談特殊化思想在職高數(shù)學教學中的應(yīng)用

摘 要：數(shù)學思想方法以數(shù)學知識為載體，蘊涵于表層知識之中，是數(shù)學的精髓，它支撐和統(tǒng)率著表層知識，是學生形成良好認知結(jié)構(gòu)的紐帶，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)學生良好的數(shù)學觀念和創(chuàng)新思維的載體. 本文從四個方面選取利用特殊化的思想方法來談?wù)勅绾翁岣呗毟邤?shù)學教學的實效性.

關(guān)鍵詞：特殊化；特殊化思想；數(shù)學思想方法

職業(yè)學校的學生是中考的失落群體，大多數(shù)學生對課本上的內(nèi)容感到枯燥、厭煩，而在多門文化課中，數(shù)學又是他們最厭學的學科之一. 面對數(shù)學基礎(chǔ)差而對數(shù)學又無興趣可言的學生，如何給他們上課，提高他們對學習數(shù)學的興趣成了我們職高數(shù)學教師每天都思考的一個基本問題. 通過多年的教學實踐，筆者認為，職高數(shù)學教師既要不斷地給學生補基礎(chǔ)、加強基本功的訓練，又應(yīng)該傳授他們練內(nèi)功心得的方法，特別在數(shù)學思想方法教學上，平時可以不斷地加以引導、滲透，這樣漸漸地方可內(nèi)化為每個學生的自覺行為，起到事半功倍的效果. 基于職高學生的特點，筆者選取了如何利用特殊化這一思想方法來提高職高數(shù)學教學的實效性，從而更好地提高學生學習數(shù)學的興趣與積極性.

德國數(shù)學家D·希爾伯特曾說過：“在討論數(shù)學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用，這種方法是克服數(shù)學困難最重要的杠桿之一.” 所謂特殊化思想方法，就是在解決一些較為抽象復雜的數(shù)學問題時，先考慮簡單情形，或者考慮特殊對象、特殊位置，或者考慮極端情況，將抽象問題放到簡單背景下去考慮，從對特殊對象的研究中找出一般規(guī)律，最終完成從具體到抽象、從局部到整體的思維過程的一種數(shù)學思想方法. 因此，特殊化思想是一種常用的解題思想和探索解題途徑的重要方法或手段.

美籍匈牙利數(shù)學家G·波利亞指出：注意對特殊情況的觀察，能夠?qū)е乱话阈缘臄?shù)學結(jié)果，也可以啟發(fā)出一般性的證明方法. 因此，特殊化是打開思維的一個切入點，也是追尋數(shù)學問題的一個突破口，更是解決問題的一個腳手架.

案例1 《分數(shù)指數(shù)冪》教學時，如何引出分數(shù)指數(shù)冪a=，筆者進行了這樣的嘗試：為了研究這個較為一般的問題，先從幾個特殊的分數(shù)指數(shù)冪開始，例如=，，等，然后筆者又引導學生先取最簡單、最特殊的，著手，而a=在初中已學過，這是學生本節(jié)課認知的基礎(chǔ)，也是認識這個分數(shù)指數(shù)冪與根式轉(zhuǎn)化模型的藍本. 這樣上課時學生頓時就感覺找到了思維的著落點、知識的聯(lián)系點，自然地打開了思維的窗戶，為本節(jié)課的順利開展創(chuàng)造了有利的條件.

案例2 《等差數(shù)列的前n項和》情景創(chuàng)設(shè)教學時，筆者先拋出了一個問題：如何求1+2+3+…+n？伊始，學生一頭霧水. 怎么辦？是教師強行拉著學生跟著教師的感覺走，還是學生自主地探究這個問題呢？答案是顯而易見的，讓學生經(jīng)歷、感受知識的發(fā)生、發(fā)展的歷程比告訴他們答案要重要得多. 因此，在教學設(shè)計時筆者作了如下的預設(shè)：這個問題當然具有一定的挑戰(zhàn)性，但這不等于我們啥也不能作為. 大家還能夠想起在小學課文中有一個高斯神算的故事嗎？那是一個怎樣的算式呢？小高斯是怎么快速算出來的？到這里學生自然會講出1+2+3+…+100是多少，其實這里面就蘊藏著一個特殊化的思想方法，1加到n不會，我們不妨先取幾個特殊的n試試. 但如果到這里就轉(zhuǎn)入到公式的推導，筆者認為學生對公式中所蘊涵的“算理”的理解還是半生半熟，不夠到位的！于是，筆者又進一步引導學生拋出一個問題：取n=100，高斯剛好把它們成雙配完就OK了，但如果取出的n不能成雙呢？怎么辦？我認為高斯當時也未必會，大家不妨試試怎么解決，看看是否明白什么道理. 通過對成雙能配對完與不能配對完的兩種特殊情況處理后，筆者又逐步地引導學生將這兩個問題統(tǒng)一起來如何解決、如何認識，從而引出了此公式的算理——倒序相加法.

職高學生有一個顯著特點，那就是運算能力非常弱，一碰到計算他們就會錯，不是這里錯一點，就是那里錯一點，面對一些稍為復雜的運算問題更是無能為力. 因此，數(shù)學教師就面臨著如何減輕學生在運算方面所帶來的對數(shù)學學習的恐懼感，以及如何不斷地提高學生的運算能力，從而增強學生對運算的自信心，乃至對學習數(shù)學的積極性.

案例3 如果函數(shù)f（x）=（m-1）x2+2mx+3是偶函數(shù)，那么實數(shù)m=________.

