《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)②》A、B版比較

摘 要：本文對(duì)人民教育出版社編寫的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)②》A、B版教材中直線斜率概念進(jìn)行了橫向比較，并與高一年級(jí)11名數(shù)學(xué)教師針對(duì)這兩版教材的斜率內(nèi)容進(jìn)行了訪談，旨在了解和研究高中數(shù)學(xué)新課程實(shí)施情況，幫助教師們更好地把握新教材.

關(guān)鍵詞：普通高中數(shù)學(xué)教科書；直線斜率；比較

前言

2004年起，根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》編寫的六版數(shù)學(xué)教材（人教A版和B版、北師版、江蘇版、湖南版、湖北版）先后在全國(guó)實(shí)驗(yàn)使用. 這六版教材風(fēng)格迥異，每版都有自己的獨(dú)到之處. 對(duì)各個(gè)版本教材進(jìn)行橫向比較，探討其中的可取之處，可以幫助我們研究高中數(shù)學(xué)新課程實(shí)施情況，幫助教師們更好地把握新教材，實(shí)施有效的數(shù)學(xué)教學(xué). 為此，筆者選取了由人教社出版的兩版數(shù)學(xué)教材，以其中《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)②》A版和B版（以下分別簡(jiǎn)稱為“A版”、“B版”）的直線斜率概念為例進(jìn)行了橫向比較.

同時(shí)，為了了解教材實(shí)際使用情況和教師對(duì)兩版教材的觀點(diǎn)，作者對(duì)使用B版教材的遼寧省大連市四所高中一年級(jí)11名數(shù)學(xué)教師針對(duì)教材中斜率概念進(jìn)行了訪談. 訪談問題大致包含三個(gè)：教師怎樣看待A、B版直線斜率概念的引入方式？如何處理教材中的例題和習(xí)題？學(xué)生對(duì)這個(gè)部分內(nèi)容的反應(yīng)如何？這些問題的訪談結(jié)果穿插于本文各個(gè)內(nèi)容的比較中間.

在數(shù)學(xué)課程改革開始實(shí)施、各版教材投入使用之際，本文對(duì)兩個(gè)版本數(shù)學(xué)教材內(nèi)容進(jìn)行比較，得出孰優(yōu)孰劣的結(jié)論不是目的，只是希望這種具體的工作可以使我們更為具體地了解新課程實(shí)施情況，更全面地把握教材，并且?guī)椭處熢诹私?、認(rèn)清這些差異之后，結(jié)合實(shí)際，采取最佳方式進(jìn)行教學(xué).

1. 整體引入方式比較

高中直線斜率概念的引入一般有兩種方式，第一個(gè)是先定義傾斜角，再用傾斜角的正切值定義直線斜率；另一個(gè)是直接利用直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)來定義直線的斜率，即A1（x1，y1），A2（x2，y2），由A1，A2所確定的直線斜率k=， 然后再通過=tanα導(dǎo)出直線的傾斜角的概念. 但是由于第二種處理方法比較麻煩，所以一般教材都先定義傾斜角，再由它定義直線斜率. 總體上看，A、B兩版教材分別選用的是第一和第二種引入方式.

A版先定義了傾斜角，然后用傾斜角的正切值定義斜率，這種編排也是舊版高中數(shù)學(xué)教材所采用的方式. 因此，對(duì)于有經(jīng)驗(yàn)的教師來說，使用A版教材會(huì)更加得心應(yīng)手. B版教材利用直線上兩個(gè)相異點(diǎn)的坐標(biāo)定義斜率，體現(xiàn)了先有方程和曲線的關(guān)系，后有直線斜率的思想方法.

從訪談中我們得知，所有11位教師都傾向于第一種方式——由傾斜角引入斜率，其原因是：第一，從知識(shí)角度講，這樣引入使得學(xué)生對(duì)傾斜角與斜率之間的關(guān)系更為明確；第二，從教師經(jīng)驗(yàn)角度講，在這之前的教材都是以這種方式引入的，教師對(duì)這種方式很熟悉. 但所有教師都表示要尊重現(xiàn)在使用的B版教材，不排斥B版的這種引入方式，而且在實(shí)際教學(xué)中也都是按照B版的引入方式進(jìn)行的，這點(diǎn)說明盡管一線教師們并不贊同B版的引入方式，但都按照B版的“用變化率的思想”來領(lǐng)會(huì)和把握了B版的編寫思想.

