函數(shù)教學(xué)應(yīng)踩準(zhǔn)三個(gè)著力點(diǎn)

【摘 要】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一條主線，因其高度的抽象性，一直是高中教學(xué)的難點(diǎn)，為了真正把握函數(shù)的教學(xué)，必須在三個(gè)方面下功夫：必須使學(xué)生深刻理解并把握函數(shù)概念的本質(zhì)；必須使學(xué)生正確理解和刻畫(huà)函數(shù)的圖象；必須使學(xué)生深刻理解函數(shù)的性質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 函數(shù)教學(xué) 函數(shù)概念 函數(shù)圖象 函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)概念貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，利用函數(shù)知識(shí)、思想可以處理、解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，多年來(lái)高考始終貫穿著函數(shù)及其性質(zhì)這條主線，顯現(xiàn)出“函數(shù)熱”居高不下的態(tài)勢(shì)。函數(shù)問(wèn)題具有較強(qiáng)的伸縮性，既可以以“容易題”出現(xiàn)，也可以“中檔題”“難題”形式出現(xiàn)，并多與其他問(wèn)題聯(lián)系在一起。因此，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是重點(diǎn)與熱點(diǎn)。一方面，函數(shù)不但是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，同時(shí)也是數(shù)學(xué)中常用的一種思想方法，函數(shù)的思想廣泛地滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程及其他學(xué)科之中，因此搞好函數(shù)的教學(xué)至關(guān)重要，另一方面，函數(shù)概念因?yàn)槠涓叨鹊某橄笮远蔀樽铍y把握的概念之一，無(wú)論是教師的教還是學(xué)生的學(xué)，都存在困難，筆者認(rèn)為，函數(shù)教學(xué)關(guān)鍵應(yīng)抓住三個(gè)著力點(diǎn)。

一、必須使學(xué)生深刻理解并把握函數(shù)概念的本質(zhì)

實(shí)踐表明，由于函數(shù)概念的抽象性、“變量”概念的復(fù)雜性以及函數(shù)符號(hào)的抽象性，函數(shù)概念是中學(xué)生感到最難學(xué)的數(shù)學(xué)概念之一。學(xué)習(xí)了集合理論后，教材運(yùn)用集合與映射的觀點(diǎn)重新定義了函數(shù)：函數(shù)是非空數(shù)集上的映射。而映射是一對(duì)一、多對(duì)一的對(duì)應(yīng)。于是在康托爾集合論的基礎(chǔ)上來(lái)理解函數(shù)，別有一片天地。之前的函數(shù)概念：在某一運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，當(dāng)x在某一給定范圍內(nèi)任意取值時(shí)，在某一對(duì)應(yīng)法則f的作用下，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么y就叫做x的函數(shù)，其中x叫自變量，x的取值范圍構(gòu)成的集合就是定義域，y的對(duì)應(yīng)值的集合是值域，這種運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)下的函數(shù)定義稱(chēng)為傳統(tǒng)定義，而現(xiàn)在建立在集合與映射觀點(diǎn)之上的函數(shù)定義稱(chēng)之為近代定義。

事實(shí)上，函數(shù)的本質(zhì)是兩個(gè)變量之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有三個(gè)要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則，通?？杀硎緸閒：A→C，A代表定義域，C代表值域，f指的是對(duì)應(yīng)法則，函數(shù)就是建立在兩個(gè)非空數(shù)集A、C上的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，有判別兩個(gè)函數(shù)是否表示同一函數(shù)的問(wèn)題。如①

f（x）=x，g（t）=雖然表示自變量的字母不一樣，但因?yàn)間（t）=和f（x）=x的定義域和對(duì)應(yīng)法則都一樣，因而值域肯定一樣，g（t）與

f（x）表示同一函數(shù)；②f（x）=，g（x）=x+2，兩函數(shù)雖然化簡(jiǎn)后的解析式一樣，但因定義域不同，故不是同一函數(shù)；③f（x）=x，g（x）=這兩個(gè)函數(shù)，雖然定義域相同，但g（x）=x與f（x）=x的對(duì)應(yīng)法則不同，也不是同一個(gè)函數(shù)。三要素中只要有一項(xiàng)不同就不是同一函數(shù)，這種題型有助于我們理解函數(shù)的本質(zhì)。

對(duì)于一個(gè)具體的函數(shù)關(guān)系，我們首先要把握一個(gè)重要的原則，就是定義域優(yōu)先。定義域是函數(shù)的一條生命線，在求函數(shù)值域，判斷函數(shù)的周期性或奇偶性時(shí)必須首先考慮函數(shù)的定義域。如求f（x）=loga（x2-2x-3）的單調(diào)區(qū)間，學(xué)生們常常會(huì)忽視定義域，有時(shí)在求解過(guò)程中還要注意定義域的變化。

