試題探究一道2012年高考試題的推廣探究

摘 要：本文給出了2012年一道高考試題的多種解法，并對其三次推廣探究，證法美、結(jié)論妙. 同時(shí)，發(fā)現(xiàn)該試題是一般規(guī)律特殊化，看似平淡，實(shí)則絢麗.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；高考試題；多角度推廣；解法多樣；特殊化

2012年安徽高考數(shù)學(xué)試卷試題內(nèi)容貼近教材，貼近教學(xué)，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)有良好的導(dǎo)向作用. 筆者認(rèn)為特別值得一提的是理科第20題，給人的感覺是語言樸實(shí)，思路廣闊，解法精美，意境深遠(yuǎn).

點(diǎn)評：本題解法簡潔精美，回避了往年解析幾何題步驟冗長、計(jì)算煩瑣的特點(diǎn)，體現(xiàn)了“重思維、輕計(jì)算”的命題原則，2012年安徽卷的解析幾何題確實(shí)是一大突破. 這幾種解法都體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的結(jié)合，是以能力立意的一道好題.尤其是方法1，運(yùn)用橢圓的方程構(gòu)造函數(shù)，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解答，這種解法較為新穎，同時(shí)體現(xiàn)了新課程中導(dǎo)數(shù)的工具作用.

本題是個(gè)橢圓問題，可以推廣到雙曲線中，仍有類似結(jié)論：

統(tǒng)一的結(jié)論：若圓錐曲線的切線（設(shè)切點(diǎn)為P）與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，則以PQ為直徑的圓恒過相應(yīng)焦點(diǎn).

通過本文對該試題三次推廣及解法探究，我們不能不為命題者的匠心所折服，本題看似平淡，實(shí)則絢麗，解法精美，意境深遠(yuǎn). 試題命制特征是一般規(guī)律特殊化（置點(diǎn)P于特殊位置），從而使得試題解法多樣，有利于選拔出不同層次的考生. 但要想完整解答本題，必須對解析幾何的基本思想和方法有深刻的認(rèn)識，具備一定的計(jì)算能力和邏輯思維能力.