讀“圖”教學(xué)：讓幾何直觀自然地生長

在生活節(jié)奏越來越快的當(dāng)下，海量的信息沖擊著現(xiàn)代人的閱讀方式，人們很難靜下心來心平氣和地看書，“讀圖”成了人們樂于接受的接受信息方式，包括靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的圖片在我們的生活中顯得越來越重要。這里講的“讀圖”，是讀者對(duì)以圖形或圖像為主體內(nèi)容的讀物的一種閱讀喜好。圖形可以幫助刻畫和描述問題；圖形可以幫助發(fā)現(xiàn)尋找和解決問題的思路；圖形可以幫助表述和記憶一些結(jié)果。學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)在一定程度上依賴圖形教學(xué)。

一、 強(qiáng)化圖形特點(diǎn)，建立數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與抽象圖形的聯(lián)系

表象是幾何直觀思維的基礎(chǔ)元素，學(xué)生大腦中的表象越豐富，越容易把抽象的問題轉(zhuǎn)化成直觀的表象，也容易從直觀的表象抽象出本質(zhì)特征。所以，當(dāng)圖形成為視覺和直覺的橋梁時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力就水到渠成了。

1.實(shí)物直觀演示，貫穿視覺思維與直覺思維的通道。通過實(shí)物、模型、圖形的觀察、測(cè)量、拼擺、畫圖、制作、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)或者是適當(dāng)借助多媒體手段，幫助學(xué)生積累豐富的幾何表象。例如，蘇教版六年級(jí)《分類計(jì)數(shù)》，將棱長為3cm的正方體表面刷上紅色的漆，再將其分割成棱長為1cm的小正方體。其中，三面、兩面、一面有紅色的小正方體各有多少個(gè)？通過實(shí)物直觀演示引導(dǎo)學(xué)生分別以正方體的頂點(diǎn)、面、棱長為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類計(jì)數(shù)，形成了強(qiáng)烈的視覺印象，使學(xué)生通過觀察、操作等活動(dòng)，感受和探索圖形的特征，積累圖形與幾何的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.圖形直觀操作，強(qiáng)化實(shí)物操作與直觀表象的體驗(yàn)。對(duì)幾何形體的研究往往需要學(xué)生擺實(shí)物、做模型、割補(bǔ)畫圖等。圖形的直觀操作分為實(shí)物操作和圖形操作兩種。例如，蘇教版四年級(jí)《認(rèn)識(shí)三角形》中，教材中運(yùn)用了多種方式來體驗(yàn)三角形的特征，分別運(yùn)用了多種操作活動(dòng)幫學(xué)生積累豐富的幾何事實(shí)，獲得對(duì)基本平面圖形的直觀經(jīng)驗(yàn)。

3.運(yùn)用圖形直觀，打通數(shù)學(xué)概念與符號(hào)表征的障礙。利用圖形直觀理解數(shù)學(xué)事實(shí)。通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，使學(xué)生從算法的相互作用與矛盾中慢慢形成符號(hào)表征。例如，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)時(shí)，借助正方形分別來表征不同的數(shù)，既加深了對(duì)數(shù)的理解，溝通了數(shù)之間的聯(lián)系，又形象地用圖形將數(shù)學(xué)概念表征出來。

二、 巧用圖形優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)表象系統(tǒng)與言語系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換

幾何直觀將抽象的數(shù)學(xué)文字語言與直觀的圖形語言有機(jī)地結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)表象系統(tǒng)與言語系統(tǒng)的靈活轉(zhuǎn)換，有助于加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

