數(shù)學構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用

摘 要： 數(shù)學構(gòu)造法是一種常見的解題方法，有特殊的地位和重要的作用.本文通過具體實例介紹了數(shù)學構(gòu)造法在解題中的運用，并指出了運用數(shù)學構(gòu)造法解題，有利于學生開拓解題思路，培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)新能力.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學構(gòu)造法 解題 應(yīng)用

構(gòu)造法是解決數(shù)學問題最有活力的方法之一，如能恰當?shù)剡\用，就可以把問題簡單化、直觀化、具體化，從而達到難題巧解的目的.歷史上許多數(shù)學家如歐拉、拉格朗日等都曾用此法成功地解決了數(shù)學中的難題.運用構(gòu)造法解題時，被構(gòu)造的對象是多種多樣的，并無定規(guī)，靈活巧妙的“構(gòu)造”令人耳目一新，拍手稱絕.

一、構(gòu)造數(shù)與式

數(shù)與式是數(shù)學的重要組成內(nèi)容，知識點間有千絲萬縷的內(nèi)在聯(lián)系.在解題時，利用知識點間的矛盾對立統(tǒng)一性，積極探索，構(gòu)造適當?shù)臄?shù)與式，重組數(shù)學問題中各元素的關(guān)系，從而將問題化難為易.

二、構(gòu)造方程（組）

方程（組）是一種重要的數(shù)學解題思想和方法，它廣泛應(yīng)用于代數(shù)、三角、幾何等方面.有些問題未必是方程（組）問題，但根據(jù)問題中條件與結(jié)論之間的數(shù)量關(guān)系，可以構(gòu)造輔助方程（組），把問題轉(zhuǎn)化為方程（組）問題，使解答過程簡潔明了.

三、構(gòu)造函數(shù)

根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造一個或幾個新的函數(shù)，并借助構(gòu)造的新函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決原問題，從而加快解題速度，提高解題的正確率.構(gòu)造函數(shù)解（證）問題是創(chuàng)造性思維過程，具有較強的靈活性和技巧性，必須依靠平時的訓練積累開拓思維，激發(fā)解題靈感.

四、構(gòu)造圖形

一般來講，數(shù)學問題較為抽象，精練的語言加上簡單的數(shù)字符號就構(gòu)成了一道數(shù)學問題，其所能傳遞的信息量有限.在解題過程中，根據(jù)問題條件與幾何圖形的關(guān)系，構(gòu)造理想的圖形，從而直觀地揭示已知和未知的關(guān)系，使解題思路豁然開朗.數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休.”言簡意賅地概括了“數(shù)形結(jié)合”解題的重要性.

例4：求tan22.5°的值.

五、構(gòu)造實際模型

數(shù)學源于生活，應(yīng)用于生活，當遇到抽象問題，難以下筆時，可以考慮從實際生活中找原型，將數(shù)學問題置于實際生活情境中研究，巧妙地構(gòu)造新的數(shù)學模型，化抽象為具體，化復雜為簡單，使問題求解達到意想不到的效果.

例5：王力夫婦欲購買一套房子，共需100萬元，首付30萬元，其余向銀行申請按揭貸款，銀行月利率約為0.5%，貸款期限為20年，試問王力夫婦每月要還貸多少錢？

分析：構(gòu)造等額本息還款模型。等額本息還款法是指貸款人在還款期內(nèi)每月償還的貸款本金及利息之和不變的還款方式，也就是從貸款第二個月起每月以相等的款額平均償還貸款本金和利息，即每月還款數(shù)為固定值.

解：令貸款額A=700000，R=0.005，N=240，每月還款x元，

例6：現(xiàn)有5名同學站成一排照相，甲乙兩人必須相鄰，請問共有多少種站法？

分析：本題為排列問題，要求甲乙相鄰，則可構(gòu)造“捆綁”模型，將特殊元素甲乙“捆綁”成一個，本題即可抽象成4個元素的排列，最后將甲乙進行排列的問題.

七、構(gòu)造數(shù)列

等差數(shù)列、等比數(shù)列有很多性質(zhì)，是教材中數(shù)列學習的重點，也是各類考試的考點之一.在解決相關(guān)數(shù)列問題時，可根據(jù)題設(shè)的特征，通過聯(lián)想、替換，構(gòu)造出一個新的等差數(shù)列或等比數(shù)列，并利用新數(shù)列的性質(zhì)解決問題，使求解過程化繁為簡，曲徑通幽.

綜上可知，構(gòu)造法解題有讓人意想不到的作用，巧妙地運用可使問題容易得解，其過程重在“構(gòu)造”，建立在對所掌握的知識深刻理解和綜合應(yīng)用的基礎(chǔ)上，構(gòu)造方程、函數(shù)、圖形、向量、數(shù)列等，快速解決問題.構(gòu)造法解題的思維過程是創(chuàng)造性思維過程，要成功地“構(gòu)造”，必須細心觀察，豐富聯(lián)想，巧妙構(gòu)思，大膽創(chuàng)造.構(gòu)造法有利于學生打破思維定勢，體會數(shù)學知識間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，創(chuàng)造性地解決問題，從而激發(fā)學生積極探索、創(chuàng)新的欲望和意識，讓學生體驗到學習成功的喜悅.

參考文獻：

[1]杜軍濤.巧構(gòu)造妙解題.考試周刊，2012（31）.

[2]張大春.淺談構(gòu)造法在中學數(shù)學解題中的應(yīng)用.數(shù)學學習與研究，2010（17）.

[3]王榮波.購房貸款中的數(shù)學問題.科技信息，2012（14）.