靈動(dòng)的課堂，本真的數(shù)學(xué)

【課堂實(shí)錄】

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

教師投影幻燈片展示圖1，并提出以下問題：

問題1：圖中共有幾個(gè)角？對(duì)于△ABC來說，這些角該怎樣稱呼呢？

生A（略帶遲疑地）：圖中有4個(gè)角：∠A、∠B、∠ACB、∠ACD，其中∠A、∠B、∠ACB是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，∠ACD，不知道，好像沒學(xué)過。

生B（充滿自信地）：我想∠ACD應(yīng)叫做外角，因?yàn)椤螦CD在△ABC的外面，那當(dāng)然叫做外角啦?。ㄈ鄬W(xué)生笑）

師笑容可掬，故作延遲判斷狀，因?yàn)檫€有一只只手舉著要爭(zhēng)相發(fā)言呢。

生C（語無倫次地）：我也給∠ACD起名為外角，但生B的理由我不同意，我不會(huì)說，但我會(huì)畫。

接著生C在黑板上畫出圖2、圖3，并指出圖2中∠1不是外角，用于反駁生B的觀點(diǎn)，而圖3中∠1～∠6都是△ABC的外角，用于直觀感知外角的概念。

師（覺得介入的時(shí)機(jī)成熟了）：同學(xué)們很有創(chuàng)意，特別是生C的理解非常到位，∠ACD確實(shí)叫做△ABC的外角（板書課題）。那么，同學(xué)們能否在生C的理解基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出三角形外角的定義呢？

在學(xué)生“悱憤”心理的認(rèn)知沖突下，經(jīng)教師點(diǎn)撥，共同概括出三角形的外角的定義。

二、合作探究，發(fā)現(xiàn)定理

師繼續(xù)拋出問題2：在圖1這4個(gè)角中，試找出它們之間存在的數(shù)量關(guān)系，你能找到幾個(gè)不同的數(shù)量關(guān)系呢？

生D（迫不及待地）：我找到兩個(gè)關(guān)系式：一個(gè)是∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形的內(nèi)角和為180°），另一個(gè)是∠ACB+∠ACD=180°（一個(gè)外角與相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角）。

師（由衷地點(diǎn)頭）：很好，生D不僅找出了角之間的數(shù)量關(guān)系，而且還將彼此間的位置關(guān)系描述了出來。他發(fā)現(xiàn)了三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系，以及一個(gè)外角與相鄰內(nèi)角的關(guān)系。還有沒有其他的數(shù)量關(guān)系呢？或者說，是否還缺了哪一種情形的位置關(guān)系沒有研究呢？

教師總結(jié)時(shí)，下意識(shí)地將加點(diǎn)字的語氣加重，以引起學(xué)生的有意注意。

眾生（心有靈犀地）：還有一個(gè)外角與不相鄰的內(nèi)角之間的關(guān)系沒有研究。

師順?biāo)浦鄣卦賿伋鰡栴}3：那么外角∠ACD與不相鄰的內(nèi)角∠A、∠B之間有怎樣的關(guān)系呢？試探究。

為了提高探究性學(xué)習(xí)的有效性，教師采用小組合作交流的形式，并引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下兩個(gè)核心問題展開：①能夠?qū)ⅰ螦CD與∠A、∠B聯(lián)系起來的紐帶是哪個(gè)角？②解決問題的方法通常有觀察、實(shí)驗(yàn)、測(cè)量、操作、驗(yàn)證和推理等，你打算用什么方法解決這個(gè)問題？

由于設(shè)計(jì)了核心問題，就為學(xué)生的探究搭建了“攀爬”的平臺(tái)，再加上問題本身難度不是很大，學(xué)生只要“跳一跳”，就完全能“摘到桃”，因此小組討論非常熱烈，氣氛空前高漲，解決問題的方案層出不窮，令人大飽眼福。以下是各小組代表依次上臺(tái)展示該組的交流成果。

生E（胸有成竹地）：我們小組通過推理一致認(rèn)為∠ACD=∠A+∠B。我們找的∠ACB就起到將∠ACD與∠A、∠B聯(lián)系起來的紐帶作用。因?yàn)橐环矫妗螦CB=180°-（∠A+∠B），另一方面∠ACB=180°-∠ACD，所以180°-（∠A+∠B）=180°-∠ACD，即∠ACD=∠A+∠B。

生F（從容不迫地）：我們也發(fā)現(xiàn)了∠ACD=∠A+∠B，不過我們是通過實(shí)驗(yàn)操作得來的。具體地講，將圖1畫在白紙上，記∠A、∠B、∠ACB、∠ACD依次為γ、α、β、χ，如圖4所示剪下∠A、∠B與∠ACD，然后將∠A、∠B一起拼到∠ACD上（如圖5），發(fā)現(xiàn)∠A、∠B的和恰為∠ACD。