1.厘清“問”題，培養(yǎng)畫圖的能力。年齡的局限性讓學(xué)生對(duì)一些抽象度較高、復(fù)雜的、難于理解的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)存在一定難度。這時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生適時(shí)用好圖形工具，畫一畫、想一想，在涂涂抹抹中尋找解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，最終形成屬于自己的解決問題思路。例如，蘇教版六年級(jí)下冊(cè)第6頁習(xí)題：2005年我國公布了新的個(gè)人收入所得稅征收標(biāo)準(zhǔn)，個(gè)人月收入1600元以下不征稅，月收入超過1600元，超過部分按下面的標(biāo)準(zhǔn)征稅。本題中，畫圖將抽象的數(shù)學(xué)問題具體化、形象化。教師鼓勵(lì)學(xué)生畫圖分析和解決問題，尤其是學(xué)生不拘格式的個(gè)性畫圖，也有利于學(xué)生將用畫圖思考問題形成一種習(xí)慣。

2.看“圖”想事，突出思維的過程。當(dāng)學(xué)生將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成“圖”以后，會(huì)利用“圖”來敘述原來的問題。借助學(xué)生自己畫出的“圖”，深化數(shù)學(xué)問題的理解，幫助學(xué)生突破問題解決上的難點(diǎn)，以期真正把握問題的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵。例如，蘇教版六年級(jí)《解決問題的策略》例2：全班42人去劃船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有幾只？教材在處理本題時(shí)：

（1）先假設(shè) “10只船全是大船”，結(jié)合圖例可知，一共多坐了8人。而把小船假設(shè)成大船，每條船就多坐了2人，用8÷2就可以算出有4條小船，而大船也就是6條。

（2）假設(shè)“5條大船和5條小船”，算出總?cè)藬?shù)是40人，發(fā)現(xiàn)比總?cè)藬?shù)少2人，這時(shí)需要怎么辦？在反饋過程中，絕大多數(shù)的學(xué)生都拿出了證據(jù)——圖例，并在圖上作出了調(diào)整，少2個(gè)人，只要將一只小船換成大船就可以了，從而解決問題。

（3）還可以用什么方法找出答案？小組里交流。在交流時(shí)學(xué)生都能根據(jù)假設(shè)的情況作出相應(yīng)的圖例，再去調(diào)整大、小船的只數(shù)，從而很快解決問題。

3.由“圖”說理，突出數(shù)學(xué)的表達(dá)。小學(xué)階段常用的圖包括線段圖、樹圖、集合圖、示意圖等。例如，蘇教版四年級(jí)《解決問題的策略》中有一道行程問題：小明和小芳同時(shí)從家里出發(fā)走向?qū)W校，兩人經(jīng)過4分鐘在校門口相遇，他們兩家相距多少米？當(dāng)學(xué)生利用“圖”來進(jìn)行認(rèn)真思考后，學(xué)會(huì)將自己的思維過程表達(dá)清楚，并努力理解他人的思考方式，期望多種思維方式的融合和碰撞，最終達(dá)到突破思維瓶頸的目的。

三、 靈活運(yùn)用圖形，達(dá)到圖像表征與基本概念的統(tǒng)一

圖形的變換和運(yùn)動(dòng)是小學(xué)數(shù)學(xué)階段的主要學(xué)習(xí)任務(wù)，同時(shí)變換和運(yùn)動(dòng)也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種思想和方法。

1.以基本圖形為主，夯實(shí)圖像表征的基礎(chǔ)。幾何直觀是指利用圖形來描述和分析問題，所以應(yīng)該把掌握、運(yùn)用基本圖形解決問題作為教學(xué)任務(wù)，貫穿在數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的始終。所謂基本圖形就是幾何概念所對(duì)應(yīng)的圖形。如直線、角、三角形、長方形、正方形、菱形，圓等。例如，蘇教版三年級(jí)《認(rèn)識(shí)長方形和正方形》習(xí)題中分別安排了2個(gè)題目，鞏固了長方形和正方形的基本特征以及它們之間的聯(lián)系，又為學(xué)習(xí)三角形打下基礎(chǔ)，同時(shí)為學(xué)習(xí)圖形面積公式埋下伏筆。在教學(xué)中要有意識(shí)地強(qiáng)化對(duì)基本圖形的掌握，建立圖形的表征，為靈活運(yùn)用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題打下基礎(chǔ)。

