數(shù)學認識信念

摘 要：視點結(jié)構(gòu)教學理論告訴我們，理想的教學是教學科學、技術(shù)、藝術(shù)三位一體. 教學藝術(shù)的基礎(chǔ)和前提，是教學的科學與技術(shù)，科學、技術(shù)與藝術(shù)帶給課堂的就是準確、高效和美感. 這些是課堂教學的終極目標. 本文從影響學生數(shù)學認識信念的角度，論述教師應(yīng)該如何構(gòu)建自身的教學，幫助學生建立正確的數(shù)學認識信念，形成美的感受.

關(guān)鍵詞：信念；科學；技術(shù)；藝術(shù)

數(shù)學認識信念最早是由Schoenfeld （1985）在其著作中提出，他認為數(shù)學認識信念系統(tǒng)是一個人的數(shù)學觀，是個體處理數(shù)學和數(shù)學任務(wù)時持有的觀點. 多數(shù)學者認為數(shù)學信念是學生認知成分與情感成分的交叉. 筆者認為影響學生數(shù)學信念的因素有很多，除了學生自身因素外，也少不了教師的參與. 教師的數(shù)學認識信念和教學中所營造的環(huán)境，對樹立學生的認識信念起到至關(guān)重要的作用.

首先來看教師的數(shù)學認識信念對學生的影響. 例如，在教學中，教師認為數(shù)學應(yīng)該是嚴謹?shù)?，任何結(jié)論都應(yīng)該經(jīng)過嚴格的證明和實際的檢驗，那么學生在處理問題時就會謹小慎微，不會隨意得出結(jié)論，不會對定理、推論等條件進行擅自改變，但是帶來的負面影響是：學生進行猜想、推理的能力就會下降，甚至不能接受推理是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要手段，認為推理就是瞎猜. 又如，教師認為數(shù)學是抽象的學科，訓練的是學生的邏輯思維，不認為數(shù)學可以解決現(xiàn)實生活中的問題，因此在教學中把課本中凡是與實際相關(guān)的例題全部都替換掉，覺得這樣的問題是浪費時間，計算量還大，那么學生看到了教師的這種行為，自然就會認為實際應(yīng)用題沒有任何價值，還是多做一些“純”數(shù)學問題來的實在，久而久之，學生對數(shù)學的認識信念自然產(chǎn)生了偏差. 這也是很多人認為“自己不是學數(shù)學的料”的重要原因. 因此，作為教師，我們自己就要先樹立對數(shù)學的正確認識，這樣才能反應(yīng)在我們的教學中，從而對學生產(chǎn)生重大影響.

其次來看教師在教學中營造的環(huán)境對學生的影響. 例如，教師認為學好數(shù)學就要建立在大量練習的基礎(chǔ)上，尤其高三題海戰(zhàn)術(shù)是必須的，大量印發(fā)練習卷子，購買練習冊，那么學生就會感受到這種緊張的空氣，疲于進行大量的練習，缺少總結(jié)歸納，缺少變式應(yīng)用，完全陷在題海中，自信心備受打擊，產(chǎn)生了害怕學數(shù)學的情緒；而如果教師在教學中能將所講知識的背景、產(chǎn)生的源泉、解決的問題處理清楚，對內(nèi)容進行歸納整理，將方法梳理，從一個問題出發(fā)，講好講透，而不是大量的留練習和作業(yè)，那么學生也會受到感染，尋本溯源，養(yǎng)成科學的態(tài)度、嚴謹?shù)膶W風，而不是片面地對數(shù)學問題進行認識，知道一個數(shù)學結(jié)論就如獲至寶，趕緊看它能用于解什么樣的題.

正是由于教師對數(shù)學的認識與營造的教學環(huán)境可以對學生產(chǎn)生重大影響，因此教師應(yīng)該重新認識數(shù)學，也要重新評價我們的教學. 那么，我們究竟應(yīng)該如何評價自己的教學呢？視點結(jié)構(gòu)教學理論告訴我們，衡量教學的根本標準就是準確、有效、美感. 準確指教學的科學性，所講的知識必須正確清晰，目標定位合理；有效指教學的技術(shù)性，要讓學生聽得清楚明白，教師教學過程的方法、言語、思維、管理等行為，有助于學生理解知識和達到目標；美感指教學的藝術(shù)性，在科學準確和技術(shù)有效基礎(chǔ)上，形象生動，重組創(chuàng)新，富有感染力和感召力.

