數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“變式教學(xué)”的實踐與反思

摘 要： 在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中，若能將一個問題或圖形從不同的角度進(jìn)行變換和發(fā)散，則可使學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)得到發(fā)展.變式教學(xué)從不同角度，不同層次，不同情形，不同背景展開考慮，以知識變式、題目變式、思維變式、方法變式為基本途徑，揭示不同知識間的內(nèi)在聯(lián)系，獲取課堂效益的最大化，復(fù)習(xí)方法最優(yōu)化.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課 變式教學(xué) 數(shù)學(xué)理念 創(chuàng)新意識

能否善于變換問題，既能反映一名教師知識儲備量的多少，又能體現(xiàn)一名教師創(chuàng)造能力的高低.善于變換問題，是實現(xiàn)高效教學(xué)的一種常用手段，是激發(fā)學(xué)生問題意識和優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的有效手段.善于變換問題，使學(xué)生在問題的跌宕起伏中，不斷掀起思維的波瀾，蕩起思維的漣漪，做到對問題舉一反三，觸類旁通.

教師在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，若能將一個問題或圖形從不同的角度進(jìn)行變換和發(fā)散，則可使學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)得到發(fā)展，思維品質(zhì)得以優(yōu)化.數(shù)學(xué)家波利亞說：“一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力.”波利亞的這一思想從理論高度闡述了我們在以傳授知識為主的教學(xué)轉(zhuǎn)化為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力為核心的教學(xué)探索中一直致力研究的“變式教學(xué)”思想.

“變式教學(xué)”是提高課堂效率的有效途徑，是一種行之有效的教學(xué)方式，從不同角度，不同層次，不同情形，不同背景展開考慮，以知識變式、題目變式、思維變式、方法變式為基本途徑，揭示不同知識間的內(nèi)在聯(lián)系，暴露問題本質(zhì)特征，真正做到“做一題，同一類，會一片、得一法”；把學(xué)生從“為解題而解題”的題海誤區(qū)中解放出來，獲取課堂效益的最大化，復(fù)習(xí)方法最優(yōu)化.

一、數(shù)學(xué)概念的變式教學(xué)

這里的數(shù)學(xué)概念主要是指某些字詞改動而性質(zhì)改變，利用變式教學(xué)溝通知識的內(nèi)在聯(lián)系，促使學(xué)生主動建構(gòu)知識，把分散的知識點串成線，最終形成知識網(wǎng)絡(luò).

一字之差，謬以千里.數(shù)學(xué)語言簡潔而精準(zhǔn)，也就是說不能隨便改動（去掉或增加）句中的關(guān)鍵字、詞，否則意義隨之就會發(fā)生變化.對概念、定理、法則的理解，通常就是透過關(guān)鍵字、詞的理解去把握概念的要點，把握定理和法則成立的條件，讓學(xué)生懂得嚴(yán)謹(jǐn)是做一件事情成功的保障.

[案例1]判斷：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？如果是，說明為什么；如果不是，舉出反例.

[案例2]（人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書.數(shù)學(xué)》八年級上冊第27葉第12題）證明：如果兩個三角形有兩條邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等.

變式1：如果兩個三角形有兩條邊和其中一邊上的角平分線對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等.

變式2：判斷：有兩條邊和其中一邊上的高線對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎？若全等，說明理由；若不全等，舉出反例.

[設(shè)計意圖]例1由“邊”到“角”只是一個字的變動，而命題“各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”就不一定成立了，如矩形雖滿足四個角都相等，有一個外接圓，但不是正方形.

例2的變式1、變式2將原題中的“中線”分別改為“角平分線”和“高線”，前者成立，而后者不一定成立.比如，當(dāng)一個銳角三角形和一個鈍角三角形有兩條邊和其中一邊上的高線對應(yīng)相等時，就不全等，如圖所示.

這對有些審題馬虎的學(xué)生將是一道“坎”.

在教學(xué)中通過原題和變式精心設(shè)計一些有坡度、有聯(lián)系的題組，通過“使一題多用，多題重組”揭示不同知識點間的內(nèi)在聯(lián)系.

