如何實施數(shù)學思想方法教學

摘 要：自20世紀末以來，素質教育已成為國際教育的主潮流，在中學數(shù)學中重視數(shù)學思想方法教學又是素質教育的一個重要方面. 本文簡要介紹了數(shù)學思想方法的重要作用及進行數(shù)學思想方法教學的途徑，并分析了數(shù)學思想方法教學應注意的幾個問題.

關鍵詞：數(shù)學思想方法；歸納法；化歸思想；符號思想

義務教育數(shù)學新課程標準明確提出：“學生要獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必須的數(shù)學的基本思想”，進而又指出：“學生要學會獨立思考，體會數(shù)學基本思想”. 由此可以看出，新課標已經打破了傳統(tǒng)只重視具體知識教學而忽視思想方法的教學，轉向既注重數(shù)學知識，又關注思想方法的教學. 那么，為什么要把數(shù)學思想方法作為課程目標？數(shù)學思想方法又該怎樣來教呢？在教學中應該注意哪些問題？

[?] 數(shù)學思想方法的重要性

數(shù)學的各分支領域日益發(fā)展，在有限的時間內要讓學生學會所有的數(shù)學知識是不可能的，學生應該學會的是獲取數(shù)學知識、應用數(shù)學知識的思想方法. 正如日本學者米山國藏所說：“唯有數(shù)學的思想方法對學生來說是最為受益的”.

1. 數(shù)學思想方法是數(shù)學創(chuàng)造和發(fā)展的源泉

數(shù)學的發(fā)展史告訴我們，數(shù)學思想方法總是存在于整個數(shù)學的發(fā)展進程之中. 例如，笛卡兒用變量的思想方法創(chuàng)立了解析幾何；牛頓、萊布尼茲提出的無窮小量方法，創(chuàng)立了微積分；康托爾的集合思想不僅解決了許多實際數(shù)學問題，穩(wěn)固了微積分的理論基礎，而且對數(shù)學基礎的研究有著深刻的影響.

2. 數(shù)學思想方法是數(shù)學應用的關鍵

實踐證明，數(shù)學在科學技術和社會的各個領域都有著廣泛的應用，大到軍事、航天事業(yè)，小到日常消費，無時無刻不在應用著數(shù)學. 數(shù)學在各個領域的應用不僅需要數(shù)學知識，更重要的是依靠數(shù)學思想方法向各領域滲透和移植.

3. 數(shù)學思想方法是培養(yǎng)數(shù)學能力和數(shù)學人才的需要

數(shù)學教育的根本目的在于培養(yǎng)數(shù)學能力，即運用數(shù)學認識世界、解決實際問題和進行發(fā)明創(chuàng)造. 而這種能力，不僅表現(xiàn)在對數(shù)學知識的一般理解和良好記憶上，而且更主要依賴于對數(shù)學思想方法的掌握和運用. 數(shù)學史上的諸多重大創(chuàng)造性工作，不僅僅在于這些數(shù)學家對數(shù)學知識的直接運用，更重要的是他們在數(shù)學思想方法上做了創(chuàng)造性的變革.

[?] 實施數(shù)學思想方法教學的途徑

數(shù)學思想方法作為一種隱性的知識，并不是把它單獨拿出來講，而應貫穿于具體數(shù)學知識的教學過程中. 以數(shù)學知識教學為主體，在具體數(shù)學知識的教學過程中，有意識地滲透相關的數(shù)學思想方法并使之明確化，從而通過知識傳授過程達到思想方法教學之目的. 數(shù)學知識的形成過程實際上也是數(shù)學思想方法發(fā)生、發(fā)展的過程. 在具體的教學中，概念的形成、結論的推導、規(guī)律的揭示過程等都是滲透數(shù)學思想方法的最好時機.

1. 在概念的學習過程中滲透數(shù)學思想方法

數(shù)學概念的學習包括概念的形成和概念的同化. 概念的形成一般要經歷“具體——抽象——具體”的過程. 這是一個從特殊到一般，再由一般到特殊的過程，它是一個先歸納再演繹的推理過程.教師應適時地介紹歸納、演繹推理方法或其他有關方法. 在數(shù)學概念的形成過程中，最常用的是“歸納法”. 例如，在子集、n次方根、函數(shù)單調性與奇偶性、對（指）數(shù)函數(shù)、等差等比數(shù)列等這些概念的學習中，都運用到了歸納法. 此外，為了幫助學生理解概念，我們往往借助符號和圖象，而這也無形之中滲透著數(shù)形結合的數(shù)學思想方法. 以概念同化方式學習數(shù)學概念，往往伴隨著某些數(shù)學思想方法的運用，例如，由等差數(shù)列的概念類比出等比數(shù)列的概念；用映射思想定義函數(shù)，一一映射思想定義反函數(shù)；用函數(shù)思想看“數(shù)列”等，這不僅可以突破教學難點，促進學生更好地理解概念，更重要的是學生在這一過程中接收到了一些重要的數(shù)學思想方法.