利用B版進(jìn)行教學(xué)的結(jié)果顯示，盡管學(xué)生們對(duì)斜率概念在理解上沒有產(chǎn)生疑問，但對(duì)教材中為了引入斜率概念所用的“直線的方程”和“方程的直線”這兩個(gè)概念存在疑惑，如學(xué)生混淆了闡釋兩個(gè)概念的角度；不清楚“方程的直線”這個(gè)概念的作用等等. 由于在做練習(xí)題的時(shí)候不涉及以上兩個(gè)概念，因此學(xué)生們對(duì)教材這部分知識(shí)沒有深究.

2. 傾斜角概念的引入比較

傾斜角是定量刻畫直線位置的量之一，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)直線的相關(guān)知識(shí)很有意義. 同時(shí)，它與直線斜率概念之間有著緊密的聯(lián)系：斜率存在，傾斜角一定存在；傾斜角存在，斜率不一定存在. 而且直線斜率可以用傾斜角的正切值來定義.

A版傾斜角在直線斜率概念之前引出，但是在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容之前，學(xué)生所具備的就只有簡(jiǎn)單直觀的直角坐標(biāo)系中的直線圖象以及平面幾何中的點(diǎn)和直線的知識(shí).

A版為了引出傾斜角提出了四個(gè)小問題. 在第一個(gè)問題中，我們注意到這個(gè)時(shí)候是沒有圖形的，學(xué)生可以任意想象空間中的一個(gè)點(diǎn)和過這個(gè)點(diǎn)的直線，同時(shí)借助以前學(xué)習(xí)的平面幾何中的知識(shí)——兩點(diǎn)確定一條直線來做出否定的回答. 第二個(gè)問題看似與第一個(gè)問題相同，但是抽象性卻提高了，它有抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，直線用l表示，點(diǎn)確定為P. 第三個(gè)問題進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考過同一點(diǎn)的直線束的不同之處，學(xué)生很容易得出不同，但可能在表達(dá)的時(shí)候找不到恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)術(shù)語來形容. 等到第四個(gè)問題切入了正題，學(xué)生們想要表示直線的傾斜程度，但在以前學(xué)的知識(shí)中卻找不到相應(yīng)的知識(shí)去描述，自然他們就體會(huì)到了引入傾斜角概念的必要性. 一層一層地剝絲抽繭，逐漸地使學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象思維能力，體會(huì)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的必要性和創(chuàng)造性.

相比之下，B版教材的傾斜角概念的引出稍顯突兀. “直觀上可使我們感知到斜率k的值決定了這條直線相對(duì)于x軸的傾斜程度”，到下一段話鋒一轉(zhuǎn)，“x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角”. 怎么想到傾斜角的？?jī)A斜角有什么用處？為什么要研究？教材均未作說明. 教師在教學(xué)中如果不指出的話，學(xué)生在遇到要討論直線位置的問題時(shí)不會(huì)想到使用傾斜角去解決. 而且，前面的“直觀上”的直觀表現(xiàn)在哪里？有什么幾何意義？學(xué)生從前面的說明中似乎也得不出來. 因此，教師在分析教材的時(shí)候應(yīng)該充分注意到這一點(diǎn)，更加深入地挖掘教材內(nèi)容.

在與直線斜率關(guān)系的闡釋方面，A版教材中除了用傾斜角的正切值定義斜率之外，還作了具體說明，這在前邊的具體介紹中也提到過，“傾斜角α不是90°的直線都有斜率，而且傾斜角不同，直線的斜率也不同. 因此，我們可以用斜率表示直線的傾斜程度”. 這樣既指明了傾斜角和斜率對(duì)于表示直線的傾斜程度的作用，又說明了傾斜角與斜率的關(guān)系.

B版針對(duì)直線斜率k不同符號(hào)進(jìn)行了討論，每一種情況除了說明傾斜角是銳角或鈍角之外，還給出了斜率值增大時(shí)傾斜角的變化情況的最后結(jié)論. 這些結(jié)論在學(xué)生畫直線圖象的時(shí)候可以作為作圖是否準(zhǔn)確的參考，至于在其他方面的使用教材的例題和習(xí)題中沒有表現(xiàn)出來. 這樣，B版比A版包含了更多的內(nèi)容，至于這些結(jié)論是怎樣得出來的，具體遇到什么問題時(shí)怎樣使用，需要教師根據(jù)需要進(jìn)行適當(dāng)處理.

將A、B版相比較，看來A版傾斜角的引入似乎更順理成章，一步一步地設(shè)置疑問引導(dǎo)學(xué)生積極思考，為下邊直線斜率的引出做足了鋪墊；而B版教材涉及了更多的內(nèi)容，而且各個(gè)內(nèi)容之間的關(guān)系不是很緊湊，說理不是很清晰.

同以上分析結(jié)果相吻合地，在訪談中，教師們都對(duì)B版教材傾斜角的引入持質(zhì)疑態(tài)度，認(rèn)為B版教材的傾斜角的引入有些突兀，很抽象地說明了斜率與傾斜角之間的關(guān)系.

