深化知識經(jīng)驗(yàn) 實(shí)現(xiàn)自主復(fù)習(xí)

教學(xué)目標(biāo)：

1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生從知識經(jīng)驗(yàn)中提取有關(guān)函數(shù)的基礎(chǔ)知識，進(jìn)行整合和深化，實(shí)現(xiàn)自主復(fù)習(xí)；

2.在學(xué)生自己提出問題、解決問題的過程中，體驗(yàn)自主復(fù)習(xí)的方法和成效。

教學(xué)過程：

一、研究A、B兩點(diǎn)可能在哪類函數(shù)圖象上，復(fù)習(xí)三類函數(shù)的基本知識

師生共同回顧初中階段學(xué)過的三類函數(shù)：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），反比例函數(shù)y=（k≠0），二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）。

師：現(xiàn)在在這個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，已知A和B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，3），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1），這兩個(gè)點(diǎn)有可能在哪一類函數(shù)的圖象上？

生：三種函數(shù)都有可能。

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中，得到關(guān)于k、b的方程組。解得k=-1，b=4。設(shè)這個(gè)函數(shù)解析式為y1=-x+4。學(xué)生還發(fā)現(xiàn)：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的解析式可以變形為xy=k（k≠0），而這兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的積相等，都等于3，可以判斷它們都在反比例函數(shù)y2=的圖象上。

教師畫出大致圖象，再次追問學(xué)生：設(shè)直線AB和x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，那么，點(diǎn)A、B和M、N、O中哪幾個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)二次函數(shù)的圖象？

在教師的啟發(fā)、點(diǎn)撥下，學(xué)生研究發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，它與一條直線最多只有兩個(gè)交點(diǎn)，共線的三點(diǎn)不可能都在同一條拋物線上。

師：那么，A、N、O三點(diǎn)為什么不能確定一條拋物線？（學(xué)生小組討論。）

生：因?yàn)辄c(diǎn)N和點(diǎn)O的橫坐標(biāo)是相等的，如果它們在同一條拋物線上，同一個(gè)x的值就對應(yīng)了兩個(gè)y的值，就不符合函數(shù)的定義。

師生共同研究發(fā)現(xiàn)：A、B、O三點(diǎn)所確定的拋物線的開口向下，a為負(fù)數(shù)；對稱軸在y軸的右側(cè)，方程是x=-，a、b異號，所以b為正號。頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-■，縱坐標(biāo)為■。因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以△>0。畫拋物線的大致圖象，首先要確定拋物線的頂點(diǎn)，然后確定它的對稱軸，再確定拋物線和x軸的交點(diǎn)。要求拋物線的解析式，就要把三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得到一個(gè)三元一次方程組。過A、B、O三點(diǎn)的拋物線解析式為y3=-x2+x。

教師畫出圖象：

二、學(xué)生閱讀圖象信息，根據(jù)已掌握的知識，推出新信息

師：這幅圖中提供了很多信息，圖象有了，解析式有了，圖象之間的交點(diǎn)也有了，圖象和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也有了，認(rèn)真地觀察一下，你從現(xiàn)有的信息中還能推出哪些信息？小組中相互交流一下，可能你獲得的信息與別人的不一樣。

生1：當(dāng)y1>y2時(shí)1y3時(shí)，x<1或x>3；當(dāng)y2>y1時(shí)，x<1或x>3。（并板書。）

生2：連接AO、BO，就可以求出△AON、△BOM、△AOB的面積。（并板書。）

生3：MN=4，AB=2，∠OMN和∠ONM是45°。（并板書。）

師：他們寫出了這么多信息，正確嗎？嚴(yán)密嗎？除了這些信息，你還能得到其他信息嗎？（小組議論。）

師：∠OMN和∠ONM是45°，正確嗎？

生：正確。因?yàn)镺M=ON。

師：為什么OM=ON？

生：一次函數(shù)解析式中令x=0和y=0，分別求出OM、ON的長度。

師：很好，通過這個(gè)方法可以得到：①點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；②OM=ON=4；③△MON是等腰直角三角形。

生：我們還可以比較三個(gè)函數(shù)函數(shù)值之間的大小關(guān)系：（并板書。）

當(dāng)x<1時(shí)，y2>y1>y3；

當(dāng)x=1或3時(shí)，y2=y1=y3；

當(dāng)1y1>y2；

當(dāng)x>3時(shí)，y2>y1>y3.

師：好的。因?yàn)槿齻€(gè)圖象交于同一點(diǎn)，所以我們就以這個(gè)點(diǎn)來分界，分別過兩個(gè)交點(diǎn)作x軸的垂線，以這兩條直線為分界來研究，但得不到滿分，有誰來完善一下？

生：因?yàn)閳D中的雙曲線的一支在第一象限，所以要加“當(dāng)0

師：剛才又說可以求出△AON、△BOM、△AOB的面積，怎么求呢？

生：因?yàn)辄c(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，所以△AON的面積是×（1×3）。

另一學(xué)生：不對！

師：為什么？

生：必須是過點(diǎn)A作x軸或y軸的垂線段，垂足與點(diǎn)A、O形成的三角形的面積才等于。

師：對了。反比例函數(shù)上任意一點(diǎn)向橫軸或縱軸分別作垂線段，圍成一個(gè)直角三角形或者一個(gè)矩形，它們的面積都是與k有關(guān)的。矩形的面積等于k，三角形的面積等于■。

