解決“粗心”現(xiàn)象提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)一種現(xiàn)象：有些學(xué)生掌握了相關(guān)知識，也明確解題原理，卻往往在解題過程中或得出解題結(jié)果時出現(xiàn)各種大大小小的問題。很多學(xué)生反映，他們會解題，但不知道為什么總是解錯題，這種現(xiàn)象被歸因為“粗心”?，F(xiàn)代認知心理學(xué)則啟示我們：當學(xué)生缺乏某種能力，存在解題能力障礙時，首先應(yīng)到學(xué)生大腦中查找其知識結(jié)構(gòu)是否完整。其實，學(xué)生在解題過程中的“粗心”，只是一種錯題的表面現(xiàn)象，錯題的根本原因?qū)嶋H上是學(xué)生大腦中的知識結(jié)構(gòu)存在缺陷。

只有具備完整的知識體系，才能具備解題的相應(yīng)能力。皮連生教授在《智育概論》中指出：人類大腦里的知識結(jié)構(gòu)包括：陳述性知識、程序性知識和策略性知識。陳述性知識是關(guān)于是什么、什么樣的知識，是客觀事實的陳述，可以理解為題中所給出的已知性條件，或是解題時所需要的定義、公式、原理等知識。例如“角平分線上的點到角的兩邊距離相等”“兩直線平行，同位角相等”等等。程序性知識是關(guān)于“怎么辦”的操作性知識，可以理解為解題思路，屬于內(nèi)部的思維活動。策略性知識是程序性知識的一種特殊化形式，是監(jiān)督、指導(dǎo)學(xué)生內(nèi)部思維活動的知識。程序性知識和策略性知識經(jīng)常綜合在一起理解，即解題過程中的方法、策略等知識。例如在解方程類型的題目時，學(xué)生一邊解題一邊提醒自己：“要注意驗證x的取值范圍，防止漏解或多解?！?/p>

一、陳述性知識缺陷對解題能力的影響

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，陳述性知識可表現(xiàn)為多種形式，如題中所給出的條件、要求，解題所涉及的概念、公式原理等。解題過程中缺少忽視相關(guān)的陳述性知識，會導(dǎo)致解題錯誤。

例如2011年中考試題29題：已知二次函數(shù)y=a（x2-6x+8）（a>0）的圖像與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C.點D是拋物線的頂點。

問題：如圖（1），連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應(yīng)點O'恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實數(shù)a的值。學(xué)生在處理本題時，其錯誤原因主要有以下幾種。

（1）概念、公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識掌握不扎實。有些同學(xué)對二次函數(shù)y=a（x2-6x+8）（a>0）的解析式不會整理變形， 即對二次函數(shù)的幾種表達式不會靈活運用。如果將原二次函數(shù)通過分解因式表示為y=a（x-2）（x-4），就能馬上知道其圖像與x軸的交點坐標為A（2，0），B（4，0）。這種錯題的原因是學(xué)生大腦中缺少相對應(yīng)的因式分解知識及相應(yīng)的二次函數(shù)一般式、頂點式、兩點式之間的聯(lián)系的知識。當然，本題也可直接令y=0，通過二次函數(shù)結(jié)合二次方程來處理。另外，當題中二次函數(shù)與坐標軸的交點及二次函數(shù)的對稱軸都已經(jīng)能表示出來時，有的同學(xué)不能結(jié)合圖形，很快地發(fā)現(xiàn)圖中有300角的直角三角形，從而加大了題目的運算量，造成了計算上的錯誤及時間上的浪費。這說明學(xué)生對300角的直角三角形的性質(zhì)不夠熟練。一些公式、概念、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的扎實掌握至關(guān)重要，只有理解后熟記，才能又快又準確地解題。

（2）對題中所給的條件不理解或?qū)忣}重視不夠。有些學(xué)生對題目中隱含的條件（如“a>0”）不加以挖掘，就談不上是否吃透了題目的條件與要求；對題中“△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應(yīng)點O'恰好落在該拋物線的對稱軸上”理解有些困難。對于學(xué)生而言，要求其掌握的是幾何部分中基本圖形的基本性質(zhì)及其相互關(guān)系，通過考察圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱及翻折的基本性質(zhì)，進一步豐富對空間圖形的認識和感受，欣賞并體驗圖形的變換在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。學(xué)生若聯(lián)想一下所做過的這類翻折題型的通常用的解決方式，如翻折前與翻折后的“變與不變”， 翻折中重視兩個三角形全等條件的探索，就不難推測此處問法的含義。由此可以推測，學(xué)生對這類翻折題型的理解不夠透徹，翻折的條件不會加以轉(zhuǎn)化運用；對通過運用坐標系確定物體位置的方法、發(fā)展空間觀念掌握得不扎實。