在進(jìn)行了這部分教學(xué)的七名教師中，所有教師都采用不同方式，不同程度地在教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上進(jìn)行了補(bǔ)充說明：有的教師明確地把斜率與傾斜角公式k=tanα教給了學(xué)生，并且要求學(xué)生掌握幾個(gè)特殊的銳角角度的斜率值；有的教師通過畫不同斜率直線的圖象引導(dǎo)學(xué)生觀察、總結(jié)斜率與傾斜角之間的關(guān)系，結(jié)論限于教材內(nèi)容，但也涉及幾個(gè)特殊角度的斜率值. 采用后者的較多.同時(shí)教師們也表達(dá)了自己的困惑：完全按照教材走無法給學(xué)生講解清楚；如果不擴(kuò)充，課后練習(xí)B的第二題（3）就有困難.

3. 兩點(diǎn)坐標(biāo)斜率公式的引入比較

用直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來定義斜率是除了用傾斜角正切值來定量地描述直線斜率的另一個(gè)方法. 有了傾斜角和直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線斜率公式、直線斜率概念的引入才算完整.

A版在介紹完斜率概念的定義之后開始討論如何由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算直線的斜率. 由于前邊用傾斜角的正切值來定義斜率，因此教材在討論了直線在直角坐標(biāo)系中的四種情況，并且思考了當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)的情形之后，用歸納法總結(jié)了已知兩點(diǎn)的斜率公式. A版把已知直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)求出的斜率作為公式，而B版教材是用這個(gè)公式作為斜率概念的定義. 從篇幅上看，B版就比A版言簡(jiǎn)意賅得多，涉及的知識(shí)只有第一部分的直線方程的定義，經(jīng)過簡(jiǎn)單的演繹推導(dǎo)就輕松地得出了結(jié)論，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)說理能力. 在這里需要指出的是，B版教材的斜率定義不是直接用的坐標(biāo)差來表達(dá)的，而是引入了增量的符號(hào)Δx，Δy，這是為了與在后面選修中學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)不使用極限而用變化率（即）解決相一致，提前做好準(zhǔn)備工作，讓學(xué)生逐漸熟悉使用變化率. 整個(gè)B版教材的編寫都體現(xiàn)了這個(gè)思想，比如在①冊(cè)中講單調(diào)性的時(shí)候也使用了這個(gè)記號(hào).

B版使用公式作為斜率概念的定義，那么它所表現(xiàn)出來的與斜率概念之間的關(guān)系不言而喻，它們等同. A版在進(jìn)行歸納之前的引言“下面我們探究如何用直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算直線的斜率”就表明了利用這個(gè)公式，在已知直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)的情形下可以進(jìn)行斜率計(jì)算工作，這個(gè)公式是一個(gè)用于解決具體問題的工具.

在這一部分內(nèi)容中，A版稍顯煩瑣，用到的知識(shí)很多，有平行線的特征，也有三角函數(shù)，還使用了頁邊后添的三角變換公式. 當(dāng)然，這不是由于技術(shù)上的原因造成的，而是知識(shí)準(zhǔn)備方面的問題. B版的推導(dǎo)很簡(jiǎn)單，只要學(xué)生掌握了直線的方程的定義，再加上解二元一次方程的技巧就很容易清楚定義的來龍去脈.

在實(shí)際教學(xué)中，教師們都不約而同地選擇了由學(xué)生自己來完成B版中的斜率公式的推導(dǎo). 作者在聽課的過程中注意到大多數(shù)學(xué)生可以自行推導(dǎo)出這個(gè)公式. 這也是教師們對(duì)B版教材的一個(gè)總的看法，認(rèn)為B版教材的內(nèi)容“面廣知識(shí)淺，適合學(xué)生自學(xué)”.

4. 概念引入中例子的比較

許多數(shù)學(xué)概念都有很高的抽象度，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中經(jīng)常需要借助直觀的例子來理解掌握. 直線的斜率概念單從兩版的定義上看是很抽象的，有必要借助直觀的例子讓學(xué)生對(duì)其有感性的認(rèn)識(shí).

