利用建模思想解決一次函數(shù)應(yīng)用題問題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力；培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力；促進(jìn)學(xué)生在情感、態(tài)度與價(jià)值觀等方面的發(fā)展。義務(wù)教育的數(shù)學(xué)課程能為學(xué)生未來生活、工作和學(xué)習(xí)奠定重要的基礎(chǔ)?！备鶕?jù)《課標(biāo)》編寫的蘇科版初中數(shù)學(xué)教材很好地體現(xiàn)了這一要求，近幾年各省市的中考數(shù)學(xué)試題也體現(xiàn)了這一要求。其中一次函數(shù)應(yīng)用題，因其綜合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等內(nèi)容，能實(shí)現(xiàn)數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合，能體現(xiàn)分類討論、對(duì)應(yīng)、極端值等數(shù)學(xué)思想與方法，并且容易與現(xiàn)實(shí)生活中的重大事件聯(lián)系起來以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，所以近年來一直是中考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。一次函數(shù)應(yīng)用題試題的命題形式多樣，從近幾年的中考題來看，可以大致歸為以下三類：分段函數(shù)問題、兩種方案做比較、調(diào)配問題。

要想讓一次函數(shù)應(yīng)用題得以解決，必須培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的能力，即數(shù)學(xué)建模能力，能夠由一個(gè)問題解決一類問題，舉一反三，觸類旁通。教師可以選擇典型題目，開展專題講座，讓學(xué)生進(jìn)行建模訓(xùn)練，提高學(xué)生的建模水平。下面，筆者以2012年的中考題為例分別闡述。

一、分段函數(shù)問題

例1：（2012·廣州）：某城市居民用水實(shí)行階梯收費(fèi)，每戶每月用水量如果未超過20噸，按每噸1.9元收費(fèi)。如果超過20噸，未超過的部分按每噸1.9元收費(fèi)，超過的部分按每噸2.8元收費(fèi)。設(shè)某戶每月用水量為x噸，應(yīng)收水費(fèi)為y元。①分別寫出每月用水量未超過20噸和超過20噸，y與x間的函數(shù)關(guān)系式。②若該城市某戶5月份水費(fèi)平均為每噸2.2元，求該戶5月份用水多少噸？

這是一次函數(shù)應(yīng)用題的基本類型，函數(shù)關(guān)系式應(yīng)根據(jù)自變量的取值范圍分兩種情況來分析、討論。未超過20噸時(shí)，水費(fèi)y=1.9×相應(yīng)噸數(shù)；超過20噸時(shí)，水費(fèi)y=1.9×20+超過20噸的噸數(shù)×2.8；該戶的水費(fèi)超過了20噸，關(guān)系式為：1.9×20+超過20噸的噸數(shù)×2.8=用水噸數(shù)×2.2.

解：①當(dāng)x≤20時(shí)，y與x的函數(shù)表達(dá)式是y=1.9x；當(dāng)x>20時(shí)，y與x的函數(shù)表達(dá)式是y=1.9×20+（x-20）×2.8=2.8x-18；②5月份水費(fèi)平均為每噸2.2元，用水量如果未超過20噸，按每噸1.9元收費(fèi)；用水量超過了20噸，則2.8x-18=2.2x，解得x=30.答：該戶5月份用水30噸。

解分段價(jià)格問題建模策略：①分段函數(shù)的特征是：不同的自變量區(qū)間所對(duì)應(yīng)的函數(shù)式不同，其函數(shù)圖像是一個(gè)折線。解決分段函數(shù)問題，關(guān)鍵是要與所在的區(qū)間相對(duì)應(yīng)。②分段函數(shù)中“折點(diǎn)”既是兩段函數(shù)的分界點(diǎn)，同時(shí)又分別在兩段函數(shù)上。求解析式要用好“折點(diǎn)”坐標(biāo)，同時(shí)在分析圖像時(shí)還要注意“折點(diǎn)”表示的實(shí)際意義，“折點(diǎn)”的縱坐標(biāo)通常是不同區(qū)間的最值。