上述的幾種錯誤，無論是對題中所給條件理解有困難，還是對相關(guān)公式不能靈活運用，又或是對性質(zhì)、定理理解不透徹，歸根結(jié)底都屬于知識結(jié)構(gòu)有缺陷，即陳述性知識有缺陷。在教學(xué)中，這種陳述性知識的缺陷往往被忽視。部分教師只看到學(xué)生對概念、公式、定理等背誦得熟練，就認為他們已經(jīng)很好地掌握了這些知識，事實并非如此。若要判定學(xué)生是否真正掌握了這些基礎(chǔ)知識，關(guān)鍵是看他們對這些概念、公式等能否靈活運用，能否有邏輯地把解題所需要的條件組織起來。教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生把知識和運用有機地結(jié)合起來。

二、程序性和策略性知識缺陷對解題能力的影響

學(xué)生的大腦中儲存了與解題相關(guān)的公式、性質(zhì)、定理等陳述性知識，卻仍不會解題或做錯題，主要是因為學(xué)生大腦中的陳述性知識多，而程序性和策略性知識比較少。策略性知識是特殊形式的程序性知識，有時區(qū)別并不明顯，可以綜合在一起理解，統(tǒng)稱為答題方法或策略。程序性知識是關(guān)于“怎么辦”的知識，經(jīng)常以“如果……那么……”的形式出現(xiàn)。下面，是筆者平時給同學(xué)歸納的一些解題策略。

在因式分解時，如果是兩項式，那么可以考慮用平方差來處理；如果是三項式，那么可以考慮用完全平方公式或十字相乘來處理；如果是一些有特點的代數(shù)式，那么在對其化簡變形過程中，可作下列等價轉(zhuǎn)化處理：見到a2（或ab），可轉(zhuǎn)化為面積；見到a3（abc），可轉(zhuǎn)化為體積；見到■，可轉(zhuǎn)化為勾股定理；見到根式■=■或絕對值，可轉(zhuǎn)化為距離等等。

再如下例：小玲觀察圖（3），得出“如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等”這個結(jié)論，你是否認同小玲的觀點？如果認同，則給出證明；如果不認同，則畫出所有可能的情況，猜想相應(yīng)的結(jié)論，并給出證明。

首先，學(xué)生在所給圖形中，直觀上得出的是兩個孤立的角，其并沒有直接聯(lián)系，所以就沒有聯(lián)系到“兩直線平行，同位角相等”這個陳述性知識，就談不上去解決后面的問題。其次，即使有同學(xué)通過添加輔助線，通過延長其中一個角的邊，從而和另一個角的邊相交而形成了同位角，解決了這兩個角相等的問題，也只能說明該同學(xué)的大腦中具備相應(yīng)的陳述性知識，但沒有注意到本題的多解性，沒有能夠通過自己畫出圖形去分析其他的情況，忽略了這兩個角也可以是互補的關(guān)系。說明學(xué)生在運算中沒能運用相關(guān)策略指導(dǎo)、監(jiān)督自己的分析及運算過程，缺少理性思考，即缺少必要的程述性和策略性知識，自然容易出現(xiàn)錯誤。

假如在學(xué)生做這種類型題前，聯(lián)想到教師給學(xué)生歸納出的答題策略：“在判斷角是否相等的關(guān)系時能不能利用到兩直線平行的性質(zhì)，在角相等的情況下由于鄰補角的關(guān)系，會不會出現(xiàn)多解性”，這樣就基本不會出現(xiàn)錯誤了。所以，學(xué)生大腦中只具備陳述性知識是不夠的，還要積累并儲存相關(guān)的程序性和策略性知識，可以指導(dǎo)、監(jiān)督內(nèi)部的思維活動，遇到不同的型題都可以理性地去分析、運算。

學(xué)生大腦中的知識結(jié)構(gòu)無論缺少哪一種知識，都會影響他們的解題效果和解題能力，而很多學(xué)生和家長以及個別教師由于看不到學(xué)生大腦中的知識結(jié)構(gòu)缺陷，就只能把這種“會解題卻解錯題”的矛盾現(xiàn)象解釋為“粗心”。我們應(yīng)該透過現(xiàn)象去看本質(zhì)，從學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)入手進行分析，診斷學(xué)生的大腦中缺少哪一類知識，不同類型的知識缺陷，影響著學(xué)生不同的解題能力。教師傳授給學(xué)生知識的同時，應(yīng)注意知識的分類以及各類知識在學(xué)生大腦中的有序排列，學(xué)生不僅要掌握必要的基礎(chǔ)知識，還要掌握與解題相關(guān)的技巧、方法。只有構(gòu)建合理、完善的知識結(jié)構(gòu)，才能提高學(xué)生的解題能力，從根本上解決學(xué)生的“粗心”現(xiàn)象。