生G（忸怩地）：我們小組也是將圖1畫在白紙上，用量角器度量了∠A、∠B與∠ACD的度數(shù)，量得∠A=71°，∠B=63°，∠ACD=135°。發(fā)現(xiàn)∠ACD>∠A，∠ACD>∠B，∠A、∠B的和近似地等于∠ACD。

生H（昂首挺胸地）：我們小組是用邏輯推理論證了∠ACD=∠A+∠B，只要過點(diǎn)A作AE∥BC（如圖6所示），這樣∠B=∠1，∠BAC+∠B即為∠EAC，而∠EAC=∠ACD，因此∠ACD=∠A+∠B。

生I（有感而發(fā)）：我受生F和生H的啟發(fā)，過點(diǎn)C作CE∥AB（如圖7所示），則∠A=∠1，∠B=∠2，于是∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B。

“老師，還有過點(diǎn)B作AC的平行線……”

“老師，還有在BC上任取一點(diǎn)E，過E分別作AC、AB的平行線……”

……

【幾點(diǎn)思考】

一、靈動(dòng)的課堂需要學(xué)生能全面深刻地參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中

在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意愿、能力和程度對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成具有基礎(chǔ)性地位。如果說參與的廣度是保證學(xué)生的參與面，那么參與的深度則是要求學(xué)生參與有價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)。本節(jié)課的教學(xué)，以人為本的教學(xué)理念一覽無余，在課堂上，教師始終抓住“三角形外角的概念及其性質(zhì)”這一主線展開教學(xué)，設(shè)置的開放性問題貌似簡(jiǎn)單，實(shí)則富有彈性，極具挑戰(zhàn)性，這符合學(xué)生的心理特征和認(rèn)知規(guī)律。同時(shí)，教師在課堂上給學(xué)生留有足夠的思維空間，讓學(xué)生對(duì)問題有深度思考，然后通過語言表述形成思維爭(zhēng)辯，從而提高學(xué)生的思維層次。而反思我們平時(shí)的教學(xué)效果，往往是教師教得苦，學(xué)生學(xué)得累，數(shù)學(xué)成績(jī)上不去。因?yàn)榻處熗谥R(shí)上拔高教學(xué)要求，在思維上降低要求；在課堂上往往降低思維空間，設(shè)鋪墊、細(xì)分析，把計(jì)劃與決策攬給自己，把細(xì)節(jié)與計(jì)算留給學(xué)生，甚至在課堂上出現(xiàn)大量的“是不是”“對(duì)不對(duì)”等無效提問，這些做法無疑是與以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力為核心的教育價(jià)值觀背道而馳的。

二、本真的數(shù)學(xué)需要教師在課堂中關(guān)注“數(shù)學(xué)本質(zhì)”

關(guān)注“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，就要讓學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考問題”。具體地說，就是讓學(xué)生學(xué)習(xí)思考和解決問題的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和思想方法，積累數(shù)學(xué)知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這些無疑是學(xué)生終身學(xué)習(xí)的寶貴財(cái)富。該課例的成功之處在于教師抓住了初中學(xué)生求知的好奇心和好勝心，在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”上設(shè)置“障礙”，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，引起了學(xué)生的高度關(guān)注，繼而在課堂上產(chǎn)生了一連串精彩的回答。這些都體現(xiàn)了學(xué)生的聰明才智，也彰顯了教師“急中生智”的教學(xué)智慧。像這樣的精彩生成得益于平時(shí)營造的和諧寬松的學(xué)習(xí)氛圍，“約束”少了，學(xué)生的思維就“自由奔放”了，就更容易擦出“思維的火花”?？梢?，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)充分關(guān)注學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)學(xué)教育價(jià)值、地位和作用，關(guān)注這些知識(shí)是怎樣形成和發(fā)展的，其中蘊(yùn)含了哪些數(shù)學(xué)思想方法等。而反思我們平時(shí)的教學(xué)，教師分析教學(xué)內(nèi)容往往只見樹木，不見森林，不是從數(shù)學(xué)整體上分析當(dāng)前的學(xué)習(xí)內(nèi)容，而是就當(dāng)前的學(xué)習(xí)內(nèi)容來分析學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師難以形成一致的、穩(wěn)定的教育價(jià)值追求。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主題應(yīng)當(dāng)是基本的、重要的數(shù)學(xué)觀念，數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動(dòng)，而不是單純的數(shù)學(xué)事實(shí)?！睘榇?，我們教師有必要再次學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，全面、深刻、正確地理解和把握其精神實(shí)質(zhì)，認(rèn)真研究教材內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，最大限度地激起學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓數(shù)學(xué)課堂靈動(dòng)起來，讓數(shù)學(xué)的“本真”之花綻放。

（作者單位：江蘇省無錫市安鎮(zhèn)中學(xué)）