方程與函數(shù)思想在高中教學(xué)的實(shí)踐探究

【摘 要】方程思想與函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)中的關(guān)鍵思想方法，綜合知識(shí)面廣、出題類(lèi)型繁多、解題時(shí)需要應(yīng)用的技巧多，因此也成為了歷年高考的重點(diǎn)。本文首先介紹了函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)中的背景，然后以例題的形式，結(jié)合具體的例子講述了函數(shù)思想與方程思想在解題中的應(yīng)用。在本文的最后，就函數(shù)與方程思想在解題中應(yīng)該注意的一些問(wèn)題和解題時(shí)的步驟做了總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；方程思想；高考；函數(shù)思想

函數(shù)思想和方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法，然而數(shù)學(xué)的方法和思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，它是數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)最本質(zhì)的高層次體現(xiàn)。數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特點(diǎn)也就在數(shù)學(xué)思想上得到了最好的體現(xiàn)。對(duì)方程思想與函數(shù)思想的以及二者的滲透結(jié)合考察也在近幾年的高考中都得到了很好的體現(xiàn)。

一、方程思想與函數(shù)思想概述

方程與函數(shù)思想就是用方程、函數(shù)的觀點(diǎn)和方法來(lái)處理變量或未知數(shù)之間的關(guān)系，從而解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想。方程與函數(shù)關(guān)系密切，方程問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解，反之亦然。

1.方程思想概念

方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，將未知轉(zhuǎn)化為已知的手段就是通過(guò)設(shè)元，然后尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程，當(dāng)一個(gè)問(wèn)題可能與某個(gè)方程建立關(guān)聯(lián)時(shí)，可以構(gòu)造方程并對(duì)方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個(gè)問(wèn)題。

利用方程思想解決問(wèn)題，首先要具有正確列出方程的能力，有些數(shù)學(xué)問(wèn)題需要利用方程解決，而正確列出方程是關(guān)鍵，因此要善于根據(jù)已知條件，尋找等量關(guān)系列方程。其次要具備用方程思想解題的意識(shí)，要善于挖掘隱含條件，要具有方程的思想意識(shí)。最后，要掌握運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題的要點(diǎn)。除了幾何的計(jì)算問(wèn)題要使用方程或方程思想以外，經(jīng)常需要用到方程思想的還有一元二次方程根的判別式，在解決與這些內(nèi)容有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要注意方程思想的應(yīng)用。

2.函數(shù)思想概念

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種思想方法。函數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)題型問(wèn)題中的一種常用的思維策略。

在平時(shí)解題的過(guò)程中，要善于去挖掘其中的隱含條件，根據(jù)隱含條件構(gòu)造出函數(shù)解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)，是函數(shù)思想解題的關(guān)鍵應(yīng)用。

觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和判斷問(wèn)題，然后系統(tǒng)去追尋題目中的相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)造函數(shù)的原型。另外，一些代數(shù)問(wèn)題、不等式問(wèn)題等也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，因此可以借助于函數(shù)的思維解決一些非函數(shù)的難題。

方程思想和函數(shù)思想是兩個(gè)相互聯(lián)系、相互滲透的可又不同的數(shù)學(xué)概念。一個(gè)函數(shù)若有解析表達(dá)式，那么這個(gè)表達(dá)式就可以看成是一個(gè)方程。一個(gè)方程，它的兩端可以分別看成函數(shù)。因此，許多有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題也可以用方程的思想來(lái)解決，相反，許多有關(guān)方程的問(wèn)題也可以用函數(shù)的思想來(lái)解決。

