基于二項(xiàng)分布的“杠桿效應(yīng)”以及實(shí)例分析

摘 要：類似于物理學(xué)的“杠桿原理”和經(jīng)濟(jì)學(xué)的“杠桿效應(yīng)”，在概率統(tǒng)計(jì)學(xué)中也同樣存在將微小變化不斷放大，最終可能出現(xiàn)極端值的“杠桿作用”。以二項(xiàng)分布X～B（n，p）為例探討了統(tǒng)計(jì)中的杠桿效應(yīng)，并分別以社會、生活等方面的實(shí)例，具體論述闡明這一規(guī)律，從實(shí)踐中得到啟發(fā)與深思。

關(guān)鍵詞：“杠桿效應(yīng)”；二項(xiàng)分布；實(shí)例分析

中圖分類號：O212.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-291X（2013）10-0241-03

阿基米德在《論平面圖形的平衡》中最早提出了杠桿原理，“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能翹起整個(gè)地球”的哲思更是讓世界為之撼動。眾所周知，物理學(xué)中的“杠桿原理”表明通過力臂與力的調(diào)整，可以使微小的力和距離被放大；類似地，經(jīng)濟(jì)學(xué)“財(cái)務(wù)杠桿效應(yīng)”是指由于固定費(fèi)用的存在而導(dǎo)致，當(dāng)某一財(cái)務(wù)變量以較小幅度變動時(shí)，另一相關(guān)變量以較大幅度變動的現(xiàn)象。那么，在概率統(tǒng)計(jì)中是否存在類似的現(xiàn)象呢？

在文獻(xiàn)[6]中可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)“將微小變動不斷放大”的圖例，這個(gè)例子與二項(xiàng)分布密不可分。二項(xiàng)分布是統(tǒng)計(jì)中常用的分布之一。假設(shè)貝努力試驗(yàn)中每次成功的概率為p，n次試驗(yàn)累積成功次數(shù)所占比例為k?？傻美鄯e概率為：

η=∑n

i=[kn]+1Ci

npi（1-p）n-i （1）

此處p為基準(zhǔn)概率值，k為中心值，n為試驗(yàn)總次數(shù)。[kn]為對kn取整數(shù)。

當(dāng)滿足|k-p|=ε（ε>0且ε→0），若p→k時(shí)，會得到有趣的結(jié)果：（1）當(dāng)p-k=ε時(shí)，則η>k，即p取k右（上）側(cè)值，隨著n增大，η→1，η無限趨于1；（2）當(dāng)k-p=ε時(shí)，則η

例如，當(dāng)k=0.5時(shí)，可以得到：（1）當(dāng)p=0.51時(shí)，n→+∞時(shí)，η→1；（2）當(dāng)p=0.49時(shí)，n→+∞時(shí)，η→0。

下面基于概率統(tǒng)計(jì)中的“杠桿效應(yīng)”來分析以社會、生活中的幾個(gè)例子。

一、努力提高公眾參與度的選舉

某人欲競選學(xué)生會主席，假定該院系有49%的人不支持他，即每隨機(jī)問一個(gè)人，都有49%的可能不選他。如果從該院系隨機(jī)選擇100人來投票，按照多于半數(shù)當(dāng)選原則（100人中至少51人選他），他不被選上的概率有多大，是否遠(yuǎn)小于某一個(gè)人不選他的概率0.49？1 000人情況又如何？

此題可看做上述一般性規(guī)律總結(jié)的具體化，即k=0.5，p=0.49。根據(jù)（1）式容易計(jì)算得到當(dāng)n=100時(shí)，他最終不當(dāng)選（至少51人不選他）的概率約為0.3819。當(dāng)n=1 000時(shí)，他最終不當(dāng)選（至少501人不選他）的概率約為0.2532。因此，隨著參與投票人數(shù)的無限增多，該競選者不被選上的概率越來越小，甚至可能無限趨于0。這說明，當(dāng)參與投票人主觀意愿趨同，且對競選者略微有利時(shí)，隨著公眾參與度的擴(kuò)大，競選者被支持的可能優(yōu)勢將被“概率杠桿”放大。