[案例3]人教版，八年級下冊P128活動3：依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形.它是什么圖形？

變式1：依次連接矩形各邊中點所得的中點四邊形是什么圖形？為什么？

變式2：依次連接菱形各邊中點所得的中點四邊形是什么圖形？為什么？

變式3：依次連接正方形各邊中點所得的中點四邊形是什么圖形？為什么？

變式4：若依次連接四邊形各邊中點所得的中點四邊形是菱形，那么該四邊形應(yīng)滿足什么條件？

變式5：若依次連接什么四邊形各邊中點所得的中點四邊形是矩形，那么該四邊形應(yīng)滿足什么條件？

變式6：若依次連接什么四邊形各邊中點所得的中點四邊形是正方形，那么該四邊形應(yīng)滿足什么條件？

[設(shè)計意圖]通過這樣一系列的變式訓(xùn)練，學(xué)生能充分掌握四邊形所有基礎(chǔ)知識和基本概念，強化溝通常見特殊四邊形的性質(zhì)定理、判定定理、三角形中位線等，使學(xué)生歸納出：連接四邊形各邊中點所得到的四邊形的形狀與原四邊形的對角線有關(guān).

二、課本例題和習(xí)題的變式教學(xué)

在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，梳理知識是十分必要的，而數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系往往不是十分明顯，經(jīng)常隱藏于例題和習(xí)題之中.要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)重視對課本例題和習(xí)題的“改裝”或引申，精心設(shè)計例題和變式題組（變式題最好以教材為源，以學(xué)生為本，體現(xiàn)“源于課本，高于課本”，最大可能地覆蓋知識點）.

[案例4]八上數(shù)學(xué)（人教版）三角形單元復(fù)習(xí)中，為了使學(xué)生更好地掌握三角形全等的判定方法的運用，設(shè)計如下變式教學(xué)：

例題：如圖（1），△ABC是一個鋼架，AB=AC，AD是連接點A和BC的中點D的支架，求證：△ABD≌△ACD.

變式3：如圖（3），C是AB的中點，AD=CE，CD=BE，求證：△ACD≌△CBE.（習(xí)題13.2中的復(fù)習(xí)鞏固）

變式4：如圖（4），B、E、C、F在一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求證：∠A=∠D.（習(xí)題13.2中的綜合運用）

變式5：如圖（4），B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF.

[設(shè)計意圖]本題為開放題，變式3、4中的兩個三角形雖然已經(jīng)一對邊之間有直接關(guān)系，但其中一對邊的相等關(guān)系需要經(jīng)過簡單推理而得到，難度適當(dāng)增強；變式5要求學(xué)生從條件入手，推導(dǎo)出兩個三角形全等的三個條件，對學(xué)生是否掌握全等判定方法的要求更高.通過以上梯度層次化的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生通過模仿不僅掌握全等的判定方法，同時還讓學(xué)生逐步掌握幾何說理的基本方法，對學(xué)生的邏輯思維能力的培養(yǎng)有著更普遍的意義.

三、增強學(xué)生創(chuàng)新意識的變式教學(xué)

對例習(xí)題的變式不應(yīng)只是教師的“專利”，在變式教學(xué)中，教師要讓學(xué)生主動參與，不要總是教師“變”，學(xué)生“練”.教師須轉(zhuǎn)變觀念，發(fā)揚教學(xué)民主，師生雙方密切配合，交流互動，只要是學(xué)生能進(jìn)行變式的，教師絕不包辦代替.一開始學(xué)生變式題目有困難，教師應(yīng)進(jìn)行點撥與啟發(fā)，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神.

[案例5]人教版，八年級上冊P58頁第11題：如圖，A，B，C在同一直線上，以AB，AC為邊作等邊△ABD與等邊△BCE，連接CD，AE，則CD=AE，請說明理由.

分析：本題考查學(xué)生對等邊三角形的性質(zhì)與全等三角形知識點的掌握情況，是基礎(chǔ)類習(xí)題.在復(fù)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)完等邊三角形的性質(zhì)后出示本題，布置變式作業(yè)：學(xué)生以組為單位，從學(xué)習(xí)資料中尋找與原題相關(guān)的習(xí)題，要求：①找到的變式題應(yīng)包含等邊三角形與全等三角形兩個知識點；②圖形中包含兩個等邊三角形（可以通過平移、選擇、軸對稱等多種變換得到）；③本組找到的變式題應(yīng)先完成解答，明確解答中可能出現(xiàn)的問題，在講解分析時能給予其他組同學(xué)指導(dǎo).

第二天數(shù)學(xué)課上，各組學(xué)生出示變式題如下：

變式1：如圖1，以△ABC的邊AB，AC為邊向三角形外作等邊△ABE與等邊△ACD，連接BD，CE，則BD=CE，請說明理由.

變式2：如圖2所示，△ABC與△BDE都是等邊三角形，試說明：AE=CD.