教學必須是科學的. 科學性是教學活動得以實施的大前提. 教學包括內(nèi)在邏輯與外在形式，筆者認為內(nèi)在邏輯就是科學，外在形式就是技術(shù)與藝術(shù)，沒有科學做基礎(chǔ)，技術(shù)與藝術(shù)是空洞的，甚至只是花架子. 北京從2007年開始實施新課程，教師面臨的最大問題就是教材內(nèi)容的變化和教學實施方法上的變化. 如果不能把教材讀懂、讀透，就是喪失了知識的科學性，如果教師對知識的理解產(chǎn)生偏差，即失去了對數(shù)學的正確認識，那直接影響的必然是學生對數(shù)學的認識. 以上說的是知識層面上的問題.接下來看態(tài)度層面上的問題，每一次課程改革都會對教師的心理產(chǎn)生重大的影響，多少有些排斥，這和人的習慣分不開，人們總是不接受改變，教師的這些情緒會帶到教學工作中，繼而對學生學習新課程的態(tài)度和方法產(chǎn)生影響. 因此，作為教師，要從心里接收它，適應(yīng)它. 這種適應(yīng)體現(xiàn)在科學層面和技術(shù)層面上.

沒有課堂教學的科學性，課堂教學即使再技術(shù)、再藝術(shù)，也只會偏離中心更遠.那么如何在最短的時間內(nèi)，將知識理解正確呢？筆者認為最重要的方法就是提煉知識結(jié)構(gòu)的流程圖，找到核心知識，然后向外拓展延伸. 所謂核心知識，多數(shù)情況是指概念，而概念一定要放在一個系統(tǒng)中去理解，才能體現(xiàn)科學性，其結(jié)構(gòu)如下圖：

其意思是，從一個概念（視點）的內(nèi)涵出發(fā)，沿著概念的關(guān)鍵詞向各個方向邏輯地延伸，從而在知識和知識、事實與事實之間建立起有機聯(lián)系（即邏輯結(jié)構(gòu)），深刻感知、理解事物本質(zhì)，形成抽象思維與形象思維等融合交叉的思維方式，進而獲得豐富而深刻的體驗和美觀體驗的教學過程. 這與新課程數(shù)學教學所提倡的邏輯思考方法是一致的：

按照這種畫流程圖的方法，教師可以在最短的時間內(nèi)掌握新課程的內(nèi)涵與外延，從而進入狀態(tài). 我們說，教學一定是科學地教，然后才是藝術(shù)地教！但都得合邏輯地教.什么是邏輯？它本質(zhì)上就是關(guān)系，而教學邏輯就是教學的關(guān)系. 因此，流程圖所反映出來的邏輯體系是教學的大前提. 教師在頭腦中構(gòu)建了數(shù)學知識的邏輯體系，無論講授任何數(shù)學知識，也都只是所形成的知識體系中的一部分. 所以說，構(gòu)建知識體系，形成邏輯，體現(xiàn)科學性，是教學工作的出發(fā)點，知識體系的建立，也是教師數(shù)學認識信念形成的開始. 我們的教學，就是靠這樣的認識信念對學生產(chǎn)生影響的.

此外，筆者認為對數(shù)學的認識信念也體現(xiàn)在教師對教材的處理上. 這考驗了教師對知識的理解與認識所達到的程度. 用高中數(shù)學中“函數(shù)”這個概念舉例. 這個知識在初中教材和高中教材中都有定義. 初中的定義是：一般地，設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x，y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù).高中的定義是：設(shè)A，B是非空數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù). 也就是說，函數(shù)的本質(zhì)其實就是四個字：對應(yīng)關(guān)系. 在高中的教學過程中，筆者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學生只有看到類似y=x2這樣的關(guān)系式才認為這是函數(shù)，具體問誰是函數(shù)，學生的回答是“y是函數(shù)，y是x的函數(shù)”. 這就是學生對數(shù)學概念的錯誤認識. 其實y不是函數(shù)，x更不是函數(shù)，y與x的對應(yīng)關(guān)系才是函數(shù)，它是抽象的，是看不見摸不到，但卻能體會到的. 造成這種對數(shù)學概念錯誤認識的原因，就是教師對教材的處理出現(xiàn)了問題. 我們應(yīng)該如何處理教材？是用教材教，還是教教材？這需要教師去判斷，教材并不是科學的權(quán)威，我們也不是不能挑戰(zhàn)它. 筆者認為，求函數(shù)的解析式不重要，畫圖也不重要，理解什么是函數(shù)才是最重要的.無論初中還是高中，我們對于“函數(shù)”這個概念的教學就抓住四個字——“對應(yīng)關(guān)系”即可. 這就是教師的智慧所在，這才是尊重知識科學性的體現(xiàn).

