趣話“悖論”
2013-12-29 00:00:00林革
百科知識(shí) 2013年17期
“悖論”不僅是一個(gè)極富吸引力的字眼，而且是邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)推理中一個(gè)特別的專屬概念。所謂“悖論”是指：對(duì)于一個(gè)命題A，若承認(rèn)A，則可推得非A；反之，若承認(rèn)非A，又可推得A。這個(gè)導(dǎo)致矛盾的命題A就被稱為悖論。如果你覺(jué)得這樣的定義過(guò)于抽象，那么不妨來(lái)看下面這段生動(dòng)形象的描述：
現(xiàn)在有一臺(tái)運(yùn)轉(zhuǎn)正常的電腦，反應(yīng)快捷，判斷問(wèn)題只在須臾之間。假設(shè)這臺(tái)電腦用開紅燈表示“是”，開綠燈表示“不”，現(xiàn)在它被要求判斷回答“下一次亮的是不是綠燈”。問(wèn)題輸入后，電腦開始運(yùn)行，結(jié)果人們發(fā)現(xiàn)這臺(tái)倒霉的電腦像發(fā)了狂一樣不停地閃爍紅綠燈。導(dǎo)致其不知所措的原因其實(shí)很簡(jiǎn)單：如果它回答“是”，也就表明下面亮的確實(shí)是綠燈，可按照程序規(guī)定“是”卻要開紅燈；如果它回答“不”，表明下面亮的不是綠燈，可按照程序規(guī)定它回答“不”又要亮綠燈，所以電腦由于不知道究竟該怎么辦而發(fā)狂。
這則小故事直觀地描述了“悖論”的特點(diǎn)，即讓人陷入自相矛盾、左右為難的怪圈難以自拔。悖論讓人們既癡迷又疑惑，在強(qiáng)烈吸引中彰顯其神秘奇特，既而引發(fā)了人們普遍的關(guān)注和思考。
真話還是假話
據(jù)說(shuō)在古希臘一個(gè)叫克里特的地方，有個(gè)名叫伊壁孟德的傳奇人物。證實(shí)他與眾不同的一個(gè)細(xì)節(jié)是伊壁孟德曾經(jīng)一覺(jué)睡了57年之久。
有一天，伊壁孟德突然說(shuō)了這樣一句話：“所有的克里特人都是撒謊者?！北緛?lái)人們對(duì)哲人的判斷言聽計(jì)從，可這句所謂神的旨意究竟是真是假引起了人們的爭(zhēng)議。幾乎所有刨根問(wèn)底的人都不由自主被卷進(jìn)伊壁孟德造成的漩渦里難以自拔。
其中原因也不難理解：假定撒謊者總是說(shuō)假話，不撒謊者總是說(shuō)真話。如果伊壁孟德說(shuō)的是真話，那么所有克里特人都是撒謊者，可是伊壁孟德正是一個(gè)克里特人，那么他說(shuō)的話必然就是假話，這樣一來(lái)，前后就產(chǎn)生了矛盾；如果伊壁孟德這句話是假的，那么所有克里特人就不是撒謊者，而都是講真話的，因?yàn)橐帘诿系率强死锾厝?，他說(shuō)的話必然又是真話，結(jié)果還是前后矛盾。這真讓人迷惑，從邏輯推理來(lái)說(shuō)，上面的推斷嚴(yán)謹(jǐn)而合理，可得出的結(jié)論卻讓人抓狂，伊壁孟德的這句話怎么可能既是謊話，同時(shí)又是真話呢？這就是邏輯悖論中著名的“說(shuō)謊者悖論”，它反映出悖論在邏輯上不可避免的矛盾。
從這個(gè)例子可以清晰看出悖論的特點(diǎn)：當(dāng)我們?cè)谡J(rèn)定了一個(gè)結(jié)論的前提下，經(jīng)歷了一系列嚴(yán)密推理之后，卻又得出了否定前提的結(jié)論。
分身乏術(shù)的鎮(zhèn)長(zhǎng)
荷蘭的譯音來(lái)自Nederland，意為“低洼之國(guó)”。這是因?yàn)楹商m全境均地勢(shì)較低，所以荷蘭境內(nèi)呈現(xiàn)出河流密布，溝壑交錯(cuò)的特殊地貌。也正是由于這種特殊的地理?xiàng)l件，荷蘭在很久以前就出現(xiàn)了許多小市鎮(zhèn)。
為了便于管理，每個(gè)小市鎮(zhèn)均設(shè)立了鎮(zhèn)長(zhǎng)。首先必須說(shuō)明的是，沒(méi)有任何人兼任兩個(gè)或兩個(gè)以上市鎮(zhèn)的鎮(zhèn)長(zhǎng)，也沒(méi)有任何市鎮(zhèn)由兩個(gè)或兩個(gè)以上的人擔(dān)任鎮(zhèn)長(zhǎng)。排除了這些特殊情況后，還要慎重加以說(shuō)明的是，在這些鎮(zhèn)長(zhǎng)中，有的居住在自己任職的市鎮(zhèn)中，人們習(xí)慣地稱他們?yōu)椤熬用矜?zhèn)長(zhǎng)”；有的則是在另外的市鎮(zhèn)里居住，人們稱其為“非居民鎮(zhèn)長(zhǎng)”。這原本也沒(méi)什么值得大驚小怪的，直到有一年，荷蘭專門開辟一塊土地讓這些“非居民鎮(zhèn)長(zhǎng)”居住，這項(xiàng)法令頒布后，奇怪的事情發(fā)生了。
隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，這塊專門的地區(qū)越來(lái)越繁華，面積也越來(lái)越大，“非居民鎮(zhèn)長(zhǎng)”的數(shù)量不斷增加，很快這個(gè)地區(qū)就形成了一個(gè)新的市鎮(zhèn)。顯然，這個(gè)新形成的市鎮(zhèn)也要設(shè)立鎮(zhèn)長(zhǎng)一職，這是大家都能接受的。但選出鎮(zhèn)長(zhǎng)后，人們卻發(fā)現(xiàn)一個(gè)無(wú)法解決的問(wèn)題，那就是：這個(gè)鎮(zhèn)的鎮(zhèn)長(zhǎng)住不住在這個(gè)鎮(zhèn)呢？
如果此鎮(zhèn)長(zhǎng)住在這個(gè)鎮(zhèn)，那么，他就成了“居民鎮(zhèn)長(zhǎng)”，但前面提到，荷蘭劃出這塊專門地區(qū)是為了那些不能住在自己任職市鎮(zhèn)里的鎮(zhèn)長(zhǎng)。換句話說(shuō)，只有“非居民鎮(zhèn)長(zhǎng)”才能住在這里，所以根據(jù)這一點(diǎn)判斷此鎮(zhèn)長(zhǎng)不能住在這個(gè)鎮(zhèn)。而如果此鎮(zhèn)長(zhǎng)不住在這個(gè)鎮(zhèn)，那么，他又成了“非居民鎮(zhèn)長(zhǎng)”，而“非居民鎮(zhèn)長(zhǎng)”就應(yīng)該住在這里。這的確讓人大傷腦筋，無(wú)所適從，因?yàn)殒?zhèn)長(zhǎng)分身乏術(shù)啊。
令人糾結(jié)的卡片
“什么樣的卡片能讓人糾結(jié)？”請(qǐng)看下面這張由英國(guó)數(shù)學(xué)家P.E.B喬頓精心設(shè)計(jì)的“矛盾卡片”。如果你對(duì)動(dòng)手操作感興趣，也可以照此復(fù)制一張卡片慢慢琢磨。
需要說(shuō)明的是，所謂矛面和盾面是指這張卡片的正反兩面，為了讓大家一目了然便于直觀分析，所以加上了顯著的標(biāo)記。但這并不是“矛盾卡片”的重點(diǎn)，卡片值得反復(fù)推敲的玄機(jī)所在是正反兩面上的判斷語(yǔ)句。
暫時(shí)沒(méi)發(fā)現(xiàn)什么玄妙？不要緊，請(qǐng)跟著筆者一起進(jìn)入語(yǔ)境進(jìn)行推理：如果矛面上的句子“卡片的另一面上的句子是正確的”為真，也就是說(shuō)另一面即盾面上的句子是正確的，而盾面的句子是“卡片的另一面上的句子是錯(cuò)誤的”，這句話若是正確的，則表明另一面即矛面上的句子又應(yīng)該為假，這樣就導(dǎo)致前后判斷相互矛盾；同樣的，由矛面上的句子“卡片的另一面上的句子是正確的”為假，可推斷出另一面即盾面上的句子錯(cuò)誤，而盾面的句子是“卡片的另一面上的句子是錯(cuò)誤的”，恰恰印證了矛面上的錯(cuò)誤判斷，也就是說(shuō)，事實(shí)上盾面上的句子是正確的，這樣又導(dǎo)致前后判斷相互矛盾。以上是從矛面到盾面的分析，大家也可以從盾面到矛面分析，結(jié)果仍然會(huì)落入左右為難的境地。
這種是也不是、不是也是的情況猶如“循環(huán)往復(fù)”的黑洞?？蓮谋砻嫔嫌执_實(shí)看不出推理有什么破綻，人們似乎莫名其妙就陷入矛盾之中，這實(shí)在令人糊涂和糾結(jié)。
為何出現(xiàn)悖論
你肯定會(huì)問(wèn)：這么奇怪的悖論是如何出現(xiàn)的？從其發(fā)展過(guò)程中不難看出，悖論產(chǎn)生的根源在于客觀世界所固有的矛盾。人類的認(rèn)知能力有限，對(duì)世界的認(rèn)識(shí)是一個(gè)逐漸提高的過(guò)程，只能分時(shí)段、分層次由淺入深、由低到高慢慢掌握事物的規(guī)律，所以即便是大家公認(rèn)的科學(xué)理論也只是某一時(shí)期、某一層次、某一領(lǐng)域的客觀規(guī)律的部分反映，并不一定全面嚴(yán)密，而且人們對(duì)事物的認(rèn)識(shí)還會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化。比如在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，人們認(rèn)識(shí)和接受的數(shù)是自然數(shù)，也習(xí)慣了用較大數(shù)減去較小數(shù)，而后來(lái)為了表示事實(shí)存在的相反意義的量，才引入負(fù)數(shù)的概念，這樣用較小數(shù)減去較大數(shù)就不再荒唐。這說(shuō)明，正是認(rèn)知的局限變化和科學(xué)理論的非絕對(duì)真理性為悖論的產(chǎn)生提供了合理的“土壤”。