聯(lián)系實(shí)際，我們時(shí)常聽到鼓勵(lì)公眾參與投票的號召，一方面從公眾角度，是參與民主途徑的拓寬，另一方面，從競選者利益角度，也是將對自身略微有利條件的擴(kuò)大效應(yīng)。我們在認(rèn)識競選這一社會現(xiàn)象時(shí)，不僅以政治、社會視角評價(jià)，更應(yīng)從概率統(tǒng)計(jì)中得到理性深刻的認(rèn)知，概率統(tǒng)計(jì)的“杠桿效應(yīng)”便是我們理性認(rèn)知的媒介。

二、遍地撒網(wǎng)的廣告宣傳

日常生活中，廣告與我們“如影相隨”，人口密集度較高處出現(xiàn)的廣告無疑具有宣傳的較好作用。但近些年來，廣告也開始頻繁出現(xiàn)在人口稀少地區(qū)。我們不禁要問，這樣的廣告宣傳真具有商業(yè)價(jià)值嗎？這里我們從概率統(tǒng)計(jì)的角度進(jìn)行一些思考。

假設(shè)單個(gè)消費(fèi)者通過廣告宣傳，對該產(chǎn)品性能具有一定了解的概率為71% （p=0.71），那么在一定消費(fèi)人群中，如果累積消費(fèi)率達(dá)70%以上，即產(chǎn)品最終被七成以上的人（k=0.7）選擇作為潛在消費(fèi)品的概率變化（如表1所示）。為了對比，表1也給出了另一種情況下累積概率的變化情況，即假定單一消費(fèi)者對產(chǎn)品熟知度提升為0.78（p=0.78），這意味著廣告宣傳力度加大，廣告覆蓋人群數(shù)遞增。

表1 兩種情況下累積概率變化情況

從上面兩種情況可以對比得出：p=0.78相較于p=0.71雖然只增加了一些，但是使得累積概率值趨近于極端值1的速度明顯加快。不難發(fā)現(xiàn)，使最終累積概率值極端化的正相關(guān)因素有兩個(gè)：一是廣告覆蓋總?cè)巳簲?shù)n，二是潛在消費(fèi)者對廣告產(chǎn)品熟知度，即基準(zhǔn)概率p。

根據(jù)以上的分析結(jié)果，我們可以理解為什么企業(yè)會采取“遍地撒網(wǎng)”式的廣告宣傳，甚至觸及偏遠(yuǎn)、人口稀疏區(qū)，這一方面是擴(kuò)大熟知產(chǎn)品的總?cè)巳簲?shù)n；另一方面，也是在提升單個(gè)消費(fèi)者對該產(chǎn)品的熟知度p，即廣告延伸區(qū)域的密集度和廣泛性使廣告宣傳影響力和效果被杠桿效應(yīng)放大。因此，看似人口稀少地區(qū)的農(nóng)村投放大量廣告花費(fèi)的是商家無謂“沉沒成本”，實(shí)質(zhì)上是利用“概率杠桿作用”，旨在提高潛在消費(fèi)人群的科學(xué)做法，且經(jīng)上述驗(yàn)證，符合n重貝努力試驗(yàn)累積后概率值極端化的規(guī)律總結(jié)。

三、洞察商家的謊言

我們經(jīng)常會看到這樣的例子：某商家宣稱次品率不超過12‰，客戶從該廠生產(chǎn)的一大批產(chǎn)品中不放回地抽取50次，每次一件，經(jīng)檢查發(fā)現(xiàn)3件次品，問廠商的話是否可信。

由于產(chǎn)品批量相較于抽取數(shù)量大得多，正、次品概率受前面各次影響甚微，故可將其看其近似看做n重貝努力試驗(yàn)，即次品數(shù)x～B（50，0.012]，50件產(chǎn)品中恰有3件次品的概率p{x=3}=C30

50（0.012）3（0.988）47≈0.0198，據(jù)實(shí)際推斷原理：“小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際不可能發(fā)生?！钡祟}中竟然發(fā)生，故假設(shè)推斷不可信，廠商的“宣稱”為謊言。

