關于中學數(shù)學教學核心的思考

【摘 要】在今天的中學教育中，數(shù)學教學的核心就是“揭示數(shù)學本質，發(fā)展思維能力”。其中涉及的主要內容包括“數(shù)學本質”“數(shù)學思維”“數(shù)學問題”“數(shù)學活動”“教學引導”等，它們之間密切聯(lián)系、相互作用：“活動”是“數(shù)學本質”與“學生思維”之間的橋梁，“引導”是促進“數(shù)學活動”有效性的重要途徑，“問題”是“引導”學生進行“數(shù)學活動”的最佳措施。

【關鍵詞】數(shù)學教學核心 數(shù)學本質 數(shù)學思維 數(shù)學問題 數(shù)學活動 教學引導

著名教育心理學家奧蘇伯爾在他的名著《教育心理學——認知觀點》的扉頁上寫道：“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學習的唯一最重要的因素，就是學習者已經(jīng)知道了什么。要探明這一點，并應據(jù)此進行教學?！?/p>

在今天的中學教育中，數(shù)學教學的核心是什么？假如要用一句話來概括數(shù)學教學核心的話，這句話應該是什么？這個問題值得每一個數(shù)學教師、數(shù)學教學研究人員思考。

一、揭示數(shù)學本質

數(shù)學教學是教數(shù)學的，是讓學生掌握數(shù)學本質的。因此，數(shù)學教學首先要揭示數(shù)學本質。

關于數(shù)學本質，可以從多個維度、多個層次來理解。從維度方面看，數(shù)學本質涉及哲學、數(shù)學、教育學、心理學、教學等方面，不同的流派、理論、學者有不同的詮釋；從層次方面看，數(shù)學本質涉及數(shù)學教育價值、數(shù)學課程目標、具體內容、教學要求等方面，不同歷史階段、不同國家、不同文化背景下也有不同的要求。但綜合起來看，大家都非常關注以下問題：數(shù)學是什么？為什么要學習數(shù)學（數(shù)學的教育價值）？數(shù)學應該學習哪些內容？怎樣學習數(shù)學？落實到中小學具體的教學內容中，數(shù)學本質主要體現(xiàn)為具體對象的數(shù)學結構、數(shù)學模型、程序方法、數(shù)學思想、理性精神等更為具體的內容。

數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（實驗稿）》指出：“數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學語言和有效工具?！薄读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》也指出：“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學?！瓟?shù)學作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具，不僅是自然科學和技術科學的基礎，而且在人文科學與社會科學中發(fā)揮著越來越大的作用?！北M管從古希臘開始，人們就一直在探索關于數(shù)學的本質，形成一系列的觀點，諸如“數(shù)學是研究模式的科學”，“數(shù)學是一門演繹科學”，“數(shù)學是一種語言”，“數(shù)學是一種文化體系”等。這些觀點對我們理解數(shù)學本質都有較大的影響。實際上，“對數(shù)學本質特征的認識是發(fā)展的，變化的。用歷史的、發(fā)展的觀點來看待數(shù)學的本質特征，恩格斯的‘純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系’的論斷并不過時，對初等數(shù)學來說就更是如此，當然，對‘空間形式和數(shù)量關系’的內涵，我們應當作適當?shù)耐卣购蜕罨薄?/p>

數(shù)學本質決定了數(shù)學教育的價值：數(shù)學是每一個公民應該具備的基本素養(yǎng)。這樣的素養(yǎng)體現(xiàn)在三個基本方面：數(shù)學是人認識自然的中介，數(shù)學是人發(fā)展中不可或缺的內容，數(shù)學是人類文化的重要組成部分。

科學史的大量資料也顯示了數(shù)學的巨大力量和源泉，在人類的創(chuàng)造中最強大的方法就是數(shù)學。數(shù)學使得我們對形形色色的自然現(xiàn)象取得確定的認識，數(shù)學是人類認識自然現(xiàn)象必不可少的中介，是自然科學的工具，是思想方法體系。

