數(shù)學歸納法在初等數(shù)學中的應用

摘 要： 在數(shù)學教學中，在培養(yǎng)學生演繹推理能力的同時要重視合情推理能力的培養(yǎng)，與之對應的是歸納、猜想的思想和數(shù)學歸納的方法.運用數(shù)學歸納法證明，能起到化繁為簡的作用，有助于培養(yǎng)學生的觀察、猜想與歸納的合情推理能力.

關鍵詞： 數(shù)學歸納法 中學數(shù)學教學 合情推理 演繹推理

數(shù)學歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學命題的一種推理方法.運用數(shù)學歸納法處理問題，能起到化繁為簡的作用，有助于培養(yǎng)學生的觀察、猜想與歸納的合情推理能力.在實際教學中，教師對數(shù)學歸納法的講授和應用多停留在數(shù)列、恒等式和不等式相關問題上.其實數(shù)學歸納法在中學數(shù)學中的應用遠不止于此，它還可用來解答或證明整除性、三角函數(shù)和幾何等方面的問題.

1.數(shù)學歸納法在整除性問題上的應用

3.數(shù)學歸納法在平面幾何中的應用

例3：平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成n■-n+2個部分.

分析：用數(shù)學歸納法證明幾何問題，主要是搞清楚當n=k+1時比n=k時，分點增加了多少，區(qū)域增加了幾塊.本題中第k+1個圓被原來的k個圓分成2k條弧，而每一條弧把它所在的部分分成了兩部分，此時共增加了2k個部分，問題得到了解決.

證明：①當n=1時，平面內(nèi)1個圓把平面分成2個部分.

4.在函數(shù)迭代中的應用

數(shù)學歸納法在中學數(shù)學中用途甚廣，可是實際上學生對數(shù)學歸納法并不能做到熟練運用，通常僅限于數(shù)列和函數(shù)方面的應用.由此導致學生在真正運用數(shù)學歸納法處理問題時常出現(xiàn)兩個比較重大的錯誤：一是弄不清第二步到第三步的具體變化，二是在證明時根本沒有運用到第二步的假設.因此，教師要對數(shù)學歸納法在中學數(shù)學中各個方面的應用進行深入探討，把握規(guī)律，方能做到在教學中胸有成竹，成功地引導學生掌握歸納猜想的思想和相應的數(shù)學歸納法.