2.以圖形變換為主，拓寬圖像表征的寬度。在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中，需要學(xué)生掌握的基本圖形都是“對(duì)稱”圖形。例如，長方形、正方形、圓等。另一方面，在認(rèn)識(shí)其他圖形時(shí)，往往是由基本圖形變換而來的。例如，圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、反射等運(yùn)動(dòng)，使得“點(diǎn)動(dòng)成線”、“線動(dòng)成面”、“面動(dòng)成體”，半圓以直徑為軸旋轉(zhuǎn)可以形成球體，矩形以一邊為軸旋轉(zhuǎn)可以成為圓柱體，直角三角形以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)可以成為錐體等。在教學(xué)中，教會(huì)學(xué)生用變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)、理解圖形是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的一種途徑。

3.啟發(fā)聯(lián)想和想象，提升圖形表征的高度。聯(lián)想和想象是拓展學(xué)生幾何直觀思維空間的主渠道，是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的重要手段。例如，蘇教版五年級(jí)《圓的面積》中，教材中分別將圓分割為16份和64份，把剪開后拼成的圖形想象成一個(gè)近似的長方形，利用長方形的面積公式來推導(dǎo)出圓的面積公式。在學(xué)習(xí)過程中，發(fā)揮了學(xué)生對(duì)拼接后圖形的想象，同時(shí)也強(qiáng)調(diào)了基本圖形的重要性。

四、 善于構(gòu)造圖形，尋找代數(shù)學(xué)習(xí)與幾何學(xué)習(xí)的平衡

數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)造了直角坐標(biāo)系，歐拉將七橋問題轉(zhuǎn)化成“一筆畫”的問題來思考。這些都是構(gòu)造恰當(dāng)?shù)闹薪閳D形，將抽象的代數(shù)問題幾何化、直觀化，再利用幾何圖形相關(guān)性質(zhì)求解，問題就會(huì)直觀化、簡易化。

1.利用幾何圖形特征，記憶數(shù)學(xué)結(jié)果。小學(xué)階段學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)處于非形式化演繹的階段，學(xué)生借助幾何直觀學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方向。甚至可以說，只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。例如，蘇教版六年級(jí)《平面圖形的面積》復(fù)習(xí)中，利用網(wǎng)絡(luò)圖加深對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)。在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀來學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，從而有效地觸摸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解。

2.抓住問題的幾何特征，突破解題難點(diǎn)。日常解題要尋找代數(shù)問題的幾何特征，既實(shí)現(xiàn)了問題形式化的表達(dá)，又強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，打開數(shù)學(xué)模式或形式化的遮掩，理清解題思路或找到解題方法，實(shí)現(xiàn)解題突破和解題優(yōu)化。例如，如果你是老師，有件緊急事情要通知同學(xué)，用打電話的方式，每分鐘通知1人，給你3分鐘時(shí)間，能使多少人收到通知？大膽猜測(cè)一下。在教師的幫助下，借助于線段和點(diǎn)這樣的基本圖形來描述復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，并直觀地呈現(xiàn)出來，從而發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，即一分鐘通知一個(gè)人，第二次通知的新的人數(shù)，是第一次的兩倍。

3.避開代數(shù)的復(fù)雜運(yùn)算，提升思維深度。借助幾何直觀，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)方法的理解，優(yōu)化解題過程，就能避開代數(shù)的復(fù)雜運(yùn)算和繁瑣推理。例如，蘇教版六年級(jí)《解決問題的策略》例1的“試一試”，計(jì)算：■+■+■+■。計(jì)算時(shí)，我們可以構(gòu)造一個(gè)邊長為1的正方形（如下圖），要計(jì)算的正好就是正方形的一部分，這樣我們很容易得出計(jì)算的結(jié)果。

看似沒有任何關(guān)系的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化成一個(gè)圖形以后，不僅避開了復(fù)雜的運(yùn)算，還提升了思維的深度。