A版采用坡度的例子是想通過類比使學(xué)生理解用傾斜角的正切來定義斜率概念的合理性，從而使學(xué)生對(duì)抽象的斜率概念有具體、直觀的認(rèn)識(shí). 直觀性有助于形成鮮明而準(zhǔn)確的直覺和表象的形象，它能減輕學(xué)生從感知具體事物轉(zhuǎn)向理解抽象概念過程中的負(fù)擔(dān)，但是直觀性的例子必須能夠保證教學(xué)效果，否則例子就喪失了效果，不能起到應(yīng)有的作用.A版教材從例子到直線斜率的定義引出，以及之前給出的傾斜角取值范圍0°≤α<180°，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問：傾斜角為銳角的時(shí)候可以用正切，當(dāng)α為鈍角的時(shí)候正切怎樣計(jì)算呢？因?yàn)橹皩W(xué)生在初中階段只學(xué)習(xí)了銳角和直角的四個(gè)三角函數(shù)，鈍角的情況學(xué)生沒有接觸到，這也是由傾斜角來引入直線斜率概念的一個(gè)難點(diǎn). A版教材對(duì)這個(gè)問題的處理是在頁邊的板塊引入了一個(gè)三角公式：“當(dāng)α是銳角時(shí)，tan（180°-α）= -tanα”，同時(shí)運(yùn)用這個(gè)公式列舉了45度和135度角正切值的例子將傾斜角為鈍角的問題帶過去了.在接下來討論如何由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算直線斜率的時(shí)候，出現(xiàn)鈍角的情況時(shí)也是用補(bǔ)角，即銳角的正切值來計(jì)算的. 教材中坡度的例子只是給學(xué)生提供了一個(gè)直觀性的傾斜角為銳角情形時(shí)的類比，不能讓學(xué)生全面地理解概念，教師應(yīng)該在教學(xué)中把握好實(shí)例教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行正確的引導(dǎo).

B版教材中的例子與A版中的例子似乎完全是兩個(gè)情形，其中不但沒有具體的實(shí)例，反而從抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)，在引入直線的方程和方程的直線兩個(gè)概念之前舉了y=2x+1和y=2兩個(gè)直線方程的例子來說明方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在方程的兩個(gè)變量不一定存在函數(shù)關(guān)系的時(shí)候給出了x2+y2=1的例子，而且在斜率定義之前、之后都沒有舉實(shí)例給學(xué)生以具體的印象來理解斜率的概念，抽象度很高. 學(xué)生對(duì)斜率概念的理解僅限于形式符號(hào)上的表達(dá)，只掌握了在直線方程內(nèi)的應(yīng)用，而對(duì)斜率在刻畫直線的位置方面的作用、與生活中聯(lián)系等方面不會(huì)有太多的想法，因此，不只是不能應(yīng)用于生活，單是研究直線與其他曲線位置關(guān)系也很難想到使用斜率作為出發(fā)點(diǎn)，從知識(shí)的應(yīng)用方面就是一個(gè)缺陷.

總結(jié)

文章對(duì)人民教育出版社A、B兩個(gè)版本教材直線斜率從總體引入方式、傾斜角概念的引入、兩點(diǎn)坐標(biāo)斜率公式的引入和概念引入中例子的分析四個(gè)方面進(jìn)行了比較.從整體的引入方式看，A版教材斜率概念的引入方式是通過傾斜角引入；B版教材使用了直線的方程概念推導(dǎo)了直線斜率.在傾斜角概念的引入方面，A版的引入很自然，層次清楚，疑問設(shè)置得很得當(dāng)，達(dá)到了合理引出概念的目的，而B版的引入相對(duì)來講有些生硬，涉及的概念多于A版，中間介紹過程省略很多，需要教師在教學(xué)中做出更多說明；A版將兩點(diǎn)坐標(biāo)斜率公式定位在“已知直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)的情形下可以進(jìn)行直線斜率計(jì)算”，B版直接運(yùn)用它做了斜率概念的定義；在整個(gè)概念引入中，A版使用了一個(gè)日常生活中坡度的例子來說明用傾斜角的正切值定義直線斜率的合理性，但是這個(gè)直觀的例子只能說明傾斜角為銳角的情形，傾斜角為鈍角的時(shí)候是解釋不清楚的，所以有一定的局限性，B版從數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)引出，沒有出現(xiàn)具體的例子，總體感覺很抽象.

由于篇幅原因，本文僅對(duì)人民教育出版社出版的A、B兩版教材的直線斜率概念相關(guān)內(nèi)容、例子幾個(gè)方面進(jìn)行了比較，教材的具體使用情況訪談也只選取遼寧省大連市的四所高中. 為了更好地了解遼寧省高中數(shù)學(xué)新課程實(shí)施情況，除了上面兩種版本的更多內(nèi)容的比較，課堂實(shí)際教學(xué)的觀察和研究，以及研究方法上的充實(shí)之外，也有必要對(duì)實(shí)驗(yàn)區(qū)使用的北京師范大學(xué)出版社和江蘇教育出版社的高中數(shù)學(xué)教材更多的內(nèi)容進(jìn)行更全面的、整體性的橫向比較，這都有待作進(jìn)一步更為全面完整的比較工作.