二、兩種方案做比較

例2：（2012·連云港）我市某醫(yī)藥公司要把藥品運(yùn)往外地，現(xiàn)有兩種運(yùn)輸方式可供選擇。方式一：使用快遞公司的郵車運(yùn)輸，裝卸收費(fèi)400元，另外每公里再加收4元；方式二：使用鐵路運(yùn)輸公司的火車運(yùn)輸，裝卸收費(fèi)820元，另外每公里再加收2元。①請(qǐng)分別寫出郵車、火車運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用y1（元）、y2（元）與運(yùn)輸路程x（公里）之間的函數(shù)關(guān)系式。②你認(rèn)為選用哪種運(yùn)輸方式較好？為什么？

分析：①根據(jù)方式一、二的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)即可得出y1（元）、y2（元）與運(yùn)輸路程x（公里）之間的函數(shù)關(guān)系式。②比較兩種方式的收費(fèi)多少與x的變化之間的關(guān)系，從而根據(jù)x的不同選擇合適的運(yùn)輸方式。

解：①由題意得：y1=4x+400；y2=2x+820；②令4x+400=2x+820，

解得x=2l0。所以，當(dāng)運(yùn)輸路程小于210千米時(shí)y1< y2，選擇郵車運(yùn)輸較好；當(dāng)運(yùn)輸路程小于210千米時(shí)，y1=y2，兩種方式一樣；當(dāng)運(yùn)輸路程大于210千米時(shí)，y1>y2，選擇火車運(yùn)輸較好。

三、調(diào)配問題

例3：（2012·德州）現(xiàn)從A、B向甲、乙兩地運(yùn)送蔬菜，A、B兩個(gè)蔬菜市場(chǎng)各有蔬菜14噸，其中甲地需要蔬菜15噸，乙地需要蔬菜13噸，從A到甲地運(yùn)費(fèi)50元/噸，到乙地30元/噸；從B地到甲運(yùn)費(fèi)60元/噸，到乙地45元/噸。

①設(shè)A地到甲地運(yùn)送蔬菜x噸，請(qǐng)完成下面數(shù)據(jù)（單位：噸）：

運(yùn)往甲地 運(yùn)往乙地

A x ——

B —— ——

②怎樣調(diào)運(yùn)蔬菜才能使運(yùn)費(fèi)最少？

分析：①根據(jù)題意，A、B兩個(gè)蔬菜市場(chǎng)各有蔬菜14噸，其中甲地需要蔬菜15噸，乙地需要蔬菜13噸，可得解。②根據(jù)從A到甲地運(yùn)費(fèi)50元/噸，到乙地30元/噸；從B地到甲運(yùn)費(fèi)60元/噸，到乙地45元/噸，可列出總費(fèi)用，從而可得出答案。③首先求出x的取值范圍，再利用與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求出函數(shù)最值即可。

解：①如下所示（單位：噸）：

運(yùn)往甲地 運(yùn)往乙地

A x 14-x

B 5-x x-1

W=50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）。整理得：W=5x+1275.②∵A、B到兩地運(yùn)送的蔬菜為非負(fù)數(shù)，∴解不等式組，得：1≤x≤14，在W=5x+1275中，W隨x增大而增大，∴當(dāng)x最小為l時(shí)，W有最小值1280元。

求解物資調(diào)運(yùn)問題的建模策略：①用表格設(shè)置未知數(shù)，同時(shí)在表格中標(biāo)記相關(guān)數(shù)量；②根據(jù)表格中量的關(guān)系寫函數(shù)式；③依題意正確確定自變量的取值范圍（一般通過不等式、不等式組確定）；④根據(jù)函數(shù)式及自變量的取值范圍，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，按題設(shè)要求確定調(diào)運(yùn)方案。

以上所舉三例材料內(nèi)容都與我們的生活密切相關(guān)，很好地體現(xiàn)了“生活數(shù)學(xué)”的思想。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為了解決現(xiàn)實(shí)生活中的一些實(shí)際問題，而不是為了數(shù)學(xué)而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。解決數(shù)學(xué)問題是為了訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，尤其是創(chuàng)新能力?！墩n標(biāo)》指出：“作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用?！绷硗?，通過數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想和方法，這是更高層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。正如《課標(biāo)》所說：“課程內(nèi)容要反映社會(huì)的需要、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法?！倍鴶?shù)學(xué)建模思想滲透于教材中，體現(xiàn)于試題中?！皵?shù)學(xué)建模”思想能透過豐富的感性材料揭示問題的本質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，激活他們的創(chuàng)造性思維。