追求數(shù)學(xué)綜合實踐活動的本真境界

“綜合與實踐”作為一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動，她基于已有的知識和經(jīng)驗，經(jīng)歷自主探索，在獲得深刻數(shù)學(xué)理解的同時，感悟基本數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，孕育良好的學(xué)科情懷。如何實現(xiàn)數(shù)學(xué)綜合實踐活動的本真境界？下面以《奇妙的圖形密鋪》為例談?wù)勛约旱膶嵺`與思考。

【教學(xué)片斷】

1. 實踐探究。

師：通過操作驗證知道有些圖形可以密鋪，有些圖形不能密鋪，你有沒有考慮這與什么有關(guān)呢？

生1：可能與圖形的形狀有關(guān)

生2：可能與圖形的邊有關(guān)，圓沒有邊也沒有角所以圓不能密鋪。

師：圓的邊是曲的再怎么靠也靠不到一起，圓確實不能密鋪。正五邊形的邊是直的也有角，為什么也不能密鋪呢？而平行四邊形、等邊三角形、等腰梯形的邊是直的也有角卻能密鋪，你覺得圖形能否密鋪到底與什么有關(guān)呢？

師：實踐出真知，先用等邊三角形來實驗（用等邊三角形動態(tài)呈現(xiàn)密鋪過程），觀察到了什么？

生3：6個等邊三角形鋪在一起，6個角正好圍成一圈。

生4： 6個等邊三角形鋪在平面上，圍繞公共頂點正好形成一個周角。

師：等邊三角形一個內(nèi)角是60°度，3個60°角拼在一起正好形成180°平角，再加上三個這樣的角也是180°，合在一起正好形成360°的周角，等邊三角形可以密鋪。

生5：看來真的和角的度數(shù)有很大關(guān)系呢！

師：通過動手鋪一鋪，已經(jīng)知道 可以密鋪，說說平行四邊形為什么可以密鋪？

生6：我想象平行四邊形向上平移，向右上平移，向右平移，圍繞公共頂點可以鋪成360度周角。

生7：由于等邊三角形可以密鋪， 平行四邊形可以分成兩個三角形，所以平行四邊形也可以密鋪。

生8：平行四邊形內(nèi)角和是360°，四個角圍繞在公共頂點形成360°周角可以密鋪。

追問：等腰梯形呢？正五邊形呢？為什么不能密鋪？

一個內(nèi)角108°，2個內(nèi)角拼起來216°，3個內(nèi)角呢？再放一個角呢？（重疊，結(jié)合講解動態(tài)呈現(xiàn)正五邊形鋪的過程。）

2.解釋應(yīng)用。

師：回過頭來看一看（再現(xiàn)課始出示的用正方形、長方形、正六邊形瓷磚密鋪的地面）：生活中的這些地面分別是由哪些圖形密鋪而成的？

為什么正方形、長方形、正六邊形可以密鋪？（出現(xiàn)了不同的意見。）

師：（交互式白板動態(tài)演示正六邊形密鋪的過程）正六邊形一個內(nèi)角是120°，2個鋪在一起呢？（240°）三個鋪在一起呢？（360°）三個正六邊形鋪在一起形成360°周角，所以正六邊形可以密鋪。

3. 拓展延伸。

（1）深入探究正多邊形的密鋪。

①正三角形、正方形能密鋪、正五邊形不能密鋪，正六邊形能密鋪，那正七邊形、正八邊形、正九邊形、正十邊形呢？更多邊的正多邊形呢？

生1：正多邊形的一個內(nèi)角最大不能超過180°，要是平角就不能圍成正多邊形了，正六邊形往后的正多邊形的角都大于120°小于180°，不可能拼成360°周角，所以這些正多邊形都不能密鋪。

生2：正多邊形內(nèi)角的度數(shù)隨著邊數(shù)的增多而增大，正六邊形一個內(nèi)角是120°，正七邊形、正八邊形、正九邊形……甚至更多邊的正多邊形的一個內(nèi)角都大于120°而小于180°，2個180°是360°，三個120°是360°，而正七邊形、正八邊形、正九邊形……甚至更多邊的正多邊形鋪在一起都不能鋪成360°周角，所以不能密鋪。

生3：我發(fā)現(xiàn)了正多邊形中只有正三角形、正方形可以密鋪，正六邊形是能密鋪的正多邊形中邊數(shù)最多的。

②揭示蜂房的奧秘。

（課件展示蜂巢的圖片）大自然的能工巧匠、聰明的小蜜蜂就是利用這一原理——用能密鋪的正多邊形中邊數(shù)最多的正六邊形來做蜂房，使儲物空間達到最大。

（2） 深入探究任意三角形和任意四邊形的密鋪。

①等邊三角形可以密鋪，那么任意的三角形是不是也可以密鋪呢？（學(xué)生出現(xiàn)不同的意見）

師：誰來說說自己的想法？為什么？生1：兩個完全一樣的任意三角形可以拼成平行四邊形，平行四邊形可以密鋪，所以任意三角形也可以密鋪。（學(xué)生用白板動態(tài)演示任意三角形密鋪的過程。）