例1.已知f（x+）=x2+，求f（x-1）。

錯(cuò)解：由已知得f（x+）=（x+）2-2

∴f（x）=x2-2 ∴f（x-1）=（x-1）2-2=x2-2x-1。

剖析：在使用直接拼配法或換元法求函數(shù)解析式時(shí)，沒(méi)有考慮定義域變化。

正解：由已知得f（x+）=（x+）2-2，但x+≥2，∴f（x）=x2-2（x≥2），從而f（x-1）=（x-1）2-2=x2-2x-1（x≥3或x≤3）。

分段函數(shù)的學(xué)習(xí)更能幫助我們理解函數(shù)的本質(zhì)，分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是多個(gè)函數(shù)。

例2.求分段函數(shù)y=2x+3，x≥0x2-1，x<0的值域。

錯(cuò)解：當(dāng)x≥0時(shí)，y=2x+3≥3；當(dāng)x<0時(shí)，y=x2-1，可得y>-1。故原函數(shù)的值域?yàn)椋寒?dāng)x≥0時(shí)，值域?yàn)閧y│y≥3}；當(dāng)x<0時(shí)，值域?yàn)閧y│y>-1}。

剖析：分段函數(shù)是借助于幾個(gè)不同的表達(dá)式來(lái)表示的，它是一個(gè)函數(shù)，而不能誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)，在處理分段函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，要分段處理，其函數(shù)的值域應(yīng)是各個(gè)分段函數(shù)的并集，同時(shí)各個(gè)分段的“斷點(diǎn)”要注意處理好。

正解：當(dāng)x≥0時(shí)，y=2x+3≥3；當(dāng)x<0時(shí)，y=x2-1可得{y│y>-1}，故原函數(shù)的值域?yàn)閧y│y>-1}。

函數(shù)概念的學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，為了切實(shí)使學(xué)生理解函數(shù)的概念，我們應(yīng)當(dāng)做到三點(diǎn)。

1.注重學(xué)生函數(shù)概念的心理建構(gòu)過(guò)程。

建構(gòu)主義教學(xué)理論認(rèn)為，應(yīng)把學(xué)習(xí)看成是學(xué)生主動(dòng)的建構(gòu)活動(dòng)，教學(xué)應(yīng)與一定的知識(shí)、背景即情境相聯(lián)系；在實(shí)際情境下進(jìn)行教學(xué)，可以使學(xué)生利用已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)同化和索引出當(dāng)前要教學(xué)的新知識(shí)，這樣獲取的知識(shí)，不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問(wèn)題情境中。在函數(shù)概念教學(xué)中，可以適當(dāng)采用引導(dǎo)討論，注重分析、啟發(fā)、反饋，先從實(shí)際問(wèn)題引入概念，然后揭示函數(shù)概念的共同特性：（1）問(wèn)題中所研究的兩個(gè)變量是相互聯(lián)系的。（2）其中一個(gè)變量變化時(shí)，另一個(gè)變量也隨著發(fā)生變化。（3）對(duì)第一個(gè)變量在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，第二個(gè)變量都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)。同時(shí)從閱讀、練習(xí)中鞏固概念，再?gòu)挠懻?、反饋中深化概念，讓學(xué)生自己完成從具體到抽象的過(guò)程，避免概念教學(xué)的抽象與枯燥，使學(xué)生深入理解函數(shù)的實(shí)質(zhì)，從而讓學(xué)生較好地完成函數(shù)概念的建構(gòu)。

2.注重函數(shù)概念與信息技術(shù)的適時(shí)、適度結(jié)合。

剛進(jìn)高中的高一學(xué)生，思維較為單一，認(rèn)識(shí)比較具體，注意力不夠持久，并且高中數(shù)學(xué)比較抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)普遍感到困難，因此在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)創(chuàng)設(shè)一些知識(shí)情境，借助現(xiàn)代多媒體教學(xué)手段進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中進(jìn)行學(xué)習(xí)。應(yīng)用信息技術(shù)時(shí)要根據(jù)教學(xué)需要、學(xué)生需求和課堂教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的情況適時(shí)使用，并且運(yùn)用要適度，掌握分寸，避免過(guò)量信息鈍化學(xué)生的思維。函數(shù)概念教學(xué)中，教師可以借助于幾何畫(huà)板、圖形計(jì)算器等現(xiàn)代教學(xué)工具輔助教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生上機(jī)操作，觀察函數(shù)圖象的變化過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生交流與討論，更好地教學(xué)和理解函數(shù)。

3.注重函數(shù)概念的實(shí)際應(yīng)用。

抽象的函數(shù)概念必須經(jīng)過(guò)具體應(yīng)用才能得到深刻理解，生活中許多問(wèn)題都是通過(guò)建立函數(shù)模型而解決的，因此在函數(shù)概念教學(xué)中，可以通過(guò)函數(shù)性質(zhì)比較大小、解不等式、證明不等式等活動(dòng)加強(qiáng)理解，同時(shí)引入具體的函數(shù)生活實(shí)例，如銀行利率表、股市走勢(shì)圖，讓學(xué)生記錄一周的天氣預(yù)報(bào)，列出最高氣溫與日期的函數(shù)關(guān)系等。這樣學(xué)生既受到思想方法的訓(xùn)練，又對(duì)函數(shù)概念有了正確的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生相應(yīng)的數(shù)學(xué)能力得到充分的培養(yǎng)與發(fā)展。