數(shù)學與自然的特殊關系，使得數(shù)學成為人的發(fā)展中不可或缺的主要內容。首先，數(shù)學不僅給人以應用的數(shù)學知識，更為重要的是，數(shù)學給人如何運用數(shù)學去看待世界、認識自然的方法。通過數(shù)學，人們掌握宇宙發(fā)展的普遍規(guī)律。因此，數(shù)學對人的世界觀的形成具有特殊作用。第二，數(shù)學是一種思維形式，是思維創(chuàng)造的產(chǎn)物，表現(xiàn)著人類智慧的本質與特征。數(shù)學活動是智力體操與創(chuàng)造發(fā)明的活動。它對人的科學思維與創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)起著重要的作用。第三，數(shù)學與自然的關系，揭示了現(xiàn)實世界的內在規(guī)律，揭示了自然的奧秘、事物之間的相互關系，揭示了物體運動發(fā)展的動力與源泉，對培養(yǎng)學生鑒別真、善、美的能力有一定促進作用。對形成學習興趣，培養(yǎng)學生自信、毅力、批判性等良好的個性品質也極為有益。

數(shù)學同時是一種藝術。因而，數(shù)學是人類文化的重要組成部分。它在創(chuàng)造、保存、傳遞、交流、發(fā)展人類文化中充當著重要角色，發(fā)揮著巨大的作用。數(shù)學促進人類文化不斷進步，促進人類文明不斷邁向更高階段。

人類文化應當不斷向前發(fā)展，人類的智慧應當不斷傳遞。融理性和技術于一體的數(shù)學，對人類文化的傳遞與發(fā)展的作用，早已為有識之士認識。數(shù)學教育除了提高人的認識，提高人的智慧，為人提供應用工具之外，還擔負著傳遞文化與發(fā)展文化的重要作用。今天各國的數(shù)學課程改革都在關注這個問題。

中學階段，學生的基本數(shù)學素養(yǎng)包括數(shù)學基礎知識、基本技能、基本方法、基本思想、基本經(jīng)驗、基本能力、數(shù)學精神等內容。在數(shù)學課程標準中，已經(jīng)對基礎知識、基本技能、基本方法、基本思想等作了細致的規(guī)定。教學過程中，教師要結合具體內容的教學，使學生理解基本數(shù)學概念，把握數(shù)學思想方法，感悟數(shù)學特有的思維方式，鑒賞數(shù)學美，追求數(shù)學精神（理性精神與探究精神）。

二、發(fā)展數(shù)學思維

數(shù)學教學不僅是教給學生數(shù)學知識、技能，更為重要的是發(fā)展學生的數(shù)學思維能力。

數(shù)學思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨特的作用。對于“數(shù)學思維”，我國數(shù)學教學一直非常重視。在我國60年教學大綱與課程標準中，都有詮釋，但每個詮釋都是不同的。這體現(xiàn)了不同時代的特點與理論研究的發(fā)展。2003年普通高中數(shù)學課程標準指出：“高中數(shù)學課程應注重提高學生的數(shù)學思維能力，這是數(shù)學教育的基本目標之一?！比藗冊趯W習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構等思維過程。這些過程是數(shù)學思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學模式進行思考和做出判斷。數(shù)學思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨特的作用。

數(shù)學思維過程體現(xiàn)數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學學習、數(shù)學教學過程的統(tǒng)一。我們知道，數(shù)學家的數(shù)學發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造過程通常是：問題情境→數(shù)學問題→數(shù)學理論→數(shù)學運用。這樣的創(chuàng)造過程對學生的學習有很大的啟示，我們能否像數(shù)學家研究數(shù)學那樣來引導學生學習數(shù)學呢？實際上，許多數(shù)學家、數(shù)學教育家對這個想法都有探索，弗羅登塔爾提出的“再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造”，在世界范圍內一直受到廣泛推崇，而布魯納的“發(fā)現(xiàn)法”在數(shù)學教學中也很受重視。如何培養(yǎng)學生的數(shù)學思維？如果通過適當?shù)募庸?，使?shù)學的發(fā)現(xiàn)過程、學習過程、教學過程三者有機協(xié)調統(tǒng)一起來，無疑將是最理想的教學方法。

