用算法思想指導(dǎo)高三復(fù)習(xí)備考

算法一詞源于算術(shù)，現(xiàn)代意義上的算法通常指可以用計算機來解決一類問題的程序和步驟。在信息社會中，越來越多的事情都由計算機完成，而計算機完成任何一次任務(wù)都需要算法。因此，算法既是計算機科學(xué)的基礎(chǔ)，又是計算機科學(xué)的核心。算法的基本思想是按照一定的規(guī)則一步步解決某一類問題的程序化思想。事實上，人們一直在利用算法思想解決問題。在中學(xué)數(shù)學(xué)課中，每個數(shù)學(xué)問題都對應(yīng)一個算法，特別在高中復(fù)習(xí)備考中，老師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從算法角度去觀察、思考問題。

一、高考對運算能力的要求比較高，而學(xué)生這方面比較弱

我覺得，引導(dǎo)學(xué)生從算法角度去認(rèn)識、去做，會好一些。在高考中，運算能力的高低決定做題速度，而速度的快慢直接影響成績。在平常復(fù)習(xí)中，運算很容易被學(xué)生忽略，但一次次面對考試中丟分，有些學(xué)生長吁短嘆、束手無策；作為老師應(yīng)該幫助學(xué)生從算法角度去分析問題，使學(xué)生認(rèn)識到算法思想的重要性，并逐步能夠運用算法思想解決一些實際問題，從而幫助學(xué)生全面的理解運算，更好地認(rèn)識算法和算理。按照各種運算法則進(jìn)行加、減、乘、除等各種運算，形成一些基本的計算技巧，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個方面。在此基礎(chǔ)上，還需要在運算中嘗試構(gòu)造、設(shè)計，選擇一個合理的算法，通過給一個問題的不同算法，比較這些算法的優(yōu)劣，并作出選擇，從而提高運算的效率，這是全面提高運算能力的過程。下面舉一個三角函數(shù)的例子：

（2011年四川高考）已知函數(shù)f（x）=sin（x+ ）+cos（x- ），x∈R.（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知cos（β-α）= ，cos（β+α）=- ，0<α<β≤ .求證：[f（β）]2-2=0.

本小題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，同角三角函數(shù)的關(guān)系，兩角和的正、余弦公式、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識和基本運算能力，函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生這樣去分析第（1）問：首先看問題是求周期的最值，那么聯(lián)想所學(xué)知識將它化為相應(yīng)形式才能解決，然后圍繞目標(biāo)設(shè)計合理算法，觀察、分析。抓住角的關(guān)系，靈活運用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)換為角的三角函數(shù)，這是求解的關(guān)鍵。當(dāng)然，也可以和差角公式全面展開，然后再化。顯然第二種算法沒前者好。而對于第（2）問，要先分析再確定解法思路，最后形成算法。問題是證明等式，而條件是余弦的和差角，又有范圍，設(shè)想一下，能否求出β角。通過分析可以，那么問題就可以解決。然后形成算法：第一步解出2cosαcosβ=0，第二步由范圍求出β，第三步通過計算，問題得證，最后按照分析的算理，由算法步驟去整理過程。

（Ⅰ）解析：法一：f（x）=sinxcos +cosxsin +cosxcos +sinxsin = sinx- cosx=2sin（x- ）， ∴f（x）的最小正周期T=2π，最小值f（x）min=-2. 法二：f（x）=sin（x+ -2π）+sin（x- + ）=sin（x- ）+sin（x- ）=2sin（x- ）， ∴f（x）的最小正周期T=2π，最小值f（x）min=-2.

（Ⅱ）證明：由已知得cosαcosβ+sinαsinβ= ，cosαcosβ-sinαsinβ=- ，兩式相加得2cosαcosβ=0，∵0<α<β≤ ， ∴cosβ=0，則β= . ∴[f（β）]2-2=2sin2 -2=0.

二、形成算法思想，有條理地思考問題

在復(fù)習(xí)中，老師要通過有計劃、按步驟解答問題，使學(xué)生形成算法思想，形成有條理地思考和數(shù)學(xué)化地表達(dá)思考的能力。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，特別對于證明問題，時常思維混亂，沒有條理性。

例如：已知，a≥-1，求證三個方程：x2+2ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實數(shù)根。

老師可以這樣引導(dǎo)：先看問題含有“至少”這樣的字眼，提醒學(xué)生用反證法嘗試，因為這是反證法適用類型的特點，然后按反證法去考慮解答，帶領(lǐng)學(xué)生審題，在實數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程有無實數(shù)，由判別式是否大于等于零確定。最后形成算法：第一步反設(shè)，第二步證謬，第三步下結(jié)論。解答如下：

證明：假設(shè)三個方程都沒有實數(shù)根，則：

（4a）2-4（-4a+3）<0（a-1）2-4a2<0 ？圯（2a）2-4（-2a）<0- 或a<-1 -2

三、算法是一類問題的通法

在復(fù)習(xí)中，通法教學(xué)是尤為重要的。在高三復(fù)習(xí)階段，學(xué)生經(jīng)過大量的練習(xí)，每一個考點都反復(fù)練過，題型很多，大多數(shù)同學(xué)做著新的忘了舊的，有些問題一次、兩次、三次總是錯，使學(xué)生有力不從心之感。這時，老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生“舉三反一”，做好同一類問題的歸納總結(jié)，形成一類問題的通法。這樣不但可以減少學(xué)生的工作量、提高效率，也可以迅速提高成績。

例如，數(shù)列是高考中的重點，可以領(lǐng)著學(xué)生總結(jié)歸納形成通法。

①一階線性遞推公式an+1=pan+q（p、q為常數(shù)，P≠0，P≠1）。此類數(shù)列解決的思路是，運用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解，具體轉(zhuǎn)化途徑是分離常數(shù)法或作差法。

②一階分式遞推公式an+1= （c、d為非零常數(shù)）。此類數(shù)列解決的思路是，運用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解，具體轉(zhuǎn)化途徑是取倒數(shù)法。

③一階遞推公式an+1=pan+f（n）（p為常數(shù)，P≠0，P≠1）。若f（n）=qn（q≠0，q≠1），此類數(shù)列解決的思路是，運用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式求解，具體轉(zhuǎn)化途徑是兩邊同除以qn+1得： = + ，令bn= ， ∴ bn+1= bn+ ，則轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式。

④二階線性遞推公式an+2=pan+1+qan（p、q為非零常數(shù)）。此類數(shù)列解決的思路是，運用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解，具體轉(zhuǎn)化途徑是運用待定系數(shù)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

學(xué)生掌握以上類型，再遇到數(shù)列由遞推關(guān)系求通項問題，就不會覺得為難了。對于考試的重點內(nèi)容、重點題型更要注意通法，比如圓錐曲線問題，避免學(xué)生求新、求異，從資料上照搬課本上沒有的定理、公式來解答常規(guī)問題，防止由于不是通法，別人不認(rèn)同而丟分。

總之，算法是解題方法的精確描述，具有具體化、程序化、機械化的特點，同時又有高度的抽象性、概括性和精確性。從算法角度去看待高三復(fù)習(xí)備考，會有不一樣的收獲。