部分等于全體？

康托爾（G.Cantor 1845—1918） 是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，集合論（現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支）的創(chuàng)始人。他肯定了無(wú)窮數(shù)的存在，并對(duì)無(wú)窮問(wèn)題進(jìn)行了哲學(xué)的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

盡管康托爾當(dāng)初提出的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，曾引起數(shù)學(xué)界保守勢(shì)力的巨大爭(zhēng)議和激烈攻擊，以至于敏感脆弱的康托爾患上精神抑郁癥，最終病逝于精神病院，但這并不影響康托爾是19世紀(jì)最有才氣、最具創(chuàng)造性、最有革新精神的數(shù)學(xué)家之一的地位評(píng)價(jià)。

從下面的這則小故事中，讀者就不難發(fā)現(xiàn)“無(wú)窮”所蘊(yùn)含的奇特。

據(jù)說(shuō)，在哈雷大學(xué)長(zhǎng)期任教的康托爾經(jīng)常去學(xué)校附近的一個(gè)酒吧喝啤酒，與朋友們聊聊天。有一次，他的鄰居——在商店做出納的小伙子也到酒吧喝酒，剛巧碰到康托爾教授，便坐在一起海闊天空擺起了“龍門陣”。

也許是酒精作用，也許是職業(yè)使然，興致大發(fā)的康托爾眼珠一轉(zhuǎn)話鋒陡變，竟然向小伙子問(wèn)起了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：“偶數(shù)和自然數(shù)你是知道的吧？那你想過(guò)沒有，這兩種數(shù)中哪種數(shù)的‘個(gè)數(shù)’更多一些呢？”

“那還用說(shuō)，偶數(shù)是自然數(shù)的一部分，肯定是自然數(shù)多嘍！”小伙子不假思索脫口而出。

“你肯定嗎？”康托爾聽罷臉上露出了狡黠的笑容。

“當(dāng)然?！毙』镒雍敛华q豫回答。

“我看未必?！笨低袪栒f(shuō)著一仰頭喝光了杯中的啤酒，然后放下酒杯對(duì)著納悶不解的小伙子繼續(xù)發(fā)問(wèn)，“假如有兩個(gè)水果筐，一個(gè)筐中裝著蘋果，一個(gè)筐中裝著梨，我們不知道筐中水果的個(gè)數(shù)，當(dāng)然也不準(zhǔn)清點(diǎn)數(shù)目，你怎么知道蘋果和梨?zhèn)€數(shù)一樣多？”

看得出康托爾早有準(zhǔn)備。

“這簡(jiǎn)單。雙手每次同時(shí)從兩只筐中各取一只蘋果一只梨，蘋果取完時(shí)梨也正好取完，就說(shuō)明兩種水果的個(gè)數(shù)一樣多?！毙』镒拥哪X袋挺靈活，所用的方法也得到教授的認(rèn)同。

康托爾點(diǎn)點(diǎn)頭說(shuō)：“從數(shù)學(xué)角度來(lái)判斷，實(shí)際上就是一只蘋果對(duì)應(yīng)一只梨。簡(jiǎn)單地形容，就是蘋果與梨形成一一對(duì)應(yīng)的話，那么它們的個(gè)數(shù)就相同。是這意思吧？”

這回輪到小伙子點(diǎn)頭了。

康托爾見火候已到，把話題轉(zhuǎn)入到剛剛提及的問(wèn)題：“那好，現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)看偶數(shù)和自然數(shù)。自然數(shù)應(yīng)該是1、2、3、4、5……如果把它們都擴(kuò)大兩倍，就得到了2、4、6、8、10……這不就是偶數(shù)嗎？”小伙子有點(diǎn)糊涂了，教授卻趁熱打鐵：“也就是說(shuō)，自然數(shù)和偶數(shù)也可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那不就說(shuō)明它們的‘個(gè)數(shù)’相同嗎？”

小伙子不知不覺掉落教授設(shè)置的“圈套”，他自言自語(yǔ)道：“好像挺有道理，也許你是對(duì)的?！?/p>

看著小伙子迷惑的眼神和表情，康托爾頗為得意地大笑起來(lái)……

教授的解釋真的有道理嗎？我們不妨來(lái)分析一下：在事物“有限”的前提條件下，“部分”肯定小于“全體”，這一點(diǎn)毫無(wú)疑問(wèn)，而一旦前提發(fā)生變化，即比較的事物是無(wú)限的情況下，那么大家習(xí)以為常的結(jié)論就可能不再順理成章地成立。比如上面采用一一對(duì)應(yīng)的方法所得出的荒誕結(jié)論，即從表面上看起來(lái)，“部分”竟然等于“全體”。這里所謂的“表面上”，實(shí)則是指這種說(shuō)法也不準(zhǔn)確。那么，最科學(xué)的描述是什么呢？很簡(jiǎn)單，如果兩個(gè)集合中的元素是無(wú)限的，那么這兩個(gè)集合中的元素個(gè)數(shù)無(wú)法比較多少。

現(xiàn)在你明白了嗎？“部分=全體”的荒謬結(jié)論，原來(lái)是源于“無(wú)限”的前提?。?/p>

編輯/梁宇清