算法思想融入《計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)》課程教學(xué)的研究與實(shí)踐

摘 要： 本文立足于《計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)》課程改革，分析了目前《計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)》課程教學(xué)中存在的主要問(wèn)題，提出從算法思想的融入為著手點(diǎn)進(jìn)行高職計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)課程改革，并對(duì)算法思想的概念與來(lái)源進(jìn)行了考證，對(duì)算法思想融入《計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)》途徑與方法提出了自己的觀點(diǎn)。

關(guān)鍵詞： 計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)教學(xué) 算法與算法思想 途徑方法

“計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)是軟件，軟件的基礎(chǔ)是算法，算法的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)?！薄拔覀兿Ｍ诮虒W(xué)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，算法思想，而不應(yīng)該把重點(diǎn)放在培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力上?！薄跋Ｍ苡懈嗅槍?duì)性的算法思想的訓(xùn)練，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)培養(yǎng)的是一種思維方式?！庇?jì)算機(jī)老師們這樣評(píng)論《計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)》的改革。

可以看到，現(xiàn)在需要一種更有用的數(shù)學(xué)，對(duì)于《計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)》課程而言，它需要承載的是計(jì)算機(jī)專業(yè)從業(yè)人員的思想方法與職業(yè)素養(yǎng)的培養(yǎng)。本文將從算法思想的概念與實(shí)質(zhì)、算法思想的淵源、算法思想與高職數(shù)學(xué)的融合方法與途徑等方面探討這個(gè)問(wèn)題。

一、算法思想的概念與淵源

1.什么是算法與算法思想

李文林在其著名的《數(shù)學(xué)史概論》中指出：“所謂‘算法’，不只是單純的計(jì)算，而是為了解決一整類實(shí)際和科學(xué)問(wèn)題而概括出來(lái)的，帶一般性的計(jì)算方法，……它們是一種歸納思維能力的產(chǎn)物，這種能力與歐幾里得幾何的演繹風(fēng)格迥然不同而又相輔相成。”

算法可以理解為有基本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟?；蛘呖闯砂凑找笤O(shè)計(jì)好的有限的確切的計(jì)算序列，并且這樣的步驟和序列可以解決一類問(wèn)題。一個(gè)算法應(yīng)該具有以下七個(gè)重要的特征：（1）有窮性（Finiteness）；（2）確切性（Definiteness）；（3）輸入項(xiàng)（Input）；（4）輸出項(xiàng)（Output）；（5）可行性（Effectiveness）；（6）高效性（High efficiency）；（7）健壯性（Robustness）。

算法思想則指對(duì)算法的設(shè)計(jì)、實(shí)施，以及對(duì)算法的改進(jìn)等一系列與算法有關(guān)問(wèn)題本質(zhì)的理性認(rèn)識(shí)層次上的思維活動(dòng)的結(jié)果。

同一問(wèn)題可用不同算法解決，而一個(gè)算法的質(zhì)量?jī)?yōu)劣將影響到算法乃至程序的效率的高低。一個(gè)算法的評(píng)價(jià)主要從時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度來(lái)考慮。

2.中國(guó)古代的算法思想

從歷史上看數(shù)學(xué)的發(fā)展包括兩大主要活動(dòng)：證明定理和創(chuàng)造算法。定理證明是希臘人首倡，后構(gòu)成數(shù)學(xué)發(fā)展中演繹傾向的脊梁；算法創(chuàng)造昌盛于古代和中世紀(jì)的中國(guó)、印度，形成了數(shù)學(xué)發(fā)展中強(qiáng)烈的算法傾向。

