牛頓—萊布尼茨公式教學(xué)的新探索

摘 要：對(duì)牛頓-萊布尼茨公式的教學(xué)進(jìn)行新探索，讓學(xué)生充分理解該公式背后所蘊(yùn)含的豐富的哲學(xué)思想以及在發(fā)現(xiàn)、證明這個(gè)公式的過(guò)程中所體現(xiàn)出的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法。

關(guān)鍵詞：牛頓-萊布尼茨公式 微積分基本定理 定積分

中圖分類號(hào)：O172.2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2013）04（c）-0184-02

恩格斯說(shuō)：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看做人類精神的最高勝利了”。而這種最高勝利的集中體現(xiàn)就是微積分基本定理以及牛頓-萊布尼茨公式[1-2]（下文簡(jiǎn)稱N-L公式），它們不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，同時(shí)也提供了計(jì)算定積分的一種簡(jiǎn)單有效的方法，將一個(gè)看起來(lái)幾乎無(wú)法解決的高等數(shù)學(xué)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非常簡(jiǎn)單的小學(xué)算術(shù)問(wèn)題，為后面定積分的計(jì)算及應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

然而絕大部分同學(xué)在學(xué)習(xí)完N-L公式之后，僅僅限于知道這是個(gè)非常有用的工具，并能夠使用這個(gè)工具解決簡(jiǎn)單定積分的計(jì)算，而對(duì)這個(gè)工具背后所蘊(yùn)含的豐富的哲學(xué)思想以及在發(fā)現(xiàn)、證明這個(gè)工具的過(guò)程中所體現(xiàn)出的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，缺少深刻的了解，這不能不說(shuō)是一種本末倒置，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。為了讓學(xué)生充分理解這個(gè)公式，達(dá)到既學(xué)習(xí)知識(shí)同時(shí)又培養(yǎng)能力的教學(xué)目標(biāo)，作者對(duì)N-L公式的教學(xué)過(guò)程進(jìn)行了精心設(shè)計(jì)，提出自己的新想法。

1 引入

首先通過(guò)回顧上節(jié)課的例子：用定積分的定義計(jì)算這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的定積分，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到利用定義計(jì)算定積分過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，而且計(jì)算量較大，當(dāng)被積函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，這個(gè)方法甚至無(wú)法實(shí)現(xiàn)。然后開門見山，提出問(wèn)題：計(jì)算定積分有沒有簡(jiǎn)單有效的方法呢？從而引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，即N-L公式。接下來(lái)，很自然地，讓學(xué)生思考：這樣一個(gè)公式是如何被發(fā)現(xiàn)的呢？

2 公式的發(fā)現(xiàn)

通過(guò)幾個(gè)特殊的例子，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生一般的數(shù)學(xué)猜想。

首先從幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，看能否產(chǎn)生什么想法。先來(lái)看個(gè)幾何上的問(wèn)題：引例1：求直線，軸及曲邊所圍曲面梯形的面積。

3 N-L公式的證明

把證明兩個(gè)“數(shù)”相等，轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)“函數(shù)”相等。

直接證明公式（2）比較困難，因?yàn)楣剑?）的左右兩端是兩個(gè)數(shù)，而證明兩個(gè)數(shù)相等，最好的方法是把兩個(gè)數(shù)都算出來(lái)，右端的數(shù)計(jì)算非常簡(jiǎn)單，小學(xué)生都能算的出來(lái)，而左端的數(shù)，到現(xiàn)在為止僅能利用定積分的定義，而利用定積分的定義卻是不現(xiàn)實(shí)的，應(yīng)該如何來(lái)解決呢？

我們說(shuō)，數(shù)學(xué)中到處都充滿著辯證法的思想，對(duì)立面的雙方是可以互相轉(zhuǎn)化的，剛才求曲邊梯形面積的的時(shí)候，我們采用的是從一般到特殊的方法，現(xiàn)在倒過(guò)頭來(lái)，嘗試從特殊到一般的方法，即把證明兩個(gè)“數(shù)”相等，轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)“函數(shù)”相等，原因是，證明兩個(gè)函數(shù)相等，有一個(gè)非常得力的工具——導(dǎo)數(shù)。

注意到，公式（5）中包含了兩種運(yùn)算，求導(dǎo)運(yùn)算和積分運(yùn)算。對(duì)一個(gè)函數(shù)先積分后求導(dǎo)，結(jié)果變成函數(shù)本身，這說(shuō)明積分與微分是互為逆運(yùn)算的。我們知道，積分和導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是完全不同的，導(dǎo)數(shù)是個(gè)局部概念，它刻畫的是函數(shù)在一點(diǎn)附近的變化率，其實(shí)際意義是求瞬時(shí)速度等，而定積分卻是這個(gè)整體概念，它的實(shí)際意義是求路程等，從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，兩者是對(duì)立的，但是兩者卻又和諧地統(tǒng)一在一個(gè)表達(dá)式里，這說(shuō)明兩者是統(tǒng)一的，故而導(dǎo)數(shù)和積分是對(duì)立統(tǒng)一的。打個(gè)比方，對(duì)立統(tǒng)一就像是男女之間的愛情，只要有對(duì)立統(tǒng)一就會(huì)產(chǎn)生美，就會(huì)產(chǎn)生力量，這里微分和積分的對(duì)立統(tǒng)一，就把一個(gè)看起來(lái)幾乎無(wú)法解決的高等數(shù)學(xué)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為一個(gè)小學(xué)生也能解決的算術(shù)問(wèn)題，對(duì)立統(tǒng)一的力量正在于此，也正是由于這樣，這樣一個(gè)定理才被稱之為微積分基本定理，而在這個(gè)定理之上建立的牛頓-萊布尼茨公式，才被稱之為微積分基本公式。

到此，可以看到在發(fā)現(xiàn)及證明N-L公式的過(guò)程中，充分體現(xiàn)了辯證法最核心的規(guī)律，對(duì)立統(tǒng)一。N-L公式一方面使得微分和積分變?yōu)橐粋€(gè)有機(jī)整體，另一方面使得定積分的計(jì)算變得簡(jiǎn)潔，也就是從這時(shí)開始，許多物理、天文等方面的實(shí)際問(wèn)題才真正得以解決，從而推動(dòng)了整個(gè)近代科學(xué)的發(fā)展，正因?yàn)檫@樣，恩格斯才對(duì)微積分有如此高的評(píng)價(jià)，稱其為“人類精神的最高勝利”。

參考文獻(xiàn)

[1]東南大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M].5版.北京：高等教育出版社，2002.