數(shù)學思維伴隨著解決問題的過程。怎樣進行數(shù)學思維？從數(shù)學發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造過程可以看到，要啟動數(shù)學思維，首先要有問題，有了問題，思維才能啟動，問題是思維的起點。同時，在解決問題的過程中，又不斷提出新的問題。數(shù)學思維就在不斷地提出問題、解決問題的過程中得以形成與發(fā)展，因此，問題又是數(shù)學思維的動力。第二，有了問題，怎樣解決問題就顯得尤為重要，解決問題需要一系列解決問題的策略與方法，實際上就是研究方法。要發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，就必須讓學生在解決問題的過程中學會研究方法，否則，整日陷在題海中，靠訓練與記憶，無法真正解決問題。第三，解決問題之后，要對解決的過程進行反思、整理、升華，得到解決問題的一般方法與思想，通過反思，才能真正理解數(shù)學的本質，因此，反思是數(shù)學思維非常重要的環(huán)節(jié)。

這三個過程是有機聯(lián)系的整體，也就是說，數(shù)學思維過程是一個整體連續(xù)的過程，同時，數(shù)學思維過程具有一定的方向性，相對來說，思維的過程（提出問題，解決問題，反思升華）比簡單知道結果更為重要。因此，在數(shù)學教學過程中，只有學生主動去想，思維才開始，只有思維了，才能掌握數(shù)學。被動的練習，只能記憶，而不能解決問題；要給學生思維空間，不能限制思維發(fā)展；要讓學生知道自己的思維過程。反思、升華是學習的重要環(huán)節(jié)，在教學過程中必須予以充分的關注。

三、精心設計問題

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）》提出“初步形成數(shù)學地提出、分析和解決問題（包括簡單的實際問題）的能力”。通過問題，特別是問題串的形式，不斷引導學生進行積極的思維活動，在解決問題的過程中，通過觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、類比、猜想、推理等活動，不斷揭示數(shù)學本質、建立數(shù)學理論。

問題是數(shù)學課堂的心臟。在數(shù)學教學中，數(shù)學問題是引發(fā)學生思維與探索活動的向導。有了問題，學生的好奇心才能激發(fā)；有了問題，學生的思維才開始啟動；有了問題，學生的探究才真正有效；有了問題，學生的學習動力才能持續(xù)。因此，在數(shù)學教學過程中，問題也是課堂的心臟。沒有問題，學生便沒有思維。那種簡單的“是不是”“對不對”等沒有思維含量的提問充斥課堂，只能弱化學生的智力。通過問題，才能把知識的邏輯結構與學生的思維過程有機地聯(lián)系起來，使知識的邏輯結構轉化為學生的認知結構。通過問題，學生主動探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學的內在規(guī)律，認識、理解數(shù)學本質，并在活動過程中建構數(shù)學。

問題是數(shù)學活動的載體。數(shù)學課堂是在教師引導下學生思維活動的場所。然而，我們往往以簡單的記憶、訓練、操作來替代學生的思維。實際上，許多所謂的“活動”都不是有效的數(shù)學活動，因為沒有學生思維的參與，或者沒有學生思維的深度參與。

怎樣引導學生進行有效的活動呢？那就要設計合理、恰當?shù)摹皢栴}”。問題是數(shù)學活動的載體。沒有問題的活動，沒有思維參與的外在操作，只能是“假活動”。在這次課程改革過程中出現(xiàn)了許多誤區(qū)，其中較為普遍的就是沒有思維參與的“假活動”。有了問題，就需要解決問題。這樣，學生的思維就動起來了。在解決問題的過程中，又會不斷地產(chǎn)生新的問題，促進原來問題的進一步解決。同時，隨著新問題的提出，思維又向前推進。因此，問題是數(shù)學思維活動的結果。思維從問題開始，思維活動又導致新的問題的產(chǎn)生。這樣，循環(huán)往復，思維便得以發(fā)展。