再舉一個例子，在高中數(shù)學的教學中，有一個知識點是“命題的否定”. 很多的書都說命題的否定就是條件不變，否定結(jié)論，這也缺乏科學性. 我們的教材上只講了全稱命題與特稱命題的否定，沒有具體講解命題的否定. 所以在處理這個問題上，教師就不要舉這樣的例子去迷惑學生，其實命題的否定就是對整個命題的否定，不是簡單的條件不變，否定結(jié)論，我們應(yīng)該尊重科學的嚴謹性，不能按照“想當然”去延伸知識，錯誤的拓展延伸還不如不拓展、不延伸. 總之，科學性是一切教學活動的前提，是基石. 不講究科學，就無法構(gòu)建正確的數(shù)學認識.

其次，教師的教學必須是技術(shù)的. 無論傳統(tǒng)課程還是新課程，都必須從教師頭腦中的知識細節(jié)轉(zhuǎn)化為教學操作行為細節(jié)，最后再轉(zhuǎn)化為學生一點一點發(fā)展的事實. 這就是教學的技術(shù)性. 教學的技術(shù)性，就是要讓學生聽得清楚明白，教師教學過程方法、言語、思維、管理等行為，都要有助于學生理解知識和達到目標. 我們說，教師講授相同的、具有科學性的知識，為什么學生的接受程度會有差異呢？可能有些人會認為，這和學生的智力水平和認知水平是分不開的. 這一點當然是正確的. 但是我們有沒有想過，其實教師的教學行為，會對學生的認知產(chǎn)生重大的影響？舉一個物理中的例子，教師講授的內(nèi)容是“什么是力”，首先教師說：今天學習物理學的一個最基本的概念“力”，力是兩個物體或兩個以上物體的相互作用. 與此同時，教師拍了一下手，告訴學生這就是力. 接下來在黑板上寫關(guān)鍵詞：兩個物體（或兩個以上物體）、相互作用. 我們說評價課堂教學的三個指標就是準確、高效、美感，也就是剛剛談到的科學性、技術(shù)性和藝術(shù)性. 在這個案例中，教師的講解對學生有誤導作用：就是兩個物體要接觸，但力的發(fā)生并不需要接觸（例：磁場、重力），因此帶給了學生錯誤的認識，干擾學生今后學習. 知識雖然準確，具有科學性，但是操作不準確，即教學行為不是有效的，換句話說就是技術(shù)層面產(chǎn)生錯誤，而這個錯誤所埋下的隱患會等待時機爆發(fā). 所以說，知識精準，操作有效，是生動美感（教學藝術(shù)、自由創(chuàng)造）必須的前提. 作為教師，我們要想讓課堂達到藝術(shù)、達到美感，除了解決科學性的問題，技術(shù)性的問題也是必不可少的，它是科學性與藝術(shù)性之間不可或缺的橋梁. 教師教學的技術(shù)性，歸根到底就是教師所營造的教學環(huán)境，而環(huán)境因素影響的就是學生學習信念的形成.