其實，這個問題是不難的！求實數(shù)m的值，必須要讓學生明確兩點：①需要建立一個關(guān)于m的關(guān)系式（可以是等式，也可以是不等式）；②題目中哪個條件是建立上述所說的關(guān)于m的關(guān)系式. 但是問題卻難在學生對偶函數(shù)本質(zhì)的理解——即f（-x）=f（x）對定義域內(nèi)任意一個x都成立.如果教師強行去解釋，筆者試過，相當一部分學生未必會，更談不上理解了！課堂上，學生永遠是學習的主人，這種所謂“灌輸式”、“填鴨式”的教學在這個問題的解決上肯定是難以奏效的，更何況教師絕對沒權(quán)力剝奪學生課堂學習知識的權(quán)利，相反，我們的教學要盡量面對全體學生（除非學生智力有問題），要讓學生不斷地明白：這個問題、這個知識用這種方法或許我不會，但我會學、會用另一種方法——另一種我能承受得起、理解得了的方法去實現(xiàn)、去解決，從而努力營造出“我能行、我也不錯”這種自信的學習氛圍，讓學生真正學一點“人人有價值的數(shù)學”（職高學生自信心的培養(yǎng)是非常重要的，需要教師平時點點滴滴的培養(yǎng)與呵護，但往往教師的教學行為在自覺不自覺中會對其加以湮滅、打擊、摧殘）. 為此，筆者在課堂上就作了如下嘗試：先讓學生考查定義域，然后結(jié)合偶函數(shù)的定義，引導學生在定義域內(nèi)嘗試取一個特殊的x值，譬如，取x=1，則f（-1）=f（1），即m-1-2m+3=m-1+2m+3，解得m=0. 這樣稍差的學生自然就得出了m的值，找到了解決本問題的捷徑之路. 然后筆者再引導學生對偶函數(shù)定義進行了重新的理解，帶出恒成立問題的一般理解與兩種處理方法，從而讓學生體會到從“難”到“易”，再到“難”轉(zhuǎn)化的心智過程.

職高學生大多都有一個“通病”——丟三落四，很難對問題考慮周全. 因此，在必要的時候，教師可以逐步灌輸一個思想——有特殊情況可以優(yōu)先思考！這樣可以達到解題的補救作用.

高中數(shù)學很多內(nèi)容確實是比較抽象的，如何加強直觀化教學，特殊化不失為一種好辦法、好手段. 因為取特殊對象、特殊位置，或者極端情況等做一下具體實實在在的嘗試，能讓學生有種確切的認證，從而起到簡化復雜問題、降低數(shù)學抽象程度的功效.

在學習指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)時，如何在同一坐標系中對相應(yīng)的圖象所對應(yīng)的底的大小進行比較，這是一個常見的圖象應(yīng)用方面的問題. 但是職高的學生總是不知所云. 通過了解，學生的問題主要在于這類試題不知如何下手，不知如何去破題；同時，他們都有一個同感，就是本題圖象中的底數(shù)a，b，c，d好像不確定，應(yīng)該很多，這樣就更加劇了他們對本題的恐懼感. 基于上述原因，筆者在上課時作了如下的設(shè)計：在學生審題后，筆者發(fā)問：“學習指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)第一課時，我們不是畫過y=2x，y=3x，y=

四個函數(shù)的圖象嗎？現(xiàn)在我們能否以這四個特殊的圖象做一次實驗，大家在同一個坐標系中試試看，從中我們能否明白點道理？” 這樣通過在同一坐標系中作四個具體函數(shù)的圖象，再取x=1，比較四個函數(shù)值，那底數(shù)的大小關(guān)系就不言自明了！

由于職高學生受學習基礎(chǔ)、學習品質(zhì)、學習能力等問題的影響，相當一部分學生對解不等式總是無從下手，甚至對解初中的一元一次不等式也有困難，更何況是解分式不等式. 怎么辦？考慮此題是小題目的特點——“小題小作”. 基于上述想法，筆者引導學生嘗試取特殊值反代檢驗. 譬如，取x=1，則無意義，故選擇支B不對；取x=2，則<0，合題意，故D不對；取x=3，則<0，不合題意，故A不對. 此時，學生都很驚喜！筆者順勢趁熱打鐵，點出了分式不等式的轉(zhuǎn)化原理——實數(shù)符號法則. 在教學中筆者發(fā)現(xiàn)，通過取特殊值法解不等式選擇題的不斷嘗試，學生慢慢地理解了如何取特殊值以及分式不等式的解法原理，甚至利用特殊值來檢驗自己解不等式結(jié)果的正確性. 其實，在不等式這章中還有很多內(nèi)容都可以借助特殊化思想來加強學生學習的自信心，譬如，有關(guān)不等式性質(zhì)問題的小題目. 因此，我們可以教會學生先通過特殊化試驗，做幾次“皮試”，從而找到解決問題的一個好出路！

總之，筆者認為，教給學生數(shù)學學習的方法總比教給學生學習數(shù)學知識重要得多. 我們決不能因為職高學生學習基礎(chǔ)差等先天不足的原因，就不教他們數(shù)學學習的方法；相反，我們更應(yīng)該傳授他們練內(nèi)功心得的方法，寓數(shù)學思想方法于平時的教學之中，讓學生能從數(shù)學的本原接觸數(shù)學、思考數(shù)學、學習數(shù)學，使學生真正形成個性的思維活動，從而全面提高自身的數(shù)學素養(yǎng)，達到“標本兼治”的目的.