二、函數(shù)思想和方程思想解題類(lèi)型歸納

1.證明不等式的應(yīng)用

在解決不等式的問(wèn)題的時(shí)候，我們可以以函數(shù)為橋梁，將方程和不等式實(shí)現(xiàn)在函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化，方程與不等式同函數(shù)有著內(nèi)在的聯(lián)系。我們?cè)谘芯亢瘮?shù)性質(zhì)的時(shí)候，用到了很多不等式及方程反面的知識(shí)，如求定義域?qū)嶋H上就是求解不等式，證明函數(shù)的單調(diào)性歸根到底就是不等式的證明問(wèn)題，等等；另一方面有關(guān)方程和不等式的問(wèn)題，又可以統(tǒng)一到函數(shù)思想的研究，如解方程就是函數(shù)f（x）零點(diǎn)，解不等式f（x）<0就是求函數(shù)f（x）的正負(fù)區(qū)間。因此在實(shí)際解題過(guò)程中，我們應(yīng)該善于利用函數(shù)思想，以其為橋梁，來(lái)解決的方程、不等式問(wèn)題。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于同時(shí)包含有，的式子的問(wèn)題，常?？蓪⒖醋鳛槟硞€(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，進(jìn)而我們可以構(gòu)造出一個(gè)一元二次方程，然后利用方程中的有關(guān)理論來(lái)求解。

2.數(shù)列問(wèn)題的應(yīng)用

方程思想和函數(shù)思想是數(shù)列的兩大精髓。從基本量出發(fā)，知三求二，這是方程思想的體現(xiàn)；將數(shù)列看成一種特殊的函數(shù)，等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式都是關(guān)于的函數(shù)，則蘊(yùn)含了函數(shù)的思想，借助有關(guān)函數(shù)、方程的性質(zhì)來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題，常能起到化難為易的功效。

例3.已知數(shù)列bn是公差為1的等差數(shù)列，bn=。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)上本例題我們可以發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列的教學(xué)中，應(yīng)該重視方程函數(shù)思想的滲透，應(yīng)該把函數(shù)概念、圖形、性質(zhì)有機(jī)的融入到數(shù)列中，通過(guò)數(shù)列與函數(shù)知識(shí)的相互交匯，使學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)得益不斷優(yōu)化與完善，同時(shí)也是學(xué)生的思維能力得以不斷地發(fā)展提高。

3.求解綜合題的應(yīng)用

在一些大型的綜合題當(dāng)中，函數(shù)與方程思想的應(yīng)用也相當(dāng)廣泛。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)本例題，我們可以看到，在求解這種綜合提的時(shí)候，首先要明確題目要求解的問(wèn)題，然后根據(jù)已知條件，結(jié)合方程和相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，也可以利用屬性結(jié)合的方法來(lái)進(jìn)行求解。

三、方程思想和函數(shù)思想在解題中的總結(jié)

教會(huì)學(xué)生們一種嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)和提高他們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，是我們數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中的重要任務(wù)。從以上的例子我們可以看出，方程思想和函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，如果學(xué)生能夠掌握和利用函數(shù)與方程思想來(lái)解題，將會(huì)達(dá)到事半功倍的奇效。

在教學(xué)中，我們應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生做到，當(dāng)看到一個(gè)題目的時(shí)候，首先要想一想可否將題目中的代數(shù)式抽象成為一個(gè)函數(shù)，或者將方程化作函數(shù)，亦或者將字母看成變量；如果上步可行的話，接下來(lái)我們應(yīng)該考慮，是否能夠利用轉(zhuǎn)化得到的函數(shù)的一些性質(zhì)或者屬性來(lái)解決問(wèn)題；如果上步不可行的話，是否可以考慮構(gòu)造輔助函數(shù)來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題。如果題目中包含有等式，我們可否將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程，然后利用方程的思想對(duì)其進(jìn)行求解。總之，方程思想和函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)最常用也是最重要的思想方法，因此在高中的教學(xué)中，要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這種思想的應(yīng)用，使他們熟練掌握這些思想方法，進(jìn)而可以不斷提高思維的靈活性。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張同君.中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究[M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2002

[2]成世泰.例談含參不等式的解法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2004.04

[3]丁賽軍.數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2003.11

[4]淺析函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用.韓若瑩《新課程學(xué)習(xí)（中）》.2012.04.18

[5]嚴(yán)碧友.函數(shù)與方程思想應(yīng)用面面觀[J].中學(xué)生數(shù)理化（高中版），2004.03

[6]周萬(wàn)林.談?wù)劇皹?gòu)造方程”解題[J].河北理科教學(xué)研究，2003.02

（作者單位：浙江省麗水學(xué)院）