中國(guó)古代數(shù)學(xué)就有明顯的算法特征，成書(shū)于公元前1世紀(jì)的《九章算術(shù)》是這方面的典范，其中收錄了大量的古代算法，譬如約分的“更相減損”原理、秦九韶算法和割圓術(shù)，等等。著名學(xué)者吳文俊先生認(rèn)為：“中國(guó)古代的數(shù)學(xué)是一種算法的數(shù)學(xué)，也是一種計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)。進(jìn)入到計(jì)算機(jī)時(shí)代，這種計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)或是算法的數(shù)學(xué)，剛巧是符合時(shí)代要求，符合時(shí)代精神的。從這個(gè)意義上來(lái)講，我們最古老的數(shù)學(xué)也是計(jì)算機(jī)時(shí)代最適合、最現(xiàn)代化的數(shù)學(xué)?！?/p>

我國(guó)古代最著名的有數(shù)學(xué)書(shū)籍有《算經(jīng)十書(shū)》，它是指漢、唐一千多年間的十部著名數(shù)學(xué)著作，它們?cè)?jīng)是隋唐時(shí)候國(guó)子監(jiān)算學(xué)科（國(guó)家所設(shè)學(xué)校的數(shù)學(xué)科）的教科書(shū)。十部算書(shū)的名字是：《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《緝古算經(jīng)》、《綴術(shù)》。這十部算書(shū)，以《周髀算經(jīng)》為最早，對(duì)古代數(shù)學(xué)的各個(gè)方面全面完整地進(jìn)行敘述的是《九章算術(shù)》，它是十部算書(shū)中最重要的一部。

書(shū)中記載了當(dāng)時(shí)世界上最先進(jìn)的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和比例算法。書(shū)中還記載有解決各種面積和體積問(wèn)題的算法及利用勾股定理進(jìn)行測(cè)量的各種問(wèn)題?！毒耪滤阈g(shù)》中最重要的成就在代數(shù)方面，書(shū)中記載了開(kāi)平方和開(kāi)立方的方法，并且在這基礎(chǔ)上有了求解一般一元二次方程（首項(xiàng)系數(shù)不是負(fù)）的數(shù)值解法。還有整整一章是講述聯(lián)立一次方程解法的，這種解法實(shí)質(zhì)上和現(xiàn)在中學(xué)里所講的方法是一致的。這要比歐洲同類算法早出一千五百多年。在同一章中，還在世界數(shù)學(xué)史上第一次記載了負(fù)數(shù)概念和正負(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則。

3.近代數(shù)學(xué)中的算法思想

事實(shí)上，作為近代數(shù)學(xué)誕生標(biāo)志的解析幾何與微積分，從思想方法的淵源看都是算法傾向的產(chǎn)物。

從微積分的歷史可以知道，微積分的產(chǎn)生是尋找解決一系列實(shí)際問(wèn)題的普遍算法的結(jié)果。這些問(wèn)題包括：決定物體的瞬時(shí)速度、求極大值與極小值、求曲線的切線、求物體的重心及引力、面積與體積計(jì)算等。從16世紀(jì)中開(kāi)始的100多年間，許多大數(shù)學(xué)家都致力于獲得解決這些問(wèn)題的特殊算法。牛頓與萊布尼茲的功績(jī)?cè)谟趯⑦@些特殊的算法統(tǒng)一成兩類基本運(yùn)算——微分與積分，并進(jìn)一步指出了它們的互逆關(guān)系。

而對(duì)于解析幾何的誕生，通常認(rèn)為，笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的基本思想，是用代數(shù)方法來(lái)解幾何問(wèn)題。如果我們?nèi)ラ喿x笛卡兒的原著，就會(huì)發(fā)現(xiàn)貫穿于其中的徹底的算法精神?！稁缀螌W(xué)》開(kāi)宗明義就宣稱：“我將毫不猶豫地在幾何學(xué)中引進(jìn)算術(shù)的術(shù)語(yǔ)，以便使自己變得更加聰明?！苯馕鰩缀螌⒁磺袔缀螁?wèn)題化為代數(shù)問(wèn)題，這些代數(shù)問(wèn)題則可以用一種簡(jiǎn)單的、幾乎自動(dòng)的方法去解決。這與古代中國(guó)數(shù)學(xué)家解決問(wèn)題的路線可以說(shuō)是一脈相承。

