幾何證明中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)寫(xiě)作能力的理論闡釋

有過(guò)幾何學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的教師和學(xué)生都有這么一種感覺(jué)，即幾何證明既像是數(shù)學(xué)的事，又像是語(yǔ)文的事。說(shuō)是數(shù)學(xué)的事固然很好理解，說(shuō)是語(yǔ)文的事是因?yàn)樵趲缀巫C明的過(guò)程中，離不開(kāi)用邏輯嚴(yán)密的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)證明過(guò)程。在實(shí)際教學(xué)中，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)即使數(shù)學(xué)思路再好，但由于語(yǔ)言表達(dá)能力不強(qiáng)、表達(dá)不到位，最終出現(xiàn)詞不達(dá)意的情形。面對(duì)這樣的情況，催生了我們另外的一個(gè)想法：在幾何證明的教學(xué)中，不能只教幾何概念與規(guī)律，也要大力滲透學(xué)生表達(dá)能力的培養(yǎng)。由于這種表達(dá)最后是通過(guò)文字、符號(hào)寫(xiě)出來(lái)的，因此也可以說(shuō)這種表達(dá)能力就是數(shù)學(xué)寫(xiě)作能力。

談到數(shù)學(xué)教學(xué)中的寫(xiě)作，筆者想到著名哲學(xué)大師培根的一句話，即“寫(xiě)作使人精確”，意思是說(shuō)在寫(xiě)作的過(guò)程中，由于寫(xiě)作者要將自己的思維、思路用文字符號(hào)表達(dá)出來(lái)，因此寫(xiě)作的過(guò)程，就是復(fù)雜的思維加工過(guò)程，而在這個(gè)過(guò)程中，人的思維會(huì)由模糊走向清晰，因而就有了寫(xiě)作使人精確的說(shuō)法。幾何證明講究的是用最簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言去完成一個(gè)邏輯嚴(yán)密、絲絲入扣的證明過(guò)程，寫(xiě)作是基本功，精確是最終目的。因此，從這個(gè)角度來(lái)看，在幾何證明的教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)寫(xiě)作能力的培養(yǎng)也是符合幾何教學(xué)的規(guī)律的。

有鑒于此，筆者在實(shí)際教學(xué)中給予幾何證明以更多的注意，在實(shí)踐的基礎(chǔ)上形成了一些理論思考。在此，將自己的理論思考用文字表達(dá)出來(lái)，以期與同行們分享。

一、建立幾何圖景，數(shù)學(xué)寫(xiě)作能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)

幾何證明的重要特點(diǎn)在于學(xué)生頭腦中要有一個(gè)清晰的幾何圖景——當(dāng)然，這個(gè)清晰是需要一個(gè)過(guò)程的，我們所說(shuō)的清晰的幾何圖景是指思維加工的最終結(jié)果。而這個(gè)幾何圖景由模糊變清晰的過(guò)程，往往就顯示了學(xué)生在面對(duì)幾何證明題時(shí)的思維加工過(guò)程。

幾何證明最基本的模式就是給出已知條件，然后讓學(xué)生去求解或求證。從學(xué)習(xí)心理學(xué)的角度來(lái)看，這實(shí)際上是給了學(xué)生問(wèn)題解決的起點(diǎn)，要學(xué)生通過(guò)自己的思維加工，獲得由已知到求解與求證之間的證明思路。思路往往是思維的體現(xiàn)，但作為解題尤其是考試，最終是要通過(guò)文字將思維過(guò)程表達(dá)出來(lái)的，根據(jù)學(xué)習(xí)心理學(xué)的研究，這里存在一個(gè)思維向文字轉(zhuǎn)換，而從經(jīng)驗(yàn)的角度來(lái)看，這正是寫(xiě)作的過(guò)程。幾何圖景在這一過(guò)程中所起的是一個(gè)中轉(zhuǎn)站的作用，即學(xué)生在思維加工的過(guò)程中，會(huì)自然產(chǎn)生一個(gè)幾何圖景，這個(gè)圖景將成為學(xué)生寫(xiě)出證明過(guò)程的有效載體。

以證明三角形全等為例。證明三角形全等有多種方法，其中，“三條對(duì)應(yīng)邊相等的三角形是全等三角形”（SSS）是比較基本的。當(dāng)學(xué)生在運(yùn)用這一規(guī)律進(jìn)行證明時(shí)，學(xué)生頭腦中的幾何圖景是什么呢？根據(jù)我們的調(diào)查以及相關(guān)的理論學(xué)習(xí)，學(xué)生頭腦中此時(shí)的幾何圖景就是兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊相應(yīng)的三角形，而且它們能夠完全重合（即全等）。有了這一幾何圖景之后，學(xué)生再去進(jìn)行寫(xiě)作就方便多了。而如果學(xué)生頭腦中沒(méi)有幾何圖景或者幾何圖景不清晰，他們的證明過(guò)程就會(huì)變得很困難，自然筆下也就無(wú)物了。

二、圖形文字共析，數(shù)學(xué)寫(xiě)作能力培養(yǎng)的途徑

幾何證明中的寫(xiě)作，伴隨的是一個(gè)文字與圖形的一一對(duì)應(yīng)。在日常的幾何證明教學(xué)中，我們讓學(xué)生做得比較多的是努力寫(xiě)出證明過(guò)程，而在這一現(xiàn)象背后的學(xué)生思維是什么呢？正是學(xué)生對(duì)照著幾何圖形，利用所學(xué)的幾何規(guī)律進(jìn)行邏輯推理，將自己的思路變成文字的過(guò)程。顯然，幾何證明的主要目標(biāo)有兩個(gè)：一是圖形，二是文字。因此，我們可以通過(guò)圖文共析，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的寫(xiě)作能力。

