巧用微元法求解電磁感應(yīng)問題的幾類模型

摘 要： 微元法是高中物理教學(xué)中一種重要的思維方法。本文結(jié)合電磁感應(yīng)問題中的幾類模型，利用微元法的思想有效快速地解決了問題，并收到了良好的教學(xué)效果。在教學(xué)中進(jìn)行“微元法”的訓(xùn)練，能提高學(xué)生思維能力和分析解決問題的能力。

關(guān)鍵詞： 微元法 電磁感應(yīng) 模型

在高中物理中，由于數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)上的局限，對于高等數(shù)學(xué)中可以使用積分來進(jìn)行計算的一些問題，在高中很難加以解決，成為一大難題。但是如果應(yīng)用積分的思想，化整為零，化曲為直，采用“微元法”，可以很好地解決這類問題?！拔⒃ā蓖ㄋ椎卣f就是把研究對象分為無限多個無限小的部分，取出有代表性的極小的一部分進(jìn)行分析處理，再從局部到全體綜合起來加以考慮的科學(xué)思維方法，這個方法充分體現(xiàn)了積分的思想。本文結(jié)合電磁感應(yīng)中的幾種疑難問題，對微元法的靈活應(yīng)用加以分析說明。

一、“切割類”模型

導(dǎo)體切割磁感線是高中物理常見的產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的基本模型之一，我們將這種模型簡稱為“切割類”模型。直線切割比較簡單，但對于不規(guī)則形狀的切割可以利用微元法來求解。具體如下例：

例1：如圖1所示，AB是半徑為R的半圓形金屬導(dǎo)體，當(dāng)AB以v水平向右運動時，求AB兩端的感應(yīng)電動勢多大？

解析：高中生利用法拉第電磁感應(yīng)定律可以推導(dǎo)出直線切割時的感應(yīng)電動勢為：E=BLV，但是對于不規(guī)則導(dǎo)體切割磁感線的情況則感到束手無策。此時不妨利用微元法，將金屬導(dǎo)體AB分為無數(shù)條小段，如下圖2所示：

在圖2中選取任意一小段導(dǎo)體L，將其無限放大后如圖3所示，由于導(dǎo)體L本身比較短，可以將導(dǎo)體L等效為直線，則導(dǎo)體L可以正交分解為水平分量Lx和豎直分量Ly，水平分量Lx不會切割磁感線，豎直分量Ly切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小為EL=BLyV，以此類推，每一小段導(dǎo)體切割的感應(yīng)電動勢都可以按照正交分解的辦法，所有豎直分量疊加起來即為大導(dǎo)體AB的直徑2R，故導(dǎo)體AB產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小為：E=B2RV=2BRV.

二、“插入類”模型

當(dāng)條形磁鐵插入或者拔出閉合金屬環(huán)時，金屬環(huán)內(nèi)會產(chǎn)生感應(yīng)電流，電流方向可以用楞次定律判定。但是利用微元法可以解釋金屬環(huán)的運動趨勢，有利于更加深刻地理解楞次定律中的“阻礙”的含義。

例2：如圖4所示，水平桌面上放一閉合鋁環(huán)，在鋁環(huán)軸線上方有一條形磁鐵，當(dāng)條形磁鐵沿軸線豎直向下迅速靠近鋁環(huán)時，鋁環(huán)對桌面的壓力如何變化？

解析：當(dāng)條形磁鐵S極靠近鋁環(huán)時，穿過鋁環(huán)磁感線斜向上且磁通量增加，根據(jù)楞次定律判定鋁環(huán)中感應(yīng)電流方向沿順時針方向（俯視觀察）。將有感應(yīng)電流通過的鋁環(huán)分成許多微元段，根據(jù)左手定則分析鋁環(huán)上各直徑兩端對稱微元段所受安培力，受力如圖5所示，可知各微元段所受安培力斜向下指向內(nèi)側(cè)，將各個微元的安培力分解到水平方向和豎直方向，則發(fā)現(xiàn)每段微元受到的安培力豎直分量均向下，則條形磁鐵向下靠近時，磁感應(yīng)強(qiáng)度增大，鋁環(huán)對桌面壓力增大。同時可以看出，鋁環(huán)受的安培力水平分量均指向圓心，則鋁環(huán)有收縮趨勢。

三、“互感類”模型

相互靠近的導(dǎo)線通電時，相互之間有沒有力的作用呢？給螺線管通電的瞬間，螺線管會發(fā)生什么樣的變化呢？這類問題歸根結(jié)底還是電磁感應(yīng)和安培力知識的結(jié)合，但是直接從正面求解難以下手，也比較難得出結(jié)論。如果利用微元法，以小見大，就可以清楚地說明問題。具體見例3。

例3：如圖6所示，長為L的通電螺線管通以如圖所示的電流時，螺線管的長度有沒有微小變化？若有，那螺線管是變長還是變短呢？

解析：面對這樣的問題，許多同學(xué)不知道如何下手。其實很多同學(xué)對于兩根直線電流的情況能自主分析，而對于一個“龐大”的螺線管就不知道怎么處理了。高中階段我們利用微元法的思想，將螺線管相鄰兩匝對應(yīng)部分分成無數(shù)段非常小的直線電流，如圖7所示，則這兩段相鄰的直線電流為兩條相互平行的同向直線電流，對于相互平行的同向直線電流之間的相互作用力分析如圖8所示。

直導(dǎo)線A在其下半部分區(qū)域產(chǎn)生的磁場如圖所示（豎直截面圖），則由左手定則可以判定導(dǎo)線B所受的安培力方向向上。同樣的道理，導(dǎo)線A所受的安培力豎直向下。兩條相互平行的同向直線電流之間具有相互吸引的作用力。這兩條導(dǎo)線A、B有相互靠近的趨勢。那么，對于一個通直流電的螺線管，可以視為是無數(shù)個相互平行同向直線電流小微元組合起來的，相鄰兩匝之間也會相互吸引。所以，本題中通電螺線管通以如圖所示的電流時，螺線管的長度有會因為相互吸引而變短。

以上幾個例子僅僅從電磁感應(yīng)模塊的幾個疑難問題方面講述了微元法的巧妙用處。高中物理中利用微元法解題的知識點非常多。例如求變力做功問題、求不規(guī)則物體間的萬有引力等都可以利用微元法求解。

四、總結(jié)

微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理問題用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化。在使用微元法處理問題時，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問題求解。使用此方法會加強(qiáng)我們對已知規(guī)律的再思考，從而起到鞏固知識、加深認(rèn)識和提高能力的作用。

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