生2：三角形的內(nèi)角和是180°，三個三角形拼在一起形成180°角，再倒過來這三個三角形一樣形成180°角，合在一起，即圍繞公共頂點形成360°周角，任意三角形可以密鋪。

②正方形、長方形、平行四邊形、等腰梯形這些特殊的四邊形可以密鋪，那么任意四邊形呢？（課件出示一個任意四邊形。）

生：四邊形的內(nèi)角和都是360°，圍繞其中一個角的頂點可以拼成360°周角（用白板演示任意四邊形密鋪的過程。）

（3）小結(jié)：研究到這里，大家發(fā)現(xiàn)圖形能否密鋪的秘密了嗎？

師：正如同學(xué)們所說的那樣：只要一種圖形鋪在平面上，圍繞公共頂點形成360度的周角，它就可以密鋪。

……

【教學(xué)反思】

本課借助圖形密鋪的素材，給學(xué)生提供了一個參與學(xué)習(xí)、親身體驗、獲取經(jīng)驗和豐富感知的舞臺，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實驗、猜測、推理、驗證等數(shù)學(xué)探索活動，尤為突出“做”、突出“過程”、注重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。具體表現(xiàn)在：

1.注重實踐，優(yōu)選形式。在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，注重學(xué)生自主參與、全程參與，重視學(xué)生積極動腦、動手、動口。片斷中學(xué)生借助互動學(xué)習(xí)工具的克隆、拖動、旋轉(zhuǎn)、組合等功能在電腦上實踐操作，通過“鋪一鋪”驗證自己的猜想，發(fā)現(xiàn)：“有些圖形可以密鋪，有些圖形不能密鋪”，靈動的思維，深入的思考激起學(xué)生質(zhì)疑：“圖形能否密鋪可能與什么有關(guān)呢？”兒童的思維特點是從形象思維逐步向抽象思維過度，在形象思維階段往往又要依靠事物或動作行為為思維的起點。片斷中學(xué)生利用等邊三角形等圖形借助交互式白板結(jié)合問題再次實踐驗證，促使學(xué)生獨立、自由地思考，把操作過程中獲得的直觀感知進行內(nèi)化形成表象：等邊三角形、平行四邊形、等腰梯形圍繞公共頂點可以鋪成360°周角，正五邊形不能圍繞公共頂點鋪成360°周角，由動作思維逐步過渡到具體思維。伴隨著操作、思考，學(xué)生用語言總結(jié)表達操作、思考的過程，強化操作引起的形象思維，從而擺脫對直觀思維的依賴，最終發(fā)現(xiàn)：“把平面圖形鋪在一個平面上圍繞在公共頂點可以鋪成360°的周角，這樣的圖形就可以密鋪?！睂W(xué)生動手、動腦、動口參與知識形成過程，調(diào)動全體學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從每個學(xué)生的基礎(chǔ)水平和個性差異出發(fā)，讓不同層次的學(xué)生擁有同等參與學(xué)習(xí)活動的機會，實現(xiàn)有差異發(fā)展。

2.注重綜合，關(guān)注內(nèi)容。在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，注重數(shù)學(xué)與生活實際、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)內(nèi)部知識的聯(lián)系和綜合應(yīng)用。片斷中學(xué)生在了解圖形密鋪的原由后，理論聯(lián)系實際，運用密鋪知識解決生活問題：為什么正方形、長方形及正六邊形地磚可以密鋪？學(xué)生感到在學(xué)有用的數(shù)學(xué)，激起學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。一波未平一波又起，順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展，從縱橫兩個方向質(zhì)疑：第一，正三角形、正方形、正六邊形能密鋪，正五邊形不能密鋪，其他的正多邊形都能密鋪嗎？一石激起千層浪，學(xué)生們陷入深度思考，面對這一挑戰(zhàn)性的問題，學(xué)生不可能窮盡對所有正多邊形的驗證，而是綜合利用角和正多邊形的相關(guān)知識及求正多邊形內(nèi)角和等知識從數(shù)學(xué)視角利用密鋪的本質(zhì)進行推理探究，正七邊形、正八邊形……甚至更多邊的正多邊形都不能密鋪，正多邊形中只有正三角形、正方形、正六邊形可以密鋪，正六邊形是能密鋪的正多邊形中邊數(shù)最多的，進而揭示蜂房奧秘，有機滲透我們?nèi)祟愐c小蜜蜂和平共處的人文精神。第二，任意三角形、任意四邊形能密鋪嗎？困能激思，惑能啟智，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生思考的時空，實踐探究，再次把學(xué)生的思維推向深處，在解決問題的過程中不斷地積累解決問題的經(jīng)驗。形成“全面關(guān)注、平等對話、資源共享”的課堂教學(xué)文化。真正以學(xué)生發(fā)展為本，深入學(xué)生思維深處，將學(xué)生的思維從具象水平提升到抽象水平，更進一步逼近數(shù)學(xué)的本質(zhì)。