談立體幾何教學(xué)中對(duì)高中生空間想象能力的培養(yǎng)

通過借助實(shí)物模型進(jìn)行直觀教學(xué)；加強(qiáng)識(shí)圖與畫圖的訓(xùn)練；重視三種語言的互譯，培養(yǎng)空間問題的表述能力；加強(qiáng)數(shù)學(xué)空間想象的訓(xùn)練這五個(gè)方面來培養(yǎng)高中生的空間想象能力。

空間想象能力空間觀念想象觀察《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及性質(zhì)。立體幾何初步的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步建立初步的空間想象能力?？臻g想象力是新課程目標(biāo)和高考考試大綱要求的七大能力之一，它主要是對(duì)空間形式的觀察、分析、和抽象的能力，主要要求有：根據(jù)條件做出正確的圖形、根據(jù)圖形想象出立體形象、圖形中有那些基本元素以及他們之間的關(guān)系能準(zhǔn)確的觀察出來、能分解組合圖形、會(huì)運(yùn)用各種手段（如圖形、圖表等）直觀的解釋圖形的本質(zhì)。

“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化……幾何想象，或如同人們所說的幾何直覺”。著名的數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫說，“對(duì)于幾乎所有的數(shù)學(xué)分科的研究工作，甚至對(duì)于最抽象的工作有著重大意義”?？梢娍臻g想象能力的重要性。那么在立體幾何教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，有哪些途徑呢？

一、借助實(shí)物模型進(jìn)行直觀教學(xué)

實(shí)物模型并不僅僅指教學(xué)所用三角板、直尺、正方體、長方體、四棱錐等幾何教具，還有更普遍、更常見、每個(gè)學(xué)生都有的課本、桌面、手掌（代表平面）；手指、天花板上的日光燈管、筆（代表直線）；翻開的課本、打開的門與墻壁（代表二面角）、教室的一個(gè)墻角（代表兩兩互相垂直的三個(gè)平面或者三條相交于一點(diǎn)兩兩互相垂直的直線）、粉筆盒（代表長方體）等。在解題過程中如果運(yùn)用這些現(xiàn)成的模型，就會(huì)使得圖形更加的直觀，問題更加的容易解決。

例如，二面角α-l-β的大小為θ，二面角α1-l1-β1的大小為θ1，其中α⊥α1，β⊥β1，問：θ與θ1的大小關(guān)系？

此題作圖較難。滿足條件的圖形是可以畫幾個(gè)出來，但是它只是其中的某幾個(gè)位置，是不會(huì)運(yùn)動(dòng)的，要畫出各種情形的圖形，很浪費(fèi)時(shí)間，且各種位置的圖形也比較難畫。因此接下來學(xué)生只能想象了，這就有比較大的難度。我的做法是，這道題只要用兩本翻開的課本按條件擺放幾下，就可以很快觀察出結(jié)論。通過學(xué)生親自動(dòng)手演示實(shí)驗(yàn)就會(huì)使其深刻的體會(huì)到用這種現(xiàn)成的模型解答這一類題目非常的形象、直觀，而且還提升了學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的信心和興趣，也會(huì)使得他們的空間想象力得到更快提高。

再如，設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列四個(gè)命題：

①若m⊥α，n//α，則m⊥n ②若α//β，β//γ，m⊥α，則m⊥γ

③若m//α，nα，則m//n ④若α⊥γ，β⊥γ，則α//β

其中正確命題的序號(hào)是（ ）.

A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④

這一道題如果學(xué)生去畫圖，既費(fèi)時(shí)，又難畫。這一道題目如果學(xué)生以“手指、筆、尺等（代表直線），課本、手掌、桌面等（代表平面）”，演示、比劃一下，就可以馬上找到答案。這就非常形象、直觀，且提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣，培養(yǎng)了他們的空間想象能力。

通過“借助實(shí)物模型進(jìn)行直觀教學(xué)”這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，可以使學(xué)生的空間形式、空間觀念直觀形象化。日積月累，逐漸的學(xué)生就能夠做到離開實(shí)物模型也可以進(jìn)行空間形式的思考，使得學(xué)生的空間形式的更進(jìn)一步的具體化、形象化，然后慢慢的形成空間觀念。所以這一步驟的教學(xué)訓(xùn)練了學(xué)生的形象思維、聯(lián)想思維等，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的效果是非常明顯的。

二、加強(qiáng)識(shí)圖與畫圖等的訓(xùn)練

直觀圖是發(fā)展學(xué)生空間想象能力的關(guān)鍵，是學(xué)生立體思維的對(duì)象，對(duì)于初學(xué)立體幾何者來講，如何把自己想象中的圖形體現(xiàn)在平面上，這是最困難的問題之一了。所謂空間想象力差，其實(shí)就是畫出來的圖形不富有立體感，不能表達(dá)出圖形中各部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系。因此，在立體幾何的初始階段，應(yīng)多利用線、面、體等實(shí)物模型以及對(duì)直觀圖的多角度的觀察、比較、對(duì)照、想象、識(shí)別，直至學(xué)生能夠迅速的看得懂圖，想得出形（體），發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。