類比概率統(tǒng)計(jì)的杠桿效應(yīng)和小概率事件利用極端值否定假設(shè)的情形，我們發(fā)現(xiàn)兩者具有相同的條件，即“試驗(yàn)次數(shù)足夠多”，但兩者不同之處在于基準(zhǔn)概率值p的大小。在上述杠桿效應(yīng)中，基準(zhǔn)值p接近目標(biāo)概率值k，如選舉實(shí)例中0.49→0.5，0.51→0.5，而結(jié)果值極端化地依p較k的方向趨于0或1。而在小概率事件應(yīng)用中，事件重復(fù)n次，若次品率低于12‰，則p{X=3}將更小，也是杠桿效應(yīng)的某種體現(xiàn)，最終概率值隨基準(zhǔn)概率的偏離，與中心值差距擴(kuò)大化。概率統(tǒng)計(jì)的杠桿作用使原本的小概率極端化，從而有充分依據(jù)否定原假設(shè)，識別商家夸張的宣傳和洞悉精明的謊言，以理性視角、科學(xué)態(tài)度運(yùn)用于實(shí)踐，分析生活點(diǎn)滴。

四、街頭游戲的本質(zhì)

我們經(jīng)?？梢砸姷竭@樣的街頭游戲：攤前擺放著三個(gè)倒立的碗，其中一個(gè)下面藏有硬幣，參與游戲的人只需看清在“游戲組織者”靈活的變換后，硬幣落入哪個(gè)碗即可。

與其說這是一種街頭賭博游戲，不如更恰當(dāng)?shù)亟忉尀椤膀_局”。以參與者的次數(shù)占游戲總次數(shù)一半以上為獲利標(biāo)準(zhǔn)，每局中參與者獲利概率為1/3（實(shí)際情況中由于“組織者” 的障眼法，實(shí)際情況可能小于1/3，此處忽略不計(jì)），利用“杠桿原理”計(jì)算n=10，50，100時(shí)參與者獲利的概率為：

表2 n=10，50，100時(shí)參與者獲利概率變化情況

根據(jù)杠桿效應(yīng)可知，參與者獲利的概率微乎其微，相反“組織者”最終必然獲利。參與者在游戲開始時(shí)便處于不利地位，因基準(zhǔn)概率p=1/3，遠(yuǎn)小于目標(biāo)概率k=0.5，即p<k=0.5，甚至基準(zhǔn)概率p=1/3差距不斷增大，最終極端化方向與p（1/3）位于k（0.5）左（下）側(cè)一致，朝0方向趨近，即量化分析后，得知所謂街頭游戲的本質(zhì)是參與者始終處于不利地位的騙局。

五、“積跬步以至千里”

荀子《勸學(xué)》中有言：“不積跬步，無以至千里，不積小流，無以成江海。騏驥一躍，不能十步；駑馬十駕，功在不舍；鍥而舍之，朽木不折；鍥而不舍，金石可鏤?！焙喢鞫羁痰恼芾磉M(jìn)一步驗(yàn)證了概率統(tǒng)計(jì)的“杠桿效應(yīng)”，即小概率事件經(jīng)過概率累計(jì)的杠桿作用，最終概率甚至可趨于1。

不妨將文字表述數(shù)字化，設(shè)“跬步”、“小流”存在發(fā)生概率為ε（ε>0且ε→0）經(jīng)累積過程，最終成就“千里之遠(yuǎn)距”，“江海之浩瀚”（可看作至少發(fā)生一次）的概率為：1-C0

n（1-ε）n=

1（n→+∞），對比“積累”之前結(jié)果：1-C0

n（1-ε）n=0（n→+∞） 。以上兩個(gè)極端值形象直觀地進(jìn)一步論證了概率統(tǒng)計(jì)的杠桿效應(yīng)?！坝兄菊呤戮钩伞?、“勿以善小而不為，勿以惡小而為之”均可用此杠桿效應(yīng)解釋闡述：看似微小的可能，經(jīng)n重貝努力試驗(yàn)，n→+∞時(shí)，至少發(fā)生一次將會趨于必然事件。重視微小細(xì)節(jié)，不忽視“小概率事件”也是概率統(tǒng)計(jì)中的杠桿效應(yīng)給予我們的深思。

綜合上面幾個(gè)例子，我們可以看到概率統(tǒng)計(jì)中的杠桿效應(yīng)為社會、生活、學(xué)習(xí)各方面的研究和認(rèn)識提供量化分析、理性視角、科學(xué)態(tài)度。從實(shí)踐折射于思考探究，對于概率統(tǒng)計(jì)的杠桿效應(yīng)有具象化的感知與領(lǐng)悟，從而為深層次實(shí)踐奠定基礎(chǔ)，“積跬步以至千里”，在杠桿效應(yīng)的指引下，用微小發(fā)現(xiàn)的知識光圈點(diǎn)亮精彩奧妙的博大世界！