問題體現(xiàn)發(fā)現(xiàn)和學習的統(tǒng)一。在數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程中，首先是通過一系列活動（觀察、操作、實驗、歸納、類比、聯(lián)想、推理等）提出猜想（實際上是一個問題），為了解決這個問題，又進行大量的思維活動（尋找反例、驗證、推理、邏輯論證等）。同時，解決問題的每一步都是不斷提出問題與解決問題的過程。這個過程，在數(shù)學教學過程中同樣被同構。所不同的是，教學法的加工，使解決問題的歷史過程縮短，使歷史進程中的“險阻”變得“適度”，便于學生在適當?shù)臅r間與空間內達到思維活動的目的。但兩者的思維過程原理都是相似的。因此，通過問題，使數(shù)學探索過程得以再現(xiàn)，在教師引導下學生進行再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造。學生只有經(jīng)歷類似的過程，思維才能得到鍛煉，能力才能得到提高。

綜上所述，在數(shù)學教學設計中，樹立“以問題為中心”的意識是十分必要的。根據(jù)問題在數(shù)學學習中的作用，必須注重問題的整體性、層次性、探究性等基本特性。通過問題使整個課堂融為一體，不能出現(xiàn)孤立的斷裂的狀況。注重問題的自然性，避免人造性、為問題而問題。注重通法通則，而不是單獨技巧。注重問題的生成性，而不是為問題而問題，關鍵是通過問題讓學生學會提出問題、分析問題、解決問題，學會思維、學會運用、學會反思。

四、引導學生活動

學生只有積極參與數(shù)學活動，才能去探索、理解數(shù)學本質；學生只有積極參與數(shù)學活動，才能主動思考，尋求解決問題的策略與方法，發(fā)展其數(shù)學思維能力。因此，在數(shù)學教學過程中，引導學生積極參與數(shù)學活動就顯得十分重要。

數(shù)學活動的目的是：探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，揭示數(shù)學本質，建立數(shù)學結構，表達交流數(shù)學內容，獲得數(shù)學思想方法，轉變思維方式，經(jīng)歷研究過程。數(shù)學活動方式包括操作、觀察、歸納、分析、概括、抽象、猜想，驗證、推理、證明，建立模型、提出方案，查閱資料、調查等個體活動，也包括討論、報告、合作、交流等小組活動。既有以學生為主的各種活動，也包括講授、講練、交流、匯報、展示等師生互動的活動。數(shù)學活動的內容可以概括為：觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括出數(shù)學，經(jīng)歷、體驗、感受、感悟、內化數(shù)學，提出問題、探索方法、解決問題。

課改后數(shù)學活動設計出現(xiàn)了許多喜人的現(xiàn)象。例如初中數(shù)學課堂中，設計場景，讓學生操作；設計問題，讓學生思考；設計方案，讓學生合作；設計作業(yè)，讓學生探究。借助于生成、聯(lián)系、網(wǎng)絡、凝縮等活動獲得數(shù)學概念，借助于發(fā)現(xiàn)、猜想、驗證、運用等活動獲得數(shù)學定理；借助于操作、練習、矯正等活動獲得數(shù)學技能；借助于體驗、感悟、反思、升華獲得數(shù)學思想方法。

數(shù)學教學設計實際上是數(shù)學活動的設計。近30年來，我國中學數(shù)學課堂的模式可以大致分為三個階段或類別：從1980—2000年（或者從1950—2000年），是“復習引入、新課講授、鞏固練習、小結、作業(yè)布置”等“五環(huán)節(jié)”，2000—2005年課程改革初期，提出問題情境、自主探究、小組合作等，出現(xiàn)了“多環(huán)節(jié)”的課堂教學模式，而這期間也出現(xiàn)了“假情境”“假活動”，為情境而情境、為活動而活動的形式主義現(xiàn)象，受到各方面的質疑與批評。大約從2006年開始，數(shù)學課堂教學過程開始注重實際效果，最大特點是：關注學生的數(shù)學思維過程而設計數(shù)學活動，特別是以問題引領活動，出現(xiàn)了問題主線或者問題引領的活動主線的課堂教學過程模式。