1.識(shí)圖

無論是展示給學(xué)生看直觀圖，還是引導(dǎo)學(xué)生自己看，都應(yīng)從簡單的幾何體直觀圖開始，再到復(fù)雜的幾何體直觀圖，最后到組合幾何體的直觀圖，例如可以引導(dǎo)學(xué)生看下面這一組幾何體的直觀圖。在看圖時(shí)，同時(shí)提醒學(xué)生，由圖想面，由面想體，形成“一圖為一體”的觀念，這樣學(xué)生思維中儲(chǔ)存的立體信息越多，使用時(shí)提取的立體形象越多，空間想象力就越強(qiáng)。

通過“識(shí)圖”這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，學(xué)生就可以把實(shí)物模型與直觀圖更好的聯(lián)系起來，這樣學(xué)生頭腦中這樣的“舊表象”數(shù)量越多，再造想象就越豐富，形象思維、創(chuàng)造性思維就能更好的得到訓(xùn)練，從而使學(xué)生的空間想象能力得到更好的提高。

2.畫圖

空間觀念是形象思維與邏輯思維交替作用的思維過程，表達(dá)這種思維的最好語言就是幾何語言（幾何圖形），對(duì)一般的高中生來講，把空間幾何體畫在平面上是比較困難的。教師應(yīng)按照作圖法則，做出示范，使學(xué)生掌握作圖法則和要領(lǐng)。同時(shí)作圖訓(xùn)練應(yīng)該由易到難，循序漸進(jìn)，先訓(xùn)練平面圖形的直觀圖，再做空間幾何體的直觀圖、三視圖、展開圖。畫好后，引導(dǎo)學(xué)生將圖形與實(shí)物模型對(duì)比。要求學(xué)生不僅會(huì)畫，而且還要畫出很強(qiáng)的立體感。

例如，正方體的直觀圖如右下圖所示，則其展開圖是（D）.

再如，老師在講臺(tái)桌上放著一個(gè)如下圖所示的圓柱形茶杯（畫圖時(shí)，忽略茶杯的柄。尺寸學(xué)生自定），要求學(xué)生畫出它的直觀圖、三視圖以及展開圖。

通過“畫圖”這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，讓學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)踐、親身體驗(yàn)，即用幾何語言（幾何圖形）表達(dá)出來，培養(yǎng)了學(xué)生空間想象能力，同時(shí)也加強(qiáng)了他們對(duì)空間世界的認(rèn)知。

3.分解、組合以及度量等

對(duì)于一些復(fù)雜的圖形，他是由基本圖形分解、交錯(cuò)、組合、疊加而成的。此時(shí)基本元素之間的關(guān)系就比較抽象難以觀察。對(duì)于這種情況教師經(jīng)常是用彩色粉筆從中描出需要的幾何對(duì)象或者用多媒體處理效果也很好。其實(shí)更好的辦法是對(duì)圖形進(jìn)行分解和組合，這更有利于學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)。對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合訓(xùn)練的形式有：圖形的旋轉(zhuǎn)、將圖形對(duì)稱變換、圖形的平移、割補(bǔ)立體圖形、將立體圖形的側(cè)面或表面展開、將平面圖形翻折成立體圖形等。

例如，一個(gè)三棱柱的底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面，它的三視圖及其尺寸如下（單位cm），則該三棱柱的表面積為：

A.24πcm2B.（24+83）cm2C.143cm2D.183cm2

再如，離開模型和圖形）試想象正方體ABCD-A1B1C1D1中：

①在各棱所在的直線中，與棱AB所在的直線平行的直線有哪些？

②在各棱所在的直線中，與棱AB所在的直線相交的直線有哪些？

③、各棱所在的直線中，與棱AB所在的直線異面的直線有哪些？

④在各棱所在的直線中，與棱AB所在的直線垂直的直線有哪些？

⑤在各棱所在的直線中，哪兩條直線關(guān)于直線AB對(duì)稱？

⑥在各棱所在的直線中，直線AB繞直線CD旋轉(zhuǎn)90°后與那一條直線重合？

通過“分解、組合以及度量等”這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，使得學(xué)生對(duì)于平面圖形、實(shí)物、直觀圖、三視圖之間聯(lián)系與區(qū)別有了更深刻的理解。這使得學(xué)生對(duì)復(fù)雜的空間幾何體的認(rèn)識(shí)有著質(zhì)的飛躍，從而培養(yǎng)了學(xué)生的形象思維、創(chuàng)造性思維、抽象思維等，進(jìn)一步提高了學(xué)生的運(yùn)算能力、空間想象能力。

三、重視三種語言的互譯，培養(yǎng)空間問題的表述能力

數(shù)學(xué)中的空間想象力與一般的想象力既有區(qū)別又有聯(lián)系。文字語言、圖形語言、符號(hào)語言是數(shù)學(xué)中的三種基本語言，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生運(yùn)用這三種語言進(jìn)行交流是高中新課程數(shù)學(xué)必修系列的基本要求。教學(xué)中，要注意獲得文字語言的自然性，培養(yǎng)圖形語言的不可替代性及符號(hào)語言的準(zhǔn)確性。