二、必須使學(xué)生正確理解和刻畫(huà)函數(shù)的圖象

函數(shù)的圖象不僅是函數(shù)表示的一種方法，更是函數(shù)性質(zhì)的外在表現(xiàn)，通過(guò)圖象可以幫助我們認(rèn)清和理解函數(shù)的性質(zhì)，教學(xué)中必須明確函數(shù)的圖象都是滿(mǎn)足一定條件的點(diǎn)構(gòu)成的，本質(zhì)上就是以x作為橫坐標(biāo)，y作為縱坐標(biāo)的所有點(diǎn)構(gòu)成的曲線、折線或孤立的點(diǎn)。同時(shí)必須明確的是，并不是所有的函數(shù)圖象都是連續(xù)的或是光滑的，有的函數(shù)圖象就是由一些孤立的點(diǎn)組成的，甚至有的函數(shù)圖象根本就畫(huà)不出來(lái)（如狄里克雷函數(shù)）。

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其作用在此不作贅述，這里只強(qiáng)調(diào)作圖的準(zhǔn)確性。

也就是說(shuō)利用這種數(shù)學(xué)方法解題時(shí)，前提是圖象畫(huà)得必須正確。比如y=sinx，x∈（-，）和y=tanx，x∈（-，）的圖象不是左圖這樣的，而應(yīng)如右圖所畫(huà)。如畫(huà)圖不準(zhǔn)確，就會(huì)錯(cuò)誤地得出解的個(gè)數(shù)為3。

三、必須使學(xué)生深刻理解函數(shù)的性質(zhì)

平時(shí)必須注意函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)，舍得在函數(shù)性質(zhì)的新授課上花時(shí)間，花精力。讓學(xué)生真正理解函數(shù)性質(zhì)的定義，什么樣的函數(shù)才有這樣的性質(zhì)，應(yīng)用的條件和范圍等，下面以函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)為例說(shuō)明。

1.要使學(xué)生深刻理解單調(diào)性的定義。

在函數(shù)的單調(diào)性定義的教學(xué)中，必須盡可能地做到：（1）把函數(shù)單調(diào)性的定義與直觀圖象結(jié)合起來(lái)加深對(duì)定義的理解，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法；（2）強(qiáng)調(diào)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，單調(diào)性是相對(duì)于給定區(qū)間而言的，離開(kāi)了相應(yīng)的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性，不能說(shuō)函數(shù)在x=5時(shí)是遞增的還是遞減的，在強(qiáng)調(diào)局部性的時(shí)候也不排斥有些函數(shù)在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)，也就是說(shuō)并不是所有函數(shù)的單調(diào)區(qū)間都不能以并集的形式寫(xiě)的；（3）厘清定義中的“任意”和“都有”的含義，強(qiáng)調(diào)“任意”就是指不能取特定的值來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，而“都有”則是說(shuō)只要x1

2.要使學(xué)生厘清函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)在某一區(qū)間單調(diào)的區(qū)別。

例3.函數(shù)y=x2+2ax+1在x∈（-∞，1]上是單調(diào)減函數(shù)，求a的取值范圍。

錯(cuò)解：因?yàn)楹瘮?shù)y=x2+2ax+1在x∈（-∞，1]上是單調(diào)減函數(shù)，所以-a=1，即a=-1。

剖析：錯(cuò)把函數(shù)在x∈（-∞，1]上單調(diào)遞減理解為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（-∞，1]，事實(shí)上，當(dāng)a≤-1時(shí)，函數(shù)y=x2+2ax+1在（1，-a]上也是單調(diào)減函數(shù)。函數(shù)在某一區(qū)間單調(diào)與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不要混淆。

正解：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-a，因?yàn)楹瘮?shù)在x∈（-∞，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以a≤-1。

3.注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。

例4.求函數(shù)y=cos（-2x）的遞增區(qū)間。

錯(cuò)解：由2kπ-π≤-2x≤2kπ（k∈z）解得-kπ+≤x≤-kπ+π（k∈z）

∴y=cos的單調(diào)遞增區(qū)間為-kπ+，-kπ+π（k∈z）。

剖析：解法忽視了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則。

函數(shù)的其他性質(zhì)的教學(xué)，原理同上。

如果我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，能把握以上三個(gè)著力點(diǎn)，那么函數(shù)這座堡壘就能輕易攻破。

【參考文獻(xiàn)】

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（作者單位：南京市教育科學(xué)研究所）