如一道普通的幾何證明題：在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)；連接DP，并過(guò)B點(diǎn)作BE⊥DP的延長(zhǎng)線于E，連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE交DP于點(diǎn)F，連接BF。求證：PF=EP+EB。

由于篇幅所限，筆者這里就不呈現(xiàn)具體的證明過(guò)程了。對(duì)這一題能夠有效證明的師生會(huì)有一種共同的感覺(jué)，即在此題的證明過(guò)程中，基于圖形進(jìn)行分析，明確直角三角形AFD與AEB全等，并利用其中的其他等量關(guān)系，即可完成證明。對(duì)于相當(dāng)一部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，要將這些關(guān)系用精確的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，且不出現(xiàn)歧義、空缺，有時(shí)并不是一件輕而易舉的事情。筆者的經(jīng)驗(yàn)是，對(duì)于初學(xué)者，可以引導(dǎo)他們先在草稿紙上完成思路（有興趣的老師可以結(jié)合思維導(dǎo)圖來(lái)完成），其中要特別強(qiáng)調(diào)每一個(gè)步驟與上一步驟是否關(guān)系嚴(yán)密，有沒(méi)有漏寫(xiě)的，有沒(méi)有錯(cuò)寫(xiě)的。必要的時(shí)候，還可以提供部分寫(xiě)作不嚴(yán)密的學(xué)生的寫(xiě)作過(guò)程作為范例進(jìn)行剖析。最簡(jiǎn)單也是最重要的，就是幾何證明中的“因?yàn)椤浴保ó?dāng)然實(shí)際過(guò)程中用的是符號(hào)），“因?yàn)椤焙竺娓男l件，這些“因?yàn)椤睘槭裁磿?huì)成立，“所以”后面寫(xiě)哪些結(jié)果，都是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，需要在培養(yǎng)過(guò)程中下大力氣。這樣通過(guò)正面引導(dǎo)和錯(cuò)例剖析，可以讓學(xué)生形成一個(gè)好的推理意識(shí)，從而使得基于幾何證明的數(shù)學(xué)寫(xiě)作能夠形成較強(qiáng)的能力。

三、教師點(diǎn)撥提升，數(shù)學(xué)寫(xiě)作能力提升的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)寫(xiě)作能力的形成與一般能力不同，考慮到其在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的時(shí)效性、重要性，我們認(rèn)為這種能力的培養(yǎng)離不開(kāi)教師的點(diǎn)撥提升，也就是說(shuō)不能完全依靠學(xué)生的自悟來(lái)自然形成。而事實(shí)上，我們?cè)跀?shù)學(xué)課堂上是很少進(jìn)行有意識(shí)的寫(xiě)作能力的培養(yǎng)的，因此學(xué)生除了在語(yǔ)文課堂上能夠得到寫(xiě)作訓(xùn)練之外，針對(duì)數(shù)學(xué)特點(diǎn)的寫(xiě)作培訓(xùn)相對(duì)就顯得比較少。而根據(jù)我們的觀察研究，很多學(xué)生能夠?qū)W好包括語(yǔ)文在內(nèi)的所謂文科，而對(duì)數(shù)學(xué)在內(nèi)的理科學(xué)習(xí)則會(huì)存在困難。其中的重要原因就是沒(méi)有結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行數(shù)學(xué)寫(xiě)作能力的培養(yǎng)。

也許有人認(rèn)為數(shù)學(xué)與寫(xiě)作沒(méi)有關(guān)系，但在我們看來(lái)這卻犯了學(xué)科至上主義的錯(cuò)誤。作為學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科存在許多共通的地方，尤其是寫(xiě)作本身就是思維的產(chǎn)物，而數(shù)學(xué)學(xué)科則是思維的體操，因此理論上說(shuō)數(shù)學(xué)與寫(xiě)作有著密切的關(guān)系。而在我們的實(shí)踐中，當(dāng)我們通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)寫(xiě)作能力，以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，效果也是比較明顯的。

當(dāng)然，這里要特別注意的是，數(shù)學(xué)寫(xiě)作不能異化為寫(xiě)作任務(wù)的完成，否則對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)就是一個(gè)災(zāi)難。也就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)寫(xiě)作能力培養(yǎng)的過(guò)程中，興趣仍然是第一位的，無(wú)論多好的培養(yǎng)目的，離開(kāi)了興趣幾乎將一事無(wú)成。我們的經(jīng)驗(yàn)是，針對(duì)學(xué)生在包括幾何證明在內(nèi)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中容易出現(xiàn)的問(wèn)題，分析他們思維上存在的困難并通過(guò)多種方式幫他們克服這種困難。當(dāng)他們?cè)谒季S上覺(jué)得順了的時(shí)候，就要通過(guò)寫(xiě)作來(lái)體現(xiàn)這種思維的結(jié)果。事實(shí)證明，這種由內(nèi)而外、由隱而顯的方式，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握的清晰化，可以促進(jìn)學(xué)生的緘默知識(shí)變成顯性知識(shí)，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，價(jià)值是非常大的。

（江蘇省如皋市磨頭鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)）