二、計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中算法思想融入的途徑與方法

計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，它不僅為計(jì)算機(jī)專業(yè)其他課程的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，為計(jì)算機(jī)應(yīng)用提供必要的數(shù)學(xué)思想，而且為計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成提供必要的環(huán)境。

一直以來(lái)，高職計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容其實(shí)是變相的高等數(shù)學(xué)，重點(diǎn)講述極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積分，然后附帶介紹一些圖論，邏輯代數(shù)的知識(shí)，且由于后面的離散數(shù)學(xué)部分內(nèi)容不多，所占期末考試比例15%左右，大部分學(xué)生認(rèn)為學(xué)的計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)等同于高等數(shù)學(xué)。有些老師說(shuō)，不是不想改，而是不知道怎么改才對(duì)。其實(shí)這有個(gè)摸索的過(guò)程。尤其是高職階段，課程壓縮得很厲害，大多數(shù)只開(kāi)一個(gè)學(xué)期，要講微積分，要講補(bǔ)充內(nèi)容，要講數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，的確也很緊張。這也就需要我們認(rèn)真研究算法思想滲透的方法與途徑。可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行考慮。

1.算法思想與計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)文化史的介紹相結(jié)合

數(shù)學(xué)文化史的介紹在高職數(shù)學(xué)的介紹中起著重要的啟發(fā)、引導(dǎo)的作用，英國(guó)數(shù)學(xué)史家福弗爾（J.Fauvel 1947—2001）曾總結(jié)出應(yīng)用數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)教學(xué)的十五個(gè)理由，其中有：（1）增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；（2）改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀；（3）因?yàn)橹啦⒎侵挥兴麄冏约河欣щy，因而會(huì)感到欣慰；（4）使數(shù)學(xué)不那么可怕；（5）有助于保持對(duì)數(shù)學(xué)的興趣；（6）給予數(shù)學(xué)以人文的一面；（7）通過(guò)古今方法的對(duì)比，確立現(xiàn)代方法的價(jià)值；（8）為學(xué)生提供探究的機(jī)會(huì)；（9）過(guò)去的發(fā)展障礙有助于解釋今天學(xué)生的學(xué)習(xí)困難。

中國(guó)的數(shù)學(xué)史中有大量有關(guān)算法思想的內(nèi)容，在介紹極限思想時(shí)，割圓術(shù)求圓面積就是一個(gè)很好的引入數(shù)學(xué)史的例子。

《算經(jīng)十書(shū)》中的第三部是《海島算經(jīng)》，它是三國(guó)時(shí)期的劉徽（約225—295）所作。這部書(shū)中講述的都是利用標(biāo)桿進(jìn)行兩次、三次、最復(fù)雜的是四次測(cè)量來(lái)解決各種測(cè)量數(shù)學(xué)的問(wèn)題。這些測(cè)量數(shù)學(xué)，正是中國(guó)古代非常先進(jìn)的地圖學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。此外，劉徽對(duì)《九章算術(shù)》所作的注釋工作也是很有名的。一般地說(shuō)，可以把這些注釋看成是《九章算術(shù)》中若干算法的數(shù)學(xué)證明。

劉徽注中的“割圓術(shù)”開(kāi)創(chuàng)了中國(guó)古代圓周率計(jì)算方面的重要方法，他還首次把極限概念應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。通過(guò)割圓術(shù)求圓面積的方法，使學(xué)生在感受中國(guó)古人的聰明智慧的同時(shí)，學(xué)習(xí)這種無(wú)限細(xì)分，無(wú)限接近的計(jì)算方法。

