一道課本習(xí)題的解法探究與延伸

分析 上述兩種解法在學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)比較多，因?yàn)檫@種建立坐標(biāo)系的方法更符合學(xué)生的思維習(xí)慣，很容易想到，方法一主要利用直線方程帶入圓的方程，再利用韋達(dá)定理以及兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化、化簡，但是過程十分繁瑣，而且容易化簡錯(cuò)誤.方法二則設(shè)出了P點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到Q點(diǎn)坐標(biāo)，看起來有點(diǎn)麻煩，但在化簡過程中要比第一種方法簡單一些.如何建立坐標(biāo)系才能使過程更加簡單呢？

解法5 與方法四類似直接利用平行四邊形中四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和的結(jié)論即可得證.

分析 這兩種解法主要是利用了向量的運(yùn)算和平行四邊形的性質(zhì)，以及平行四邊形中四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和的結(jié)論（見人教版必修2的第105頁）.

由以上幾種方法分析，在解決平面幾何問題時(shí)，我們可以通過解析法，建立坐標(biāo)系和方程，由形化數(shù)；也可以在解決解析幾何問題時(shí)，利用平面幾何圖形的性質(zhì)，化數(shù)為形這樣兩種方法相互滲透，相互彌補(bǔ)，數(shù)形結(jié)合，從而找出更加簡單的解決問題的思路.

對(duì)于本題的幾種解法歸納延伸，可以得到如下的結(jié)論：

若兩條定長的線段互相平分，則其中一條線段的一個(gè)端點(diǎn)到另一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的長的平方和為定值.在此基礎(chǔ)上筆者編寫了如下兩個(gè)例題：

以上兩道題目通過平面幾何方法很容易得證，當(dāng)然也可以用解析幾何的方法，通過建立直角坐標(biāo)系得到證明，因此對(duì)于教材上的一些例題或者練習(xí)題多加思考，多做探究，也許就會(huì)有不小的收獲.