許多新的課程標準版教材設計，也切合學生的數(shù)學思維過程，以學生活動為主進行設計，例如，蘇教版教材內容組織形式：問題情境→學生活動→意義建構→數(shù)學理論→數(shù)學運用→回顧反思。數(shù)學教學設計實際上就是活動的設計，數(shù)學課堂教學就是要讓學生進行積極有效的數(shù)學活動。為了使得學生積極參與并進行有效的數(shù)學活動，省內外許多學校進行了積極的探索與嘗試，有些學校有一定的影響。例如山東杜郎口中學的“三三六自主學習”課堂教學模式，其中展示模塊“六大環(huán)節(jié)”：預習交流、明確目標、分組合作、展示提升、穿插鞏固、達標測評。連云港“建構式生態(tài)課堂”的課堂教學包括六個主要環(huán)節(jié)：自學質疑、交流展示、互動探究、精講點撥、矯正反饋、遷移應用。如皋“活動單導學”的課堂教學的基本流程包括：情景創(chuàng)設→自主學習→合作探究→成果展示→自我完善→教師評價。

五、數(shù)學教學核心

上文對數(shù)學教學過程中幾個核心概念——“數(shù)學本質”“數(shù)學思維”“數(shù)學問題”“數(shù)學活動”“教學引導”等作了初步討論，實際上，它們之間是密切聯(lián)系、相互作用的：“活動”是“數(shù)學本質”與“學生思維”之間的橋梁，“引導”是促進“數(shù)學活動”有效的重要途徑，“問題”是“引導”學生進行“數(shù)學活動”的最佳措施。

“活動”是“數(shù)學本質”與“學生思維”之間的橋梁。數(shù)學本質是客觀的、靜態(tài)的、穩(wěn)定的內容，而學生的數(shù)學思維是主觀的、動態(tài)的、生長的內容，如何實現(xiàn)數(shù)學本質與學生思維的轉化與質變？這是數(shù)學教學必須回答的問題。我國基礎教育課程改革后，愈來愈多的專家、教師普遍認同并使用一個詞：“活動”。認為借助于教師的教學活動、學生的學習活動、師生互動、學生自主活動、學生小組活動等一系列的“活動”，可以實現(xiàn)數(shù)學本質與學生思維的轉化。

“引導”是促進“數(shù)學活動”有效性的重要途徑。怎樣才能使數(shù)學活動有效、有益？現(xiàn)在有一個非常好的詞：“引導”。課改后，教師角色、學生角色發(fā)生改變，教師是學生學習的引導者，為多數(shù)教師接受。然而，何為“引導”？“引”，教師在前面，學生跟著教師走，有牽引、引領等意思?！皩А?，教師在后面，學生在前面，教師指導學生走，但教師必須設計好“路線”，教師必須知道這條路線上哪里有坎坷，哪里有危險，及時進行“導”。而“引導”，則理解為教師既不在學生前面，也不在學生后面。引中有導，導中有引，引導是合為一體的。這即日本佐藤學等學者提出的“教學共同體”?！秾W記》中說：“君子之教，喻也。道而勿牽，強而勿抑，開而勿達。道而勿牽則和，強而勿抑則易，開而勿達則思。和、易以思，可謂善喻矣?！币苍S能幫助我們理解“引導”的更深層含義。

“問題”是“引導”學生進行“數(shù)學活動”的最佳措施。怎樣引導？或者，有沒有一個非常好的手段或措施來引導學生積極地參與數(shù)學活動，并且使活動比較有效？課堂教學實踐表明，在教學過程中，設計比較適當?shù)膯栴}，特別是與學生“思維”相匹配的“問題串”，對于引導學生的“活動”是非常有效的。

綜上分析，關于數(shù)學教學核心，可以用如上這個簡單的結構圖來反映。這個圖中最核心的是兩個詞：“數(shù)學本質”與“學生思維”。與之匹配的三個重要的詞是“問題”“引導”“活動”，它們互相作用、有機協(xié)調而成整體，就構成數(shù)學教學的核心：揭示數(shù)學本質，發(fā)展思維能力。

【參考文獻】

[1]章建躍，張翼.對數(shù)學本質特征的若干認識[J].數(shù)學通報，2001（6）.

[2]李善良.關于數(shù)學教學中問題的設計[J].高中數(shù)學教與學，2008（1）.

[3]李善良.高中數(shù)學教學過程分析[J].數(shù)學通報，2010（2）.

[4]李善良等.我們?yōu)槭裁匆獙W數(shù)學[J].數(shù)學傳播，2002（4）.

（作者系江蘇省中小學教學研究室中學數(shù)學教研員、江蘇教育學院數(shù)學系教授）