例如，一張展開的平整的紙（代表平面）上斜插著一支筆（代表直線）。要求學(xué)生畫出圖形并且分別用符號(hào)語言、文字語言來敘述。

符號(hào)語言：直線a∩平面α=A。

文字語言敘述：直線a與平面α相交于A點(diǎn)。

畫圖如下（左）：

再如，證明：三個(gè)兩兩垂直的平面的交線也互相垂直（要求寫出已知、求證并畫出圖形）。

畫圖如上（右）。

已知：平面ABCD⊥平面ADD1A1，平面ABCD⊥CDD1C1，平面ADD1A1⊥CDD1C1

平面ABCD∩平面ADD1A1=直線AD，平面ABCD∩CDD1C1=直線CD，平面ADD1A1∩CDD1C1=直線DD1。

求證：AD⊥CD，CD⊥DD1，AD⊥DD1.

通過這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，可以有效地解決學(xué)生對(duì)這一塊知識(shí)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)：“數(shù)學(xué)符號(hào)多且抽象，準(zhǔn)確的語言表達(dá)、立體感強(qiáng)的圖形語言”。還訓(xùn)練了學(xué)生的直觀形象思維、抽象邏輯思維、聯(lián)想思維等，提高了學(xué)生的語言表達(dá)能力、空間想象能力等。

四、加強(qiáng)數(shù)學(xué)空間想象的訓(xùn)練

1.適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用多媒體等現(xiàn)代化信息技術(shù)工具的演示

在平面上繪出立體圖形，具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成垂直、正方體的每一面不能都畫成正方形等，這樣就給學(xué)生認(rèn)識(shí)立體圖形增加了困難。應(yīng)用多媒體輔助教學(xué)演示生動(dòng)、形象的立體圖形，是學(xué)生通過對(duì)直觀圖形的觀察，充分利用計(jì)算機(jī)繪圖功能的優(yōu)越性，從多方位、多角度、多側(cè)面描繪圖形，解決平面立體圖形和真實(shí)立體圖形的差異。這樣不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何的知識(shí)，還可以充分的發(fā)揮學(xué)生的想象力和造創(chuàng)力。

例如，為了讓學(xué)生理解二面角的定義，可做如下的演示（如圖1），當(dāng)A點(diǎn)繞著棱逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)所在的半平面也隨之轉(zhuǎn)動(dòng)，即二面角的大小也在變化。利用多媒體顯示出圖形的運(yùn)動(dòng)變化對(duì)學(xué)生建立空間觀念和提升空間想象力是很有幫助的。

再如，在講椎體時(shí)，多媒體演示將如圖2所示的三棱柱分割成三個(gè)三棱錐，且他們的體積都相等。這樣的過程可以使學(xué)生非常直觀的觀察出變化的整個(gè)過程，從中還可以學(xué)到用分割幾何體的方法解決問題。

“直觀感”“立體感”“動(dòng)態(tài)感”等方面在傳統(tǒng)教學(xué)中表現(xiàn)的不足，老師這時(shí)候就可以通過計(jì)算機(jī)、多媒體、網(wǎng)絡(luò)等現(xiàn)代化信息技術(shù)工具向?qū)W生展示精彩紛呈的圖形世界。這有利于學(xué)生擴(kuò)大視野，更好的建立空間概念，訓(xùn)練了學(xué)生的聯(lián)想思維、形象思維等，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣和空間想象能力。

2.培養(yǎng)動(dòng)手操作能力

將平面圖形折疊成空間幾何體；將空間幾何體的表面展開；將空間幾何體進(jìn)行割補(bǔ)；在復(fù)雜的圖形中尋找基本元素的關(guān)系等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力的很好的方法。

例如：如圖（1），邊長為2的正方形ABEF中，D，C分別為EF，AF上的點(diǎn)，且ED=CF，現(xiàn)沿DC把△CDF剪切、拼接成如圖（2）的圖形，再將△BEC，△CDF，△ABD沿BC，CD，BD折起，使E，F(xiàn)，A三點(diǎn)重合于點(diǎn)A′。（1）求證：BA′⊥CD；（2）求四面體B-A′CD體積的最大值。

通過這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，可以讓學(xué)生體驗(yàn)在親自動(dòng)手操作后帶來的喜悅感、成就感等，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手操作能力、運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)語言與符號(hào)的表達(dá)能力、邏輯推理能力和判斷能力、空間想象能力等。

經(jīng)過筆者的嘗試，通過以上這些方式、方法的訓(xùn)練，教學(xué)效果是非常明顯的。當(dāng)然空間想象能力的培養(yǎng)不是一朝一夕的事，它是一個(gè)漸進(jìn)的過程，貫穿整個(gè)高中的學(xué)習(xí)與教學(xué)。教學(xué)中要借助生活中大量的感性材料，借助多媒體技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形的特征去想象，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動(dòng)手操作和主動(dòng)參與，使學(xué)生在對(duì)大量圖形的觀察、操作、試驗(yàn)、想象、交流等活動(dòng)中，認(rèn)識(shí)空間幾何體，逐步提高空間想象能力。

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