變式3：如圖3（1），等邊△ABC中，D是AB邊上的動點，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE.（1）△DBC和△EAC會全等嗎？請說說你的理由.（2）試說明AE∥BC的理由.

（3）如圖（2），將（1）動點D運動到邊BA的延長線上，所作仍為等邊三角形EDC，請問是否仍有AE∥BC？說明你的理由.

變式4：如圖4，等邊△ABC中，AO是∠BAC的角平分線，D為AO上一點，以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE，連接BE.（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）延長BE至Q，P為BQ上一點，連接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8，求PQ的長.

（3）拓展結(jié)論，設(shè)計新題.

在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC.若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你直接寫出結(jié)果）.

[評析]由于原題對應(yīng)的變式題組是在教師指導(dǎo)下由學(xué)生合作探究編擬完成的，且要求明確、題型多變，然后由教師把同類型的題目按照一定層次、坡度化展現(xiàn)給學(xué)生，課堂上學(xué)生以組為單位設(shè)計的變式題分組展示后讓其他組同學(xué)解答，再由命題的組員代表進(jìn)行評價與分析講解，為學(xué)生提供相互展示、相互學(xué)習(xí)的機會，促進(jìn)了全體學(xué)生積極主動全面地參與教學(xué)全過程.而對于學(xué)生解答中問題反饋多且有一定難度的變式5，教師和命題組代表合作把題中學(xué)生思路受阻處講解清楚，讓學(xué)生內(nèi)化老師的講解.在實際教學(xué)過程中，學(xué)生人人參與動腦、動手，學(xué)習(xí)熱情高漲，課堂教學(xué)反饋質(zhì)量較高.

四、數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中“變式教學(xué)”的反思

1.多重交互，有效引領(lǐng).

一般地，教師（學(xué)生參與）在復(fù)習(xí)課設(shè)計變式題時，要努力做到變中求“活”，變中求“新”，變中求“異”，變中求“廣”，應(yīng)注意把握以下幾方面：①要在原例習(xí)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行，要自然流暢，不能“拉郎配”；②要有利于學(xué)生通過變式題的解答，加深對所學(xué)知識的理解和掌握；③變式題組要有梯度，循序漸進(jìn)，切不可搞“一步到位”；④題目的數(shù)量要有“度”；⑤變式題組的題目之間要有明顯的差異，要使學(xué)生對每道題既感熟悉，又覺新鮮；⑥所選范例必須具有典型性.把學(xué)生自主學(xué)習(xí)和主體智力參與，以及多向性、多層次的交互作用引入教學(xué)過程，克服思維和心理定勢，不斷提高解決新問題的能力.

2.用好教材，適度拓展.

變式教學(xué)不是為了“變式”而變式：①要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)或?qū)W習(xí)需要，切忌隨意性和盲目性，復(fù)習(xí)課的習(xí)題變式不但要滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，還要進(jìn)行縱向和橫向的聯(lián)系，同時變式習(xí)題要緊扣考綱.②應(yīng)立足于學(xué)生實際，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計數(shù)學(xué)變式，距離太遠(yuǎn)，學(xué)生會“斷了念頭”；距離太近，又吊不起學(xué)生“胃口”，其目的是教師通過富有層次性、探究性的問題，讓學(xué)生真正能“跳起來摘到桃子吃”.③變式不是盲目的變，應(yīng)抓住問題的本質(zhì)特征，根據(jù)實際需要抓住“思維訓(xùn)練”這條主線進(jìn)行變式，恰當(dāng)?shù)刈兏鼏栴}情境或改變思維角度，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，引導(dǎo)學(xué)生從不同途徑尋求解決問題的方法，通過多問、多思、多用等激發(fā)學(xué)生思維的積極性和深刻性.

數(shù)學(xué)教師不僅要成為解題的能手，而且要成為變題的巧手.在復(fù)習(xí)課中教師在加強對課本例、習(xí)題和中考數(shù)學(xué)試題研究的基礎(chǔ)上，立足“三基”，力求變化，以變式題組形成問題鏈，為學(xué)生提供更多的主動參與學(xué)習(xí)的時間、空間，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)化的機會，達(dá)到“做一題，通一類，會一片”的教學(xué)效果.學(xué)生獲得的不僅是數(shù)學(xué)知識、基本技能、解決問題的策略、方式方法，而且體驗到數(shù)學(xué)活動充滿探索與創(chuàng)造的活力，增強了學(xué)生對數(shù)學(xué)美的主觀感受能力，發(fā)展了學(xué)力.

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