2. 在定理（公式、法則）的學習過程中運用數(shù)學思想方法

定理（公式、法則）的教學應摒棄以往“告訴——應用”的方式，遵循“過程教學原則”，即命題是怎樣提出的，提出來后是怎樣證明的，證明之后又是如何應用的. 這一過程包含著各種數(shù)學思想方法，教師應適時地、適當?shù)貪B透有關的數(shù)學思想方法，使其得到應有的體現(xiàn). 例如，在幾何體體積公式的推導過程中，涉及公理化思想、轉換思想、類比法及割補轉換方法，教師應通過問題解決的思路分析，系統(tǒng)展示推導過程的具體線索，把各種思想方法的作用明確地呈現(xiàn)在學生眼前，學生才能從中領悟到數(shù)學家當初的創(chuàng)造性思維. 這對于激發(fā)學生創(chuàng)造意識，理解數(shù)學思想有著十分重要的作用.

3. 在解題的過程中指導數(shù)學思想方法的應用

數(shù)學思想方法存在于問題解決的過程中；一個有意義且高效率的解題過程的每個步驟無不體現(xiàn)著數(shù)學思想方法的指導作用；數(shù)學問題的解決過程就是“綜合運用各種數(shù)學思想分別解決各個步驟出現(xiàn)的子問題，并最終獲得整個問題答案”的過程. 加強解題教學并不是要搞題型訓練，也不是搞題海戰(zhàn)術. 一方面，通過解題和反思，歸納解題方法，并提煉上升到思想的高度；另一方面，在解題中要充分發(fā)揮數(shù)學思想方法對發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想和轉化功能，突出它對解題的統(tǒng)攝和指導作用. 例如，柯西不等式的證明.

[?] 數(shù)學思想方法教學應注意的問題

1. 注重知識教學和思想方法教學的綜合與滲透

數(shù)學知識和數(shù)學思想方法是數(shù)學的有機組成部分，二者是相互統(tǒng)一的，在教學中不能將二者割裂開來，但它們也并非是數(shù)學知識和數(shù)學思想方法的簡單疊加. 過多地強調知識的教學，而不注重相關數(shù)學思想方法的滲透，學生看到的僅是一副光禿禿的骨架，缺少靈魂的潤澤；而單純地追求數(shù)學思想方法的教學，就會犯形式主義的錯誤，數(shù)學思想方法就會缺乏基礎的支撐. 因此，在教學中要將數(shù)學知識作為主體，在知識的發(fā)生、發(fā)展過程中有意識地滲透數(shù)學思想方法并使之明確化，這樣才能在知識的傳遞過程中實現(xiàn)思想方法的教學. 例如，“代數(shù)式”的教學：如圖1所示，搭一個正方形需要4根小棒，搭2個正方形需要7根小棒，搭3個正方形需要10根小棒.

（1）搭10個這樣的正方形需要多少根小棒？

（2）搭100個這樣的正方形呢？你是怎樣得到的？

（3）如果用x表示所搭正方形的個數(shù)，那么搭x個這樣的正方形需要多少根小棒？

（4）你是怎樣表示搭x個這樣的正方形需要多少根小棒的？

在這個過程中，學生從經歷搭1個正方形到同時搭2個正方形、10個正方形、100個正方形，再到更一般的情況搭x個正方形需要多少根火柴棒. 這一過程，學生并不是順利地完成每個問題的，而是經過反復觀察，總結歸納出一般規(guī)律后并運用字母表示，其中不僅蘊涵著歸納法、觀察法、實驗法，還體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學思想和符號思想等. 在第一問時，有的學生可能會通過畫圖，最后數(shù)出來. 這時，教師先不要著急，讓學生接著做下一問，在學生開始做時可以提問“這時我們是不是還要把這100個正方形畫出來呢？”當然，此時就有學生不同意畫的方法了，接著說：“要把這100個正方形畫出來，得費多少時間?。　薄拔覀兡懿荒苡衅渌啙嵉姆椒?？”“我們來看看從搭一個正方形到搭10個正方形所需的火柴個數(shù)，看看能不能從中發(fā)現(xiàn)什么？”這樣，代數(shù)式的概念不僅來的比較自然，而且在無形中引導學生運用了觀察法、歸納法等數(shù)學方法來解決問題，并初步體會了其中所蘊涵的數(shù)學思想.

2. 要注重對教材的分析

作為教師，首先要知道教材中都反映了哪些數(shù)學思想方法，要站在數(shù)學思想方法的高度去審視教材，弄清每一定理的證明、習題的解答、各章節(jié)知識點中都反映了哪些數(shù)學思想方法，而各種數(shù)學思想和方法又都具體反映在哪些知識點上，在程度上有何要求等. 這些不僅要體現(xiàn)在教師的備課之中，更重要的是要在課堂教學上具體落實. 例如“數(shù)列”這一概念就集中反映了集合、映射、函數(shù)的思想，既可將數(shù)列看成是自然數(shù)集和某一數(shù)集間構成的一一映射，也可看成是某一函數(shù)在定義域為自然數(shù)集時函數(shù)值的集合，而對數(shù)列的分類也反映了集合的思想. 可見，“數(shù)列”這章集中反映了集合、映射、函數(shù)的思想.此外，方程思想、化歸思想在數(shù)列這章也時常可見.

3. 注重數(shù)學思想的提煉與總結