師：那么△AON的面積該怎樣去求呢？

生：過A點(diǎn)作y軸的垂線段。取ON作底邊，盡可能選在坐標(biāo)軸上的邊作為底邊，ON=4，這條邊上的高就是另一個(gè)頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的絕對值。

三、學(xué)生以已獲取信息為已知條件，制作新命題，檢驗(yàn)對已學(xué)知識的掌握水平和應(yīng)用能力

師：以這些研究的內(nèi)容為條件，我們能不能解決其他的問題呢？我們還能提出哪些可求解的問題？

（學(xué)生將提出的問題板書后全班討論）

生：△AON和△BOM是否全等？

師：問得很好，有了OM=ON，∠ANO=∠BMO=45°，是不是就全等了？

生：N的坐標(biāo)是（0，4），M的坐標(biāo)是（4，0），A的坐標(biāo)是（1，3），B的坐標(biāo)是（3，1），能得到AN=BM。

師：好的。兩個(gè)三角形全等后，OA=OB，B點(diǎn)就在以O(shè)為圓心、OA長為半徑的圓上。

生：那么，△AON、△BOM位置關(guān)系怎樣？

師：你為什么想到它們的位置關(guān)系？

生：既然△AON與△BOM全等，那么作直線y=x，點(diǎn)A、B，點(diǎn)M、N都關(guān)于直線y=x對稱，點(diǎn)O也在直線y=x上，所以這兩個(gè)三角形關(guān)于直線y=x對稱。

師：說得非常好，我們能學(xué)到這個(gè)程度才真正把知識盤活了。△BCM與△NAO是否相似？

生：首先覺得這兩個(gè)三角形形狀比較像，但算出邊長不對應(yīng)成比例，所以不相似。

師：很好。非常深刻。觀察的結(jié)果可以為我們提供命題，但這個(gè)命題可真可假，如果是真命題必須推理論證，如果是假命題，只要舉出一個(gè)反例。

師：我現(xiàn)在還有個(gè)問題，我們把直線y1=-x+4、雙曲線y2=、拋物線y3=x2+x沿著y軸方向向下、向左平移1個(gè)單位長度，平移后的解析式各是什么？

師生討論后，教師依次板書：

師：我再提個(gè)問題：拋物線y=-x2+x上有點(diǎn)P（1，yP）和Q（2，yQ），怎樣比較yP與yQ的大小關(guān)系？你們猜猜，我為什么要提這個(gè)問題？

生：要研究二次函數(shù)的增減性。

師：研究二次函數(shù)的增減性，要注意什么？

生：對稱軸。

師：對！必須在對稱軸同側(cè)研究。能解決這個(gè)問題的人來說說看。

生：拋物線的對稱軸是x=，A點(diǎn)坐標(biāo)（1，3），作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A′，那么這兩點(diǎn)到對稱軸的距離相等，所以點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（■，3）。因?yàn)辄c(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是2，■>2，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，所以Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于A′的縱坐標(biāo)。

師：很好。再看一個(gè)問題：雙曲線y=上有點(diǎn)E（-2，yE）、F（-4，yF）、G（2，yG）、H（，yH），比較yE、 yF、 yG、 yH的大小。這題的意圖是什么？

生：研究反比例函數(shù)每一支的增減性。

師：很好！反比例函數(shù)的增減性必須在同一象限內(nèi)研究，二次函數(shù)的增減性必須在對稱軸同側(cè)研究。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象特征，發(fā)現(xiàn)在第一象限圖象是下降的，從數(shù)的角度看y隨x增大而減小，在第三象限，y也隨x增大而減小，但第一象限內(nèi)函數(shù)值為正，第三象限內(nèi)函數(shù)值為負(fù)。

師：今天無論是提出問題還是解決問題，都利用了函數(shù)的解析式、性質(zhì)，研究問題的時(shí)候都沒有離開圖象，沒有離開自變量的取值范圍。把這些知識用表格的形式整理一下，需要哪些內(nèi)容？

生（齊）：需要函數(shù)的名稱、圖象、性質(zhì)。

師：我們得到這樣的表格：

師：今天研究的問題中比較難的是圖象的平移，書本要求直線、雙曲線、拋物線會上下平移，平時(shí)學(xué)的時(shí)候拓展到左右平移，現(xiàn)在我們總結(jié)一下：

我們不能死記，要弄清楚道理，使用時(shí)還要注意靈活，比如把拋物線y=x2+x+2，向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，得到的圖象的解析式是什么？

如果改成：把已知拋物線向左平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=x2+x+2，要你寫出原拋物線的解析式，你能寫嗎？

生：能！就是y=（x+1）2+（x+1）+1

師：所以腦筋要活。今天關(guān)于函數(shù)的第一輪復(fù)習(xí)就結(jié)束了，這些知識是從你們的知識儲存中提取出來的，這時(shí)的知識不是靜態(tài)的，而是活的知識，面對新的問題大家能想到這些知識，它們是我們解決函數(shù)綜合題的基礎(chǔ)。

同學(xué)們今天的第一個(gè)課外作業(yè)，就是繼續(xù)思考利用函數(shù)的性質(zhì)還可以提出哪些問題，并想辦法自己解答這些問題；第二個(gè)課外作業(yè)，就是用適當(dāng)形式系統(tǒng)整理函數(shù)的基礎(chǔ)知識。

（作者單位：江蘇省南通市啟秀中學(xué)）