淺議高中數學“問題探究”教學的設置方式

摘 要：“提出問題，猜想和假設，引導討論，分析與論證，交流與合作”構成了當今中學數學課堂教學的重要環(huán)節(jié). 課堂教學過程應根據不同課的類型、不同的教學內容、不同的教學環(huán)節(jié)而靈活設置. 本文通過不同課例的分析，從情境性、過程性、方法性、變式性、引申性等方面對“問題探究”教學提出了一些粗淺的認識.

關鍵詞：問題探究；情境性；過程性；方法性；變式性；引申性

《數學課程標準》指出：“高中數學課程應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習的方式.” 這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程. 因而，“問題探究”教學模式成了當今數學課堂改革的主要形式，而“提出問題，猜想和假設，引導討論，分析與論證，交流與合作”則構成了中學數學課堂教學的重要環(huán)節(jié).

所謂的“問題探究”教學模式：應是教師用與教學內容相關的實際問題作為載體，讓學生在教師的組織和指導下有目的地、相對獨立地進行探索研究的一種教學方式. “問題探究”的過程實質是一個發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的過程. 不僅注重學生最后的知識獲得，更關注學生在探究過程中獲得的方法、能力；不僅注重對書本知識的理解，更注重提高學生對信息的提取、收集和處理能力；不僅注重提高運用相關理論觀點的能力，更注重學生的情感、態(tài)度、價值觀和求真務實的科學精神和團隊合作精神. 由此知“問題探究”教學方式是多樣的，應根據不同課的類型、不同的教學內容、不同的教學環(huán)節(jié)而靈活設置.

蘇霍姆林斯基說：“如果老師不想辦法使學生產生情緒高昂的智力振奮的內心狀態(tài)，就急于傳授知識，那么這種知識只能使人產生冷漠的態(tài)度，而給不動感情的腦力勞動帶來疲勞”.

在數學教學中，教師根據課堂情況、學生的心理狀態(tài)和教學內容的不同，適時地提出經過精心設計、目的明確的問題，這對啟發(fā)學生的積極思維和學好數學有很大的作用. 在教學中可設計一個學生目前無法解決的問題或者一個有趣的故事，激發(fā)學生強烈的求知欲望，起到啟示誘導的作用. 如在進行三角函數誘導公式的教授時，可以設計這樣一個問題：已知△ABC，其中AC=1，過C點作CD⊥AB交AB于D點. 小明發(fā)現(xiàn)：當∠A=30°時，CD=；當∠A=60°時，CD=>. 所以，小明得出一個結論：∠A越大，CD也越大.這個結論正確嗎？請說明理由. 學生在對圖形的分析過程中發(fā)現(xiàn)角A的三角函數值與CD的關系，同時引發(fā)若角A為鈍角時，其三角函數值又該如何求的問題，從而激發(fā)學生的興趣.

情景性問題可以是一個故事、一首歌，也可以是一幅畫或是一句名言、兩句詩，這種小問題用的時間不多，卻能吸引學生的眼球，啟動學生的思維，渲染課堂的氣氛，將學生帶入課堂“佳境”. 注意的是導入式的問題要小，問題不宜太難，重在將學生的思維引入一個新的情景.

“問題探究”式教學是一個由淺入深、從易到難、由感性上升為理性、由已知到未知的認識過程，教師只設置單一的問題還不夠，問題的層次性要求教師應設置出具有內在關聯(lián)性強，層層遞進、環(huán)環(huán)相扣、有梯度、有深度的問題，只有這樣才能讓學生自己去體驗、感受概念的形成過程.

過程性問題應以“問題串”的形式設置為好，在教師的指導下，把知識對象化、連續(xù)化和發(fā)展化，使學生能憑借自己的情感、直覺、靈性等直觀的感受、qDYNvgRUqd+cuZMS0LZ8bfLlxhWfK1jLOUFECCFBIJA=體味、領悟，去再認識和再發(fā)現(xiàn)數學問題. 這樣既有利于學生掌握數學全貌，又有利于激發(fā)學生學習數學的熱情，更有利于樹立數學發(fā)展過程中的數學思想.

如在空間中直線與直線的位置關系的教學中，本人設計了一組問題串，讓學生用心體會引出定理的思維過程.

問題1：平面上的兩直線有幾種位置關系？它們之間有什么區(qū)別？

問題2：判斷如圖1所示，直線a和直線b具有怎樣的位置關系？

問題3：在空間中，若兩條直線沒有交點，就一定平行嗎？

問題4：你能舉出“不在同一平面上的兩條直線”的實例嗎？

（下定義：不同在任一平面內的兩條直線叫做異面直線）

問題5：如何畫兩條異面直線a，b？

問題6：在初中對于兩條平行直線，我們研究它們什么位置特征？對于兩條相交直線，我們又研究它們什么位置特征？

問題7：對于異面直線，我們又可以研究它們什么位置特征呢？

問題8：要研究兩異面直線的角度特征，需要對異面直線進行怎樣的變換？

問題9：點的位置會影響角度特征嗎？

在數學教學中，重視課本典型例題的分析，尤其是方法的提煉與升華. 可避免數學教學的簡單重復，對提高學生的學習興趣是很有益的. 一開始方法性問題探究都是“嘗試性”的，而后才能形成“經驗”.

