例解高等代數(shù)教學(xué)中抽象思維能力的培養(yǎng)

摘 要： 本文作者根據(jù)多年的高等代數(shù)教學(xué)實(shí)踐，討論了高等代數(shù)的抽象性，并通過(guò)例子加以解釋說(shuō)明，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解與掌握。

關(guān)鍵詞： 高等代數(shù) 教學(xué)方法 抽象思維能力

高等代數(shù)是高校理工科專業(yè)一年級(jí)的基礎(chǔ)必修課，該學(xué)科內(nèi)容抽象，邏輯嚴(yán)密，包含有許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本觀點(diǎn)和方法，它不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的繼續(xù)和提高，而且是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，主要培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力和推理論證能力。其研究的主要對(duì)象是代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，以及相互間的關(guān)系和法則，它以嚴(yán)密的邏輯推理形式來(lái)考察各種代數(shù)的結(jié)構(gòu)并逐層抽象。由于這門課程理論性較強(qiáng)，教學(xué)難度較高，學(xué)生在學(xué)習(xí)高等代數(shù)，特別是在學(xué)習(xí)行式、線性空間，同構(gòu)，線性變換等理論時(shí)會(huì)感到難以理解，學(xué)習(xí)起來(lái)有困難。下面我結(jié)合自己多年的高等代數(shù)教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剬?duì)概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)。

1.概念教學(xué)中思維深刻性的培養(yǎng)

概念是思維的細(xì)胞，是濃縮的知識(shí)點(diǎn)。概念教學(xué)中需要重視培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，培養(yǎng)學(xué)生分清概念與問(wèn)題實(shí)質(zhì)的能力。具體表現(xiàn)為能洞察所研究事物的本質(zhì)及其相互聯(lián)系；能從所研究的材料中揭示被掩蓋的特殊情況；能通過(guò)對(duì)比、聯(lián)想概念之間的異同，找出每個(gè)概念的特點(diǎn)，以挖掘出每個(gè)概念的關(guān)鍵所在。如講到矩陣乘法：A=（a），B=（b），C=AB=（c），要向?qū)W生說(shuō)明乘法能作的條件：第一個(gè)矩陣的列數(shù)應(yīng)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)。數(shù)的乘法與矩陣乘法有相同之處，但更注意其較大的不同之處：矩陣乘法有零因子，一般不滿足交換律，那么矩陣的乘法就很值得研究了。再通過(guò)數(shù)的除法運(yùn)算過(guò)渡到逆矩陣的概念與求法，等等。同時(shí)在授課中輔以電子課件講解，習(xí)題課時(shí)可運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件如：Maple或Matlab，向?qū)W生展示矩陣的加法，乘法及逆運(yùn)算和線性方程組的求解等。這樣一方面可獲得更好的教學(xué)效果，另一方面也能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)的積極性，既省時(shí)又省力，還可帶動(dòng)學(xué)生加快思維，盡快消化所學(xué)知識(shí)，使其對(duì)新知識(shí)印象更深，掌握得更牢。為學(xué)生的思維由形象到抽象的轉(zhuǎn)化奠定基礎(chǔ)。