2.算法思想與計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合

在高職計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們都要介紹數(shù)制的基本計(jì)算方法，二進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制的互相轉(zhuǎn)換。對(duì)于這個(gè)部分，我們可以在課堂上設(shè)計(jì)這樣的教學(xué)情境：“能讓計(jì)算機(jī)幫你進(jìn)行數(shù)制轉(zhuǎn)換嗎？”由于學(xué)生已了解了數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換規(guī)律，只要介紹N-S流程圖，就可以鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造自己的算法。我們可以先對(duì)算法進(jìn)行介紹，使學(xué)生理解算法的四種基本結(jié)構(gòu)“順序、選擇、當(dāng)型循環(huán)、直到型循環(huán)”，并做例題1：給出求10！并打印的N-S流程圖（見(jiàn)圖一）。

和例題2：求出1到100順序相加的過(guò)程中末位數(shù)是0的和，并把它們打印出來(lái)（見(jiàn)圖二）。通過(guò)這兩個(gè)流程圖案例，使學(xué)生理解流程圖的基本設(shè)計(jì)方法與步驟。最后請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試做十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制的流程圖（如表一），在此過(guò)程中，同學(xué)們可以討論，提問(wèn)，最后分小組回答，使同學(xué)們對(duì)算法的七個(gè)特征有更深刻的認(rèn)識(shí)，能運(yùn)用基本特征對(duì)算法的優(yōu)劣作出自己的評(píng)價(jià)。

過(guò)程是最重要的，讓同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)算法，比較算法，評(píng)判算法的優(yōu)劣，從而對(duì)算法概念形成自己的理解。

3.算法思想與計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合

除了高等數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，如函數(shù)求值，極限、導(dǎo)數(shù)、積分的計(jì)算等，計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)可加入算法實(shí)踐，編程等實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。如可在實(shí)驗(yàn)中帶有實(shí)際應(yīng)用意義的問(wèn)題，使學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，分析實(shí)際帶有建模意義的實(shí)際問(wèn)題，并通過(guò)建立算法，設(shè)置程序予以解決。如兔子問(wèn)題：“一對(duì)剛出生的幼兔經(jīng)過(guò)一個(gè)月可以長(zhǎng)成成兔，成兔再經(jīng)過(guò)一個(gè)月后可以繁殖出一對(duì)幼兔。如果不計(jì)算兔子的死亡數(shù)，請(qǐng)給出在未來(lái)12個(gè)月中每個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)?！痹跀?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，老師可引導(dǎo)學(xué)生用樹(shù)狀圖來(lái)表示兔子增長(zhǎng)規(guī)律，然后讓學(xué)生列出流程圖（圖略），最后編出簡(jiǎn)單程序用數(shù)學(xué)軟件matlab或mathematica來(lái)計(jì)算：

執(zhí)行結(jié)果：233。即一年以后小兔的數(shù)量為233對(duì)。

再比如在積分課程開(kāi)始之前，可以設(shè)計(jì)一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程，讓學(xué)生求一塊任意封閉圖形的面積，通過(guò)設(shè)計(jì)無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的方法，使學(xué)生通過(guò)自己的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)面積的分割求法，并自己設(shè)計(jì)算法，進(jìn)行計(jì)算，可編程如下：function s=def（f，a，b，m）

運(yùn)行程序，可得不同n時(shí)的不同S值，使學(xué)生更直觀地理解和式極限的概念。在下一節(jié)課上講定積分的概念時(shí)，學(xué)生就自然而然地理解了定積分的式子與概念。通過(guò)算法對(duì)基礎(chǔ)概念的闡釋方式，有利于高職學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

三、結(jié)語(yǔ)

算法是一種思想，它與函數(shù)思想的一樣，也是一種需要通過(guò)訓(xùn)練得來(lái)的數(shù)學(xué)思想，《計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)課程》是算法思想培養(yǎng)的良好途徑。愿以本文拋磚引玉，與廣大數(shù)學(xué)教師一起探討如何更好地推進(jìn)《計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)》教學(xué)改革，促進(jìn)信息學(xué)院學(xué)生職業(yè)能力與學(xué)習(xí)發(fā)展能力的養(yǎng)成，使數(shù)學(xué)課成為對(duì)高職學(xué)生終身受益的一門課程。

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