如橢圓方程的建立有以下幾個方案的探究（如圖2、圖3、圖4）：

教師們一般是用類比圓的方程建立過程和方法介紹方案①，然后讓學生證明方案②；方案③則很少涉及，實事上，方案③是問題探究的最大亮點. 如果不經過學生的一系列質疑、判斷、比較、選擇，沒有多種觀點的碰撞、論爭和比較，對結論就難以真正的理解和鞏固，因此，通過方案③的推導，學生可以通過比較，去認識教材中建系的合理性和簡潔性，進而去認識“標準方程”中“標準”的含義.

又如三角函數中“平方消元”的探究可做如下設計.

探究5：提煉方法，達成共識.

顯然上述探究過程是教師根據學生自主發(fā)現(xiàn)的情況，讓學生概括探究方法及正確表達探究結果，再要求學生運用探究獲得的知識，聯(lián)想遷移，舉一反三的過程. 這樣，“問題探究”課堂教學模式把教與學，教師的主導作用與學生的主體作用有機地結合起來，讓學生在教師創(chuàng)設的問題情境下提出問題并進行獨立探索，使教師的教始終圍繞學生的學展開，增強學生的參與意識，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.

習題教學是中學數學教學的重要組成部分. 在習題教學中，我們一般會把知識相近或方法相同的問題以“題組”的形式編擬，目的是讓學生更多地感受、體驗并歸納出它們所蘊涵的數學思想方法.

如在利用橢圓的定義解題中，本人就編著了兩組“探究”形式不一樣的“問題”讓學生練習體會，起到了很好的教學效果.

題組一：（橫向探究）

①已知橢圓+=1上一點P到橢圓一個焦點的距離為3，則P到另一焦點的距離為______.

②已知F1，F(xiàn)2是橢圓+=1的兩個焦點，過F的直線與橢圓交于A，B兩點，則△ABF2 的周長為（ ）

A. 8 B. 20

C. 24 D. 28

③已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：+=1（a>b>0）的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且⊥. 若△PF1F2的面積為9，則b=________.

④在△ABC中，AB=BC，cosB=-. 若以A，B為焦點的橢圓經過點C，則該橢圓的離心率e=________.

⑤已知定圓x2+y-6x-55=0，動圓M和已知圓內切且過點P（-3，0），求圓心M的軌跡及其方程.

題組二：（縱向探究）

母題：在橢圓+=1上求一點，使它與兩個焦點的連線互相垂直.

引申1：橢圓+=1的焦點為Fl，F(xiàn)2，點P為其上動點，當∠F1PF2=時，點P的橫坐標是_______.

引申2：橢圓+=1的焦點為Fl，F(xiàn)2，點P為其上動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是________.

引申3：若在橢圓+=1（a>b>0） 上存在一點P，使得∠F1PF2=90°，則的取值范圍為_______.

引申4：已知橢圓+=1（a>b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個焦點，對于給定的角α（0<α<π），探求在橢圓上存在點P，使得∠F1PF2=α的條件.

變式性問題探究的過程，是數學學習的一種基本技能.可以通過逆向思維求其逆命題；可以通過設常量為變量拓展問題；可以通過引入參量推廣問題；可以通過弱化或強化條件與結論，揭示出它與某類問題的聯(lián)系與區(qū)別，并變更出新的命題. 這樣，無論從內容的發(fā)14xey4mNAx31DOSATidbgQ==散，還是解題思維的深入，都會使學生體驗到如何將數學知識進行變更，在解決相關問題時也能得心應手.

數學是千變萬化的，學生若要做到靈活運用數學知識解決相關問題，必須要在數學中體驗數學知識的變更. 對一些毫不起眼的基礎性“問題”，進行橫向的拓寬和縱向的深入.

如在學習《數列》一章時，筆者考慮到求數列的前n項和及其通項公式是貫穿整章的一條主線. 特別是已知數列的前n項和與通項公式的關系式，求數列的前n項和及其通項公式的問題，更是重中之重，于是設計了以下探究課題：

（2）提出疑問：通過改變這些元素在條件與結論中出現(xiàn)的位置，你可以提出哪些新的問題？（師生共同探究發(fā)現(xiàn)，形成多種命題，命題略）

（3）繼續(xù)提問：

①拋物線y2=2px上點A，B滿足OA⊥OB的充要條件是弦AB恒過定點（2p，0）；

②如果O不是原點，而是拋物線上不同于原點O的定點呢？再若拋物線不是拋物線呢？OA，OB不是垂直關系呢？

（4）拓展問題：你可以把上述結論類比到橢圓或雙曲線嗎？

顯然，這樣的“問題探究”不等于一般的習題設置，它不是靠學生的模仿、套用等途徑解決，它需要學生創(chuàng)造性地運用知識來解決問題. 學生對需要解決的問題首先要進行表征和理解，然后提出各種可以用于問題解決的策略并進行假設檢驗，最后在教師指導和自己的探索下，形成自己解決問題的理念和策略.

綜上所述，“問題探究”本無定法，貴在得法. 把問題視為學生構建知識的載體，把問題看成學生科學探究能力形成的紐帶，有助于引發(fā)學生的求知欲，進而生疑、解疑；有助于啟發(fā)學生自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，實現(xiàn)知識意義的構建，乃至創(chuàng)新.