)系。所以，學(xué)好向量，對(duì)體會(huì)數(shù)學(xué)和物理等學(xué)科在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用是有著積極作用的，同時(shí)體會(huì)向量在對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的描述和處理當(dāng)中的作用，從這當(dāng)中領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的實(shí)用功效。

2.對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的功效予以體會(huì)，對(duì)計(jì)算能力進(jìn)行培養(yǎng)

作為代數(shù)對(duì)象的向量，能夠用來予以計(jì)算。數(shù)學(xué)發(fā)展的一道軌跡即為計(jì)算對(duì)象的發(fā)展。說到計(jì)算，函數(shù)以及變換計(jì)算等均為數(shù)學(xué)當(dāng)中的基本計(jì)算。計(jì)算的一次飛躍是從數(shù)字、字母以及多項(xiàng)式計(jì)算發(fā)展到向量計(jì)算。向量的長(zhǎng)度能夠使用向量的數(shù)量積計(jì)算來予以描述，也就使得我們對(duì)長(zhǎng)寬、大小、容量等度量問題予以描述的時(shí)候能夠考慮到利用這樣的代數(shù)計(jì)算。向量計(jì)算對(duì)不同類型的代數(shù)計(jì)算的特征以及功能予以了更淋漓盡致的展現(xiàn)，這可以為同學(xué)們深入地理解另外的數(shù)學(xué)計(jì)算以及發(fā)展同學(xué)們的計(jì)算能力打下很好的根基。

3.駕馭幾何與代數(shù)相結(jié)合的方法，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行深入的領(lǐng)悟

向量同時(shí)成為代數(shù)對(duì)象以及幾何對(duì)象。它能夠用來予以計(jì)算，它有方向和長(zhǎng)度，能夠用來對(duì)長(zhǎng)寬、大小以及容量等幾何度量予以描述。應(yīng)用向量對(duì)幾何對(duì)象以及度量問題予以描述均為利用其代數(shù)計(jì)算來完成的。向量集數(shù)形于一身，是使得代數(shù)與幾何得以連接的天然橋梁。學(xué)習(xí)向量，可以幫助同學(xué)們駕馭幾何與代數(shù)相結(jié)合的方法，對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想予以很好的領(lǐng)悟。

三、在向量教學(xué)過程當(dāng)中經(jīng)常會(huì)用到的教學(xué)方法

1.與向量的物理背景相聯(lián)系

需要聯(lián)系到向量的物理背景，該部分物理量為同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中可以經(jīng)常應(yīng)用到的，這有利于向量定義的理解及其計(jì)算。在教學(xué)的過程當(dāng)中，對(duì)體現(xiàn)向量的該部分物理背景務(wù)必保持足夠的重視。比如說，在對(duì)向量計(jì)算予以引入的時(shí)候，一個(gè)相對(duì)直觀的方式是可將位移的合成當(dāng)成背景。如果張明同學(xué)從A經(jīng)過位移到B記為AB，再從B經(jīng)過位移到C記為BC，那么張明同學(xué)從A到C的經(jīng)過位移記為AC，該位移即為A到B與B到C兩個(gè)位移的全部位移。在此基礎(chǔ)上，也即有了向量計(jì)算法則的導(dǎo)入，同時(shí)還引入了三角形法則，進(jìn)而順利成章地導(dǎo)出了平行四邊形法則。在對(duì)向量的一部分計(jì)算規(guī)則予以導(dǎo)入的時(shí)候，亦可將力作功當(dāng)成背景。當(dāng)力增加λ倍的時(shí)候，力所作的功亦對(duì)應(yīng)地增加了λ倍，兩者的合力所作的功與該二力各自所作的功之和是一樣的。正因?yàn)槿绱耍鋽?shù)量積運(yùn)算對(duì)于其加法運(yùn)算滿足分配律：a（b+c）=a·b+a·c，其數(shù)乘計(jì)算以及數(shù)量積計(jì)算滿足結(jié)合律：（λa）b=λ（a·b）。

2.對(duì)向量的代數(shù)屬性及其幾何意義予以足夠的重視

在對(duì)向量進(jìn)行教學(xué)的過程當(dāng)中，需要對(duì)其運(yùn)算的意義以及運(yùn)算律予以留心。比如說，向量的加法以及實(shí)數(shù)域中的實(shí)數(shù)與其數(shù)乘計(jì)算滿足數(shù)乘對(duì)加法的分配率、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)合律以及數(shù)乘對(duì)向量加法的分配律等，這即構(gòu)成了線性空間的基本屬性。