下面我們從微觀的角度看待教學的技術(shù)性. 技術(shù)包括語言（有聲和無聲）、行為、板書、組織形式等因素. 舉兩個例子. 第一，記得剛剛參加工作時，聽完師父的課，筆者將知識、例題等內(nèi)容完全復制，嘗試去模仿出一節(jié)相同的課，但結(jié)果卻是筆者沒有講完這節(jié)課，而師父卻很輕松，甚至中間還有很多空閑的時間講完了這節(jié)課. 從學生的學習效果來看，筆者的學生掌握的也不是很精準. 課后，筆者對這節(jié)課進行了反思，覺得這節(jié)課上的很累，不停地說，最后還是沒有“叨嘮”完. 而筆者的這種行為，使學生覺得學數(shù)學很難，原本很簡單、明確的知識，被筆者講的復雜，讓學生從心里產(chǎn)生一種抵觸的情緒，甚至覺得數(shù)學是永遠也學不好的，所以說教學操作的技術(shù)確實對學生的認識信念產(chǎn)生影響. 從技術(shù)層面，我們可以這樣評價這節(jié)課，那就是知識具有科學性，即準確；操作行為不具有技術(shù)性，即無效.此外，由于趕著上課，就更談不到形象生動，具有感染力和號召力，因此談不到藝術(shù)性，即美感. 所以說，對于新教師，在把握教材知識的科學性基礎(chǔ)上，尤其要好好學習如何使教學行為具有技術(shù)性. 師父曾這樣評價：我們上課的差別在于語言的準確性，闡述同樣一個問題，我用了一句話，而你用了三句話，卻還沒有說清. 后兩句話完全是對第一句話進行修飾、補充. 如果你能夠在第一句話就把問題的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵點闡述清楚，時間自然也就節(jié)省了，而學生對于你言簡意賅的這一句話會更加記憶深刻，關(guān)注點也有指向性. 他們知道應(yīng)該記住什么. 所以說，這就是課堂技術(shù). 再舉一個例子，前段時間對于是否應(yīng)該用多媒體來代替板書有過不少的爭論. 其實，無論我們在技術(shù)層面如何操作，其最終目的都是達成課堂教學目標，極左與極右都是不對的，還是應(yīng)該根據(jù)課堂教學的內(nèi)容而定. 比如，如果講授三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，就適用多媒體，講授立體幾何的證明就適合用板書. 對于板書，還有一種說法就是在講授新課時，不要擦黑板，因為它擦去的就是學生的記憶，所以說不擦黑板也是技術(shù)處理的一種手段，它與學生的認知程度也是分不開的. 總之，教學技術(shù)性是為教學科學性服務(wù)的，無論我們?nèi)绾翁幚韱栴}，都要以科學性為根本目標.

最后，我們說教學應(yīng)該是藝術(shù)的.藝術(shù)，換言之就是美的. 美是感性和理性的結(jié)合. 可能有些數(shù)學教師認為，數(shù)學是科學嚴謹?shù)囊婚T學科，以掌握知識、指導實踐為目的，對學生樹立正確的數(shù)學學習信念能有什么幫助呢？其實這種認識是不正確的. 通過對學生的調(diào)查問卷顯示，學生的學習動力來源與教師的行為是分不開的. 每個學生對課堂都有美的追求，如果上每一節(jié)數(shù)學課都能獲得美的體驗，這對他們形成數(shù)學的正確認識是大有益處的.

那么什么是教學的藝術(shù)呢？教學藝術(shù)的實質(zhì)和核心是堅持教學的邏輯性，即科學性. 這是因為：第一，知識的系統(tǒng)性是學校教育知識傳授的主要特點；第二，認識事物的順序是由具體到抽象的；第三，邏輯一定要建立在感官知覺的基礎(chǔ)上，感官知覺則不必一定走向邏輯；第四，現(xiàn)實的要求. 此外，教學技術(shù)也是實現(xiàn)審美化教學的重要保障. 作為教師，我們的教學外在審美要形象、生動、豐富，內(nèi)在邏輯要簡潔、縝密、雅致，這是審美化教學的重要標志，即要熟練掌握基本的教學邏輯技術(shù)，也要掌握教學要素的技術(shù). 換言之，藝術(shù)搭起了感性與理性之間的橋梁，如圖：

通過對教學科學性、技術(shù)性與藝術(shù)性的闡述，我們可以這樣說，理想的教學是教學科學、技術(shù)、藝術(shù)三位一體的. 教學藝術(shù)的基礎(chǔ)和前提，在教學的科學與技術(shù). 科學、技術(shù)與藝術(shù)帶給課堂的就是準確、高效和美感，這些是課堂教學的終極目標. 如果我們每一個數(shù)學教師都能做到科學、技術(shù)與藝術(shù)，那么我們的課堂必然會準確、有效和美感. 對于學生而言，學習數(shù)學就不再是難以完成的任務(wù)，他們會建立正確的數(shù)學認識信念，形成美的感受.