談幾何圖形問題中化歸思想的應(yīng)用

摘 要：數(shù)學(xué)有效和高效課堂的模式構(gòu)建是一個(gè)動態(tài)的生成過程，再復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，題目雖然千變?nèi)f化，但萬變不離其宗。因此，只要將復(fù)雜圖形抽象成基本圖形，抓牢變化題目中不變的因素，再難的題目也能迎刃而解。

關(guān)鍵詞：幾何圖形；化歸思想；應(yīng)用

有效課堂和高效課堂已成為全社會普遍關(guān)注的熱門話題，既要減負(fù)，又要增效，看似矛盾的一組關(guān)系，正是我們所期盼和追求的永恒的課題。在新課程改革特別是在當(dāng)前減負(fù)增效的背景下，構(gòu)建有效和高效課堂，越發(fā)具有特殊的意義。面對日益復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目，我們必須要有一套行之有效的方法去解決。也只有這樣，才能真正實(shí)現(xiàn)輕負(fù)擔(dān)、高質(zhì)量。其實(shí)，再復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，題目雖然千變?nèi)f化，但萬變不離其宗。因此，只要將復(fù)雜圖形抽象成基本圖形，抓牢變化題目中不變的因素，再難的題目也能迎刃而解。

關(guān)于幾何圖形的分類，根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)，從不同的角度，可以有很多種分法。其中有一種探究性的分法體現(xiàn)了認(rèn)識問題的兩個(gè)基本方向，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維。這種分法是：一是設(shè)置變化性的圖形背景，探究由變化所體現(xiàn)的“圖形不變性”；二是設(shè)置有特殊條件或特殊結(jié)論的圖形背景，研究由此產(chǎn)生的“特定性質(zhì)”。第一種分法是由特殊向一般擴(kuò)充，第二種分法是向相對更為特殊的方向深入。下面主要探究圖形變化中“不變性”的兩種思考方向。

一、化歸到原來基本圖形的“變換性質(zhì)”

如圖1，已知△ABO中AO=BO=4，∠AOB=90°，把一塊含300角的三角板DCP直角頂點(diǎn)P放在AB中點(diǎn)上（直角三角板短直角邊為DP，長直角邊為PC），將直角三角板DCP繞P點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度。

①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a滿足條件0°<α<90°時(shí)，若DP交AO于E，PC交BO于F，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，PE與BF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由。 ②如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α滿足條件90°<α<180°時(shí)，延長AO交PD或PD的延長線于E。延長O交PC于F，則PE與PF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由。③如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α滿足180°<α<27°時(shí)，延長CP交OB的延長線于E，延長DP交OA于F，則PE與PF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出結(jié)論，不用證明。④如圖4，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α滿足條件0°<α<90°時(shí)，若DP交AO于E，PC交BO于F，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，兩三角板重疊部分為四邊形PEOF，則重疊部分的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。

我們對上面的變化要進(jìn)行認(rèn)真地觀察與思考。經(jīng)過仔細(xì)審題，其實(shí)以上各題都可以歸結(jié)為連接0P后證明△AEP≌△CFP，所有的結(jié)論就呼之即出了。即使題目變得再復(fù)雜，只要牢牢把握住基本圖形，一切就會迎刃而解。①②③小題連接OP后不難證明△AEP≌△CFP，所以不管圖形怎么變始終有PE=PF；④小題中連接OP后還是△AEP≌△CFP，所以四邊形EOFP的面積始終為△AOP的面積，即為△AOB面積的一半，因此始終是個(gè)定值。

二、考查圖形在變化中體現(xiàn)的統(tǒng)—性和差異性

如圖A，已知矩形ABCD，AB=■，BC=3，在BC上取兩點(diǎn)E、F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點(diǎn)P在AD上，PE、PF分別交AC于點(diǎn)G、H。①求△PEF的邊長；②若等邊三角形△PEF的EF在線段BC上移動，PH與BE有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的猜想。

該題主要是研究等邊△PEF在矩形ABCD內(nèi)平移的問題。第一步我們要把矩形ABCD的情況研究透徹。通過已知條件知道tan=■，即∠ACB=∠CAD=300；第二步我們要把等邊△PEF在矩形ABCD內(nèi)平移的各類形態(tài)集中在圖B中進(jìn)行觀察和比較。結(jié)果：①在特殊情況（E重合于B時(shí)），由Rt△AB（E'）P'可計(jì)算出P'E'=■=2，即△PEF的邊長為2。 ②比較△PEF和△P'E'P'兩種形態(tài)對應(yīng)的圖形情況，有PH=PA=PP'+ P'A=BE+1，再比較△P''E'' F''和△P'E'P'兩種形態(tài)所對應(yīng)的圖形情況，有P''F''（H''）=P P''P'+ P'A=B E''+1。這就自然使我們形成了對PH和BE數(shù)量關(guān)系的猜想，至于如何計(jì)算和證明，我們還要根據(jù)題目提供的條件來進(jìn)行。從這個(gè)例子中，我們可以發(fā)現(xiàn)相當(dāng)多的由圖形變換引出的不變性或變化規(guī)律的問題，思考和分析這類問題應(yīng)以“變換”為線索，探究它們各類形態(tài)間的統(tǒng)一性和差異性，以及它們在變換過程中“變”與“不變”之間的內(nèi)在關(guān)系。

上面是探究圖形變化引出的不變性的思考特征，下面再簡略提一下由情景擴(kuò)充引出的不變性。由情景擴(kuò)充引出的不變性也有很多種類，其中從特殊到一般是知識發(fā)展的一條重要途徑。在從特殊到一般的過程中，我們要研究哪些性質(zhì)發(fā)生了變化，哪些性質(zhì)沒有發(fā)生變化，發(fā)生變化的是按照怎樣的特點(diǎn)進(jìn)行的。思考、分析、解決這類問題時(shí)應(yīng)該注意如下兩點(diǎn)：一是要善于構(gòu)造“特殊”和運(yùn)用“特殊”；二是要善于在不同條件下把握知識與方法的共同點(diǎn)。

解題不是目的，重在過程，通過解題過程培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、探究能力和創(chuàng)新能力，從而掌握數(shù)學(xué)思想和方法?；瘹w思想只是眾多數(shù)學(xué)思想中的一種。題海無涯，我們需要掌握一些解題策略——數(shù)學(xué)思想和方法，讓它們指引我們的學(xué)習(xí)之舟在知識的海洋中有目的地快速航行。

參考文獻(xiàn)：

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