2.形象思維與抽象的和諧統(tǒng)一

高等代數(shù)的概念較多，也比較抽象，必須準(zhǔn)確地理解內(nèi)涵，掌握概念的本質(zhì)屬性，才有可能正確地展開(kāi)數(shù)學(xué)的一整套理論。在教學(xué)中可結(jié)合新概念，化抽象為具體，先可舉幾個(gè)符合定義條件的例子把概念具體化，這對(duì)多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常重要的；同時(shí)在教學(xué)中可結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)穿插一些高等代數(shù)發(fā)展的史料，介紹國(guó)外數(shù)學(xué)家的生平和成就，讓學(xué)生了解高等代數(shù)的發(fā)展、演變過(guò)程。例如：講行列式的定義時(shí)，可以結(jié)合行列式產(chǎn)生的概念背景，逐步介紹行列式理論的形成過(guò)程：行列式是在尋求線性方程組公式解的過(guò)程中產(chǎn)生的，為了將二元一次、三元一次方程組的解表示成容易記憶的形式，馬克勞林引進(jìn)了二階、三階行列式，經(jīng)過(guò)猜想和實(shí)驗(yàn)，得出二、三階行列式的值由對(duì)角線法則算出。繼續(xù)推廣表明，對(duì)于四階以上的行列式，對(duì)角線法則失效，這就迫使人們重新觀察二、三階行列式的展開(kāi)規(guī)律，并將所得規(guī)律加以推廣歸納形成了n階行列式的定義。然后由定義出發(fā)，在研究行列式七大性質(zhì)的基礎(chǔ)上，得到了求線性方程組的公式解：Cramer法則。這樣講解可讓學(xué)生透徹理解行列式的概念與形成過(guò)程，在教學(xué)中增添了情趣，也活躍了課堂氣氛。同時(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)要求把抽象的內(nèi)容形象化，可通過(guò)直觀的形象來(lái)深化抽象的內(nèi)容，這種抽象中的形象，正是數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦。如講到實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型（即主軸問(wèn)題）一節(jié)時(shí)，可以有意識(shí)地與中學(xué)所學(xué)的將有心二次曲線f（x，y）=ax+bxy+cy化為平方和的問(wèn)題相聯(lián)系，那么我們?cè)谥袑W(xué)所講的坐標(biāo)變換就是正交矩陣。這樣，通過(guò)比較不僅為抽象的理論提供了形象的數(shù)學(xué)模型，而且提高了學(xué)生的抽象思維能力，進(jìn)而從較高的層次對(duì)中學(xué)教材的內(nèi)容有了更深刻的理解。例如對(duì)于線性方程組理論的各個(gè)結(jié)論，我們可以看做是中學(xué)課本中學(xué)到的三元一次方程組的解的求法推廣，得到消元法和基礎(chǔ)解系，最后使解的存在與判斷得到了圓滿解決。

3.舉例說(shuō)明

當(dāng)引入線性空間的定義時(shí)，可讓學(xué)生做如下筆記加以說(shuō)明：（1）線性空間具有一般性。其中的元素不一定是通常意義下的向量，可以是數(shù)、矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等，但都可以簡(jiǎn)稱為向量。（2）線性空間的抽象性。主要體現(xiàn)在兩個(gè)運(yùn)算上，其中的加法和數(shù)乘未必就是我們所熟知的向量、矩陣、函數(shù)、多項(xiàng)式等的加法與數(shù)乘運(yùn)算；之所以這樣稱呼，是因?yàn)檫@兩種運(yùn)算滿足通常的加法與數(shù)乘規(guī)律。如果在同一非空集合V和數(shù)域P上按不同的規(guī)則來(lái)定義這兩種運(yùn)算，所構(gòu)成的線性空間一般是不同的。（3）線性空間涉及的數(shù)域P，當(dāng)取不同的數(shù)域P時(shí)，線性空間的定義形式上沒(méi)有改變，但線性空間的一些性質(zhì)：如相關(guān)性、維數(shù)通常會(huì)改變。

下面以教材中的一道例子加以解釋說(shuō)明：

例：全體正實(shí)數(shù)R，定義在實(shí)數(shù)域上，加法和數(shù)乘如下：a？茌b=ab；k？莓a(chǎn)=a，問(wèn)是否構(gòu)成線性空間？

解：顯然所給集合對(duì)定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉，1.a？茌b=ab=ba=b？茌a；

2.（a？茌b）？茌c=（ab）？茌c=abc=a？茌（bc）=（a？茌）b？茌c；

3.1是零元：a？茌1=a1=a；

4.a的負(fù)元是：a？茌=a=1；

5.1？莓a(chǎn)=a=a；6·k？莓（l？莓a(chǎn)）=k？莓a(chǎn)=（a）=a=a=（kl）？莓a(chǎn)；

7.（k+l）？莓a(chǎn)）=a=aa=（k？莓a(chǎn)）？茌（l？莓a(chǎn)）；

8.k？莓（a？茌b）=k？莓（ab）=（ab）=aa=（k？莓a(chǎn)）？茌（k？莓b）.

故R，定義在實(shí)數(shù)域上，對(duì)規(guī)定的加法和數(shù)乘構(gòu)成線性空間.

注：這里的加法和數(shù)乘運(yùn)算已經(jīng)泛化，零元是1，a的負(fù)元是，需特別加以引導(dǎo)，使學(xué)生加深理解。

總之，要高度重視高等代數(shù)這門基礎(chǔ)課的教學(xué)，充分挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象概念的理解能力。

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