關(guān)于方程的根的一些討論

摘 要： 本文利用閉區(qū)間上函數(shù)的連續(xù)性定理和微分中值定理對(duì)方程根的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了討論.

關(guān)鍵詞： 方程 根 零點(diǎn)定理 羅爾定理

利用微積分學(xué)的知識(shí)討論方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)是比較常見的應(yīng)用.通常是先根據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理、羅爾定理等證明根的存在性；再利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等確定方程的根的個(gè)數(shù)，羅爾定理常被用于反證法證明根的唯一性.下面將對(duì)方程根的存在性、唯一性，以及根的個(gè)數(shù)分別進(jìn)行詳細(xì)討論.

一、關(guān)于方程根的存在性及范圍的討論

問(wèn)題模型：證明方程f（x）=0在區(qū)間（a，b）內(nèi)存在實(shí)根.

解決方法：

二、關(guān)于方程根的唯一性的討論

問(wèn)題模型：證明方程f（x）=0存在（或在區(qū)間（a，b）內(nèi)存在）唯一實(shí)根.

解決方法：先利用零點(diǎn)定理（或羅爾定理）證明方程f（x）=0至少有一個(gè)實(shí)根；再利用函數(shù)的單調(diào)性（或用反證法，由羅爾定理導(dǎo)出矛盾）證明方程f（x）=0最多有一個(gè)實(shí)根.

例3：證明方程xlnx=1在區(qū)間（1，e）內(nèi)有唯一的實(shí)根.

證：設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx-1，則f（x）在[1，e]上連續(xù)，且f（1）=-1<0，f（e）=e-1>0，由零點(diǎn)定理可知，至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ∈（1，e），使f（ξ）=0，即方程xlnx=1在區(qū)間（1，e）內(nèi)至少有一實(shí)根.

三、關(guān)于方程根的個(gè)數(shù)的討論

問(wèn)題模型：討論方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù).

解決方法：首先求出函數(shù)f（x）的駐點(diǎn)和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)將f（x）的定義域劃分為若干單調(diào)增減區(qū)間；然后求出f（x）的極值（或最值）；再分析函數(shù)的極值（或最值）與軸的位置關(guān)系，并借助極限分析函數(shù)的變化趨勢(shì)；最后結(jié)合零點(diǎn)定理和函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)f（x）的根的個(gè)數(shù)及各根所在區(qū)間.

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1991.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]朱惠健，金健.高等數(shù)學(xué)習(xí)題解析與練習(xí)[M].南京：南京大學(xué)出版社，2009.

[5]朱士信，唐爍，寧榮健.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南[M].北京：中國(guó)電力出版社，2008.

[6]李艷麗.例說(shuō)方程根存在的證明[J].張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（3）.

[7]梁應(yīng)仙.利用函數(shù)來(lái)研究方程與不等式[J].沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào)， 2004（12）.