悖論帶來(lái)了什么
接下來(lái)的問(wèn)題是研究悖論有什么意義呢？回答是，悖論對(duì)人類的認(rèn)知能力和科學(xué)發(fā)展將起到積極的推進(jìn)作用。下面兩個(gè)著名事例應(yīng)該能夠說(shuō)明這一點(diǎn)。
畢達(dá)哥拉斯悖論。畢達(dá)哥拉斯是古希臘最杰出的數(shù)學(xué)家，這位西方理論數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人創(chuàng)立了著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，并被人們普遍接受。該學(xué)派最為自豪的數(shù)學(xué)成果是發(fā)現(xiàn)了“勾股定理”，因?yàn)樵讱⒘?00頭牛大肆慶賀，所以又稱“百牛定理”。而正是由于這個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了“畢達(dá)哥拉斯悖論”的產(chǎn)生，從而動(dòng)搖了大眾的數(shù)學(xué)信仰。
該學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯在思考“邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度”時(shí)遇到了讓他困惑不解的情況。因?yàn)檫@等同于求直角邊為1的等腰直角三角形的斜邊L。根據(jù)“勾股定理”， L2=12十12=2，而12=1，22=4，12
L既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)，顯然與畢氏學(xué)派的信仰直接相悖，“肇事者”希帕索斯為此付出了生命的代價(jià)，但這并不能阻礙人們重新反思，并引入一種新數(shù)——無(wú)理數(shù)?，F(xiàn)在人們輕松地用
落體悖論。亞里士多德是古希臘落體研究的代表人物。他的落體運(yùn)動(dòng)定律——不同重量的物體從高空下落的速度與其重量成正比，因接近于日常生活的事實(shí)而得到人們的普遍認(rèn)可。
16世紀(jì)，意大利著名天文學(xué)家和物理學(xué)家伽利略對(duì)此“權(quán)威定論”產(chǎn)生疑問(wèn)，于是就出現(xiàn)了1589年的“比薩斜塔實(shí)驗(yàn)”。眾目睽睽之下，伽利略讓兩個(gè)重量不同的鐵球同時(shí)自由下落，結(jié)果兩個(gè)鐵球同時(shí)落地。除此之外，伽利略還進(jìn)行了如下的假設(shè)推導(dǎo)：
假設(shè)“物體越重，下落越快”的論斷正確。那么，現(xiàn)在有兩個(gè)物體A和B，A的重量超過(guò)B，根據(jù)假設(shè)可得，A下落比B快；接著，把A和B兩個(gè)物體固定在一起得到物體C，顯然C的重量更大，仍根據(jù)假設(shè)，C應(yīng)該下落得最快。
而分析C落下時(shí)的情形可發(fā)現(xiàn)：C由A和B兩部分組成，下落時(shí)較重的A速度要快過(guò)較輕的B。這樣，較快的A在前面拉著較慢的B，較慢的B在后面拖著較快的A，那么受B的影響，A和B一起（即C）下落的速度應(yīng)介于A和B單獨(dú)自由下落速度之間。也就是說(shuō)，C下落的速度比A慢。這與前面得出“C下落最快”的結(jié)論矛盾。
伽利略采用“以彼之道，還治彼身”的方法，利用亞里士多德的判斷作為前提進(jìn)行嚴(yán)密推導(dǎo)，得出與前提矛盾的結(jié)論，從而在邏輯上推翻了亞里士多德深入人心的定論，為近代物理學(xué)的發(fā)展奠定了重要基礎(chǔ)。
總而言之，悖論的出現(xiàn)讓人歡喜讓人憂。喜的是這種悖論之惑客觀存在，它將激發(fā)人們的探索欲，并重新進(jìn)行創(chuàng)造性的思考，而這種創(chuàng)造性的思考往往可以給人類帶來(lái)全新的觀念和認(rèn)識(shí)；憂的是數(shù)學(xué)家面對(duì)悖論一下子陷入到邏輯的困境中莫衷一是，暫時(shí)還沒(méi)有完善的解決方案。但我們有理由相信，悖論是打開新領(lǐng)域的“敲門磚”。事實(shí)上，數(shù)學(xué)史上的3次數(shù)學(xué)危機(jī)都是由悖論引發(fā)的，所以悖論或許會(huì)給我們打開新的世界之門。
【責(zé)任編輯】趙 菲
