淺談排列組合問(wèn)題的解題策略

摘 要：排列組合問(wèn)題是高考的必考題，其思考方法獨(dú)特，求解思路靈活，聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣，但題型多樣，不易掌握. 本文就排列組合問(wèn)題中常用的解題方法進(jìn)行了歸類整理.

關(guān)鍵詞：排列；組合；解題策略

排列組合問(wèn)題是高考的必考題，它聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握，也是容易失分的題. 筆者以近年來(lái)的高考真題為例，介紹幾種常用的解題方法和策略.

[?] 分類法和分步法

[?] 特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略

例2 （2006全國(guó)Ⅰ）安排7位工作人員在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_____種.（用數(shù)字作答）

解析 甲、乙二人的排法有特殊要求，優(yōu)先排這兩個(gè)特殊的元素. 甲、乙排法有A種，其余5人安排有A種方法，所以共有AA=2400種，故應(yīng)填2400.

[?] 插空法和捆綁法

對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問(wèn)題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可. 相反的，對(duì)于局部“小整體”的排列問(wèn)題，可先將局部元素“捆綁”在一起看做一個(gè)元，與其余元素一同排列，然后再對(duì)這幾個(gè)元素進(jìn)行全排列，即“松綁”. “相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”.

例3 （2013全國(guó)大綱版理）6個(gè)人排成一行，其中甲、乙二人不相鄰的不同排法共有_____種. （用數(shù)字作答）.

解析 先把其他4人排列有A種，再將甲、乙二人插入其中的5個(gè)“空”，有A種插入方法，即得不同的排法共有AA=480種，故填480.

例4 （1996年全國(guó)文）6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同的排法有（ ）

A. 720種 B. 360種

C. 240種 D. 120種

解析 把甲、乙兩人視為一人，這樣6個(gè)人看做5個(gè)人，5個(gè)人的排法有A種，甲、乙兩人還有順序問(wèn)題，所以排法為AA=240種，故選C.

[?] 選排問(wèn)題先選后排策略

解排列組合混合問(wèn)題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.

例5 （2013北京理）將序號(hào)分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是____.

解析 先選出給同一人的2張連號(hào)券，有12，23，34，45四種選法，再對(duì)4個(gè)人全排列，故共有4A=96種分法.

[?] 定序問(wèn)題用除法

對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先將這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù).

例6 （2006江蘇）今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有 種不同的方法.

解析 同色球不加以區(qū)分，先全排列，再消去各自的順序即可，因而將這9個(gè)球排成一列共有=1260種不同的方法，故填1260.

[?] 元素相同問(wèn)題隔板策略

對(duì)于相同元素的分組這類典型問(wèn)題，可用“隔板”法求解.

例7 某學(xué)校要從高三的6個(gè)班中派9名同學(xué)參加市中學(xué)生外語(yǔ)口語(yǔ)演講，每班至少派1人，則這9個(gè)名額的分配方案共有_____種.

解析 將9個(gè)名額視為9個(gè)相同的小球排成一排，然后在9個(gè)小球的8個(gè)空位中插入5塊木板，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種方法，故共有不同的方法為C=56種，故應(yīng)填56.

[?] 復(fù)雜排列組合問(wèn)題構(gòu)造模型法

例11 馬路上有編號(hào)為1、2、3、…、9九盞路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，則滿足條件的關(guān)燈方案有_____種.

解析 一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型、排隊(duì)模型、裝盒模型可使問(wèn)題變得容易解決. 此問(wèn)題看似復(fù)雜，其實(shí)可以把當(dāng)做一個(gè)排隊(duì)模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮的燈C=10種方法，所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種，故應(yīng)填10.

由于排列組合問(wèn)題考查思維靈活，因而這里所介紹的適用不同要求的各種方法并不是絕對(duì)的，對(duì)于同一問(wèn)題有時(shí)會(huì)有多種方法，這時(shí)要認(rèn)真思考和分析，靈活選取最佳方法.