在對(duì)其予以教學(xué)的過程當(dāng)中，尤其應(yīng)該對(duì)其數(shù)乘、數(shù)量積以及數(shù)的乘法計(jì)算的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)引起足夠的重視。比如說，在數(shù)的計(jì)算過程當(dāng)中，零是僅有的加法零元，一為僅有的乘法單位元。在其加法計(jì)算的過程當(dāng)中，零向量亦為僅有的加法零元，對(duì)于任意的向量a，均有零與a之和為向量a本身。然而其數(shù)乘以及數(shù)量積計(jì)算卻均有著與數(shù)計(jì)算不一樣的規(guī)則：對(duì)于任意的向量a，有著向量a與1的乘積等于向量a本身以及a與零的乘積等于零。盡管亦有單位向量的定義，然而它為非數(shù)量積計(jì)算的單位元，亦即為ea≠a，與此同時(shí)，單位向量亦非絕無僅有。如果將其起點(diǎn)放在相同的點(diǎn)上，那么全部的單位向量即形成了一個(gè)單位圓；數(shù)的乘法計(jì)算滿足結(jié)合律以及消去律。在其數(shù)量積計(jì)算過程當(dāng)中，有（a·b）c≠a（b·c）。其原因在于，a·b以及b·c均為實(shí)數(shù)，（a·b）c為同c方向相同或者是相反的向量，a（b·c）為同a方向相同或者是相反的，但是不意味著a和c就一定共線，假使共線，并不意味著（a·b）c=a（b·c）即一定成立，因?yàn)椋╝·b）=（b·c）未必一定成立。如果向量a、b和c為三個(gè)相互垂直的向量，同時(shí)都不為零，那么有ab=ac=0一定成立，同時(shí)a和b不相等，不過b=c一定不成立。所以，在教學(xué)的過程當(dāng)中，需要使得同學(xué)們明確向量計(jì)算以及數(shù)計(jì)算的該部分相同與不同的地方，唯有如此才可以對(duì)其計(jì)算以及代數(shù)計(jì)算有著更進(jìn)一步的理解和體會(huì)。

除此之外，在對(duì)向量進(jìn)行教學(xué)的過程當(dāng)中，也需要注意對(duì)其代數(shù)屬性的幾何意義予以揭示。比如說，向量數(shù)乘運(yùn)算λa的幾何意義為同a平行的向量，亦能夠表示某點(diǎn)與某一方向向量a所確定的直線，這即將向量的線性計(jì)算連同平面以及空間相互關(guān)聯(lián)起來了。在教學(xué)的過程當(dāng)中，需要幫助同學(xué)們把其代數(shù)計(jì)算同其幾何意義相互關(guān)聯(lián)起來，唯有如此才可以應(yīng)用其代數(shù)屬性更好地對(duì)其幾何對(duì)象進(jìn)行描述，也就是對(duì)代數(shù)以及幾何之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行很好的領(lǐng)悟。

3.對(duì)向量在物理、數(shù)學(xué)以及現(xiàn)代科技當(dāng)中的應(yīng)用多予以留心

向量在物理當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用是毋庸置疑的。在教學(xué)的過程當(dāng)中，需要指導(dǎo)同學(xué)們有意識(shí)地應(yīng)用向量以及它的運(yùn)算的性質(zhì)來描述以及處理物理領(lǐng)域當(dāng)中的某部分問題。其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中有著極為廣泛的運(yùn)用，它本身以及它的代數(shù)計(jì)算能夠用來對(duì)幾何對(duì)象以及度量的問題予以描述，還能夠被用來對(duì)三角函數(shù)以及重要的不等式予以表示，還能夠被用來對(duì)三角函數(shù)的公式予以證明。所以，在對(duì)向量的教學(xué)過程當(dāng)中，需要注意突出向量的廣泛應(yīng)用性。尤其需要注意的是不能夠?qū)⑾蛄康膽?yīng)用僅僅局限于將幾何問題予以簡(jiǎn)化當(dāng)中。

四、總結(jié)

本研究首先分析了向量的初步認(rèn)識(shí)，分析了向量的代數(shù)、幾何研究對(duì)象，以及向量作為溝通代數(shù)和幾何之間橋梁的作用。緊接著，分析了向量的教育價(jià)值，表現(xiàn)為：對(duì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)以及它們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中的應(yīng)用予以深入的體會(huì)，對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算的實(shí)用功效予以深入的理解，對(duì)向量以及整個(gè)數(shù)學(xué)的計(jì)算能力進(jìn)行發(fā)展，駕馭幾何與代數(shù)相結(jié)合的方法，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行深入的領(lǐng)悟。最后，闡述了向量教學(xué)當(dāng)中常用到的教學(xué)方法，表現(xiàn)為：與向量的物理背景相聯(lián)系，對(duì)其代數(shù)屬性及其幾何意義予以足夠的重視，對(duì)其在數(shù)理領(lǐng)域以及現(xiàn)代科技當(dāng)中的應(yīng)用予以關(guān)注。期望本文能夠?qū)Ω咧欣蠋熃虒W(xué)提供一定的指導(dǎo)，以彰顯本研究一定程度的實(shí)用價(jià)值。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉兆輝.中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的向量教學(xué)研究[J].西北師范大學(xué)，2005（6）；

[2]文匡國.試論高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的向量教學(xué)[J].教學(xué)研究，2013（3）；

[3]陸燕.新課改下高中向量的教學(xué)研究[J].蘇州大學(xué)，2011（6）.

（作者單位：浙江省麗水學(xué)院理學(xué)院）