應(yīng)用“變異理論”，夯實(shí)數(shù)學(xué)課堂

“變異理論”強(qiáng)調(diào)，要認(rèn)識某個(gè)事物，就要注意這個(gè)事物與其他事物在某個(gè)屬性上的不同之處。將這一理念引入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，具體表現(xiàn)為：提供具體多樣的例證，區(qū)分教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵屬性，以使學(xué)生識別關(guān)鍵屬性，最終真正掌握教學(xué)內(nèi)容。本文旨在結(jié)合“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”和“圖形中的規(guī)律”等內(nèi)容的教學(xué)，談?wù)劇凹寄芙虒W(xué)”和“問題解決教學(xué)”中的變異策略。

一、“技能教學(xué)”中的變異策略

“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”是小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“分?jǐn)?shù)”單元的內(nèi)容。分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是約分和通分的基礎(chǔ)，而約分、通分又是分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的基礎(chǔ)，因此，應(yīng)對教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析。

1.教學(xué)內(nèi)容分析

（1）“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”的關(guān)鍵要素

“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，即“分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)大小不變”。其中，關(guān)鍵要素是“都”“乘以或除以”及“相同的數(shù)（0除外）”。

（2）關(guān)鍵要素變異維度的分析

分子和分母都乘以或除以相同的數(shù)的變化（擴(kuò)大或縮小相同倍數(shù)的變化）。

2.學(xué)情調(diào)查分析

調(diào)研發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生對“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”這一內(nèi)容并不陌生，但在理解和應(yīng)用方面存在問題，因此，我認(rèn)為教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)有兩點(diǎn)需要注意：一是把分?jǐn)?shù)的性質(zhì)作為教學(xué)重點(diǎn)，二是探尋整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

3.教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

針對“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”這一內(nèi)容，我設(shè)計(jì)了四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。其一，課前交流。我設(shè)計(jì)了對口令游戲，即教師隨意說一個(gè)數(shù)（例如，2、0.4、5/WNeRJQkt+Ezo1QIsNN1Ufw==10），學(xué)生也要說一個(gè)與這個(gè)數(shù)相等的數(shù)，以喚起學(xué)生對“分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)大小不變”的思考。其二，情景引入與探索。我創(chuàng)設(shè)了這樣的教學(xué)情景：某班組織“同看一本書”的閱讀活動(dòng)。小王讀了一本書的3/4，小方讀了這本書的6/8，小張讀了這本書的9/12。他們?nèi)齻€(gè)人誰讀的頁數(shù)最多？（這本書共有120頁）。通過比較三個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，學(xué)生開始自主探究“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”這一內(nèi)容。同時(shí)，我鼓勵(lì)學(xué)生把探索、分析的過程表達(dá)出來。經(jīng)過歸納、總結(jié)可知，探索、分析“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”具體涉及四個(gè)方法：一是利用數(shù)量相等的關(guān)系計(jì)算頁數(shù)，二是通過分?jǐn)?shù)與除法之間的聯(lián)系計(jì)算頁數(shù)，三是利用“商不變規(guī)律”計(jì)算頁數(shù)，四是利用分?jǐn)?shù)的直觀圖形（見圖1）計(jì)算頁數(shù)。其三，歸納概括。一是引導(dǎo)學(xué)生從分?jǐn)?shù)的概念理解“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，最終讓學(xué)生達(dá)成這樣的認(rèn)識：把一個(gè)整體平均分的份數(shù)乘以（或除以）幾，所取的份數(shù)也乘以（或除以）幾，所取的份數(shù)占整體的多少不變，也就是分?jǐn)?shù)的大小不變。二是提供若干組例證（分?jǐn)?shù)值相等），引導(dǎo)學(xué)生分析、識別它們的共性，最終歸納出“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”。三是采用典型反例，在差異對比中，使學(xué)生對某些容易忽視的要素有更清晰、深刻的認(rèn)識。其四，總結(jié)拓展。我引導(dǎo)學(xué)生回顧課前做的游戲。當(dāng)整數(shù)相等時(shí)，例如2=2，數(shù)字沒有變化。當(dāng)小數(shù)相等時(shí)，例如2.0=2.00，0.4=0.40，0.5=0.50，數(shù)字有了變化。在小數(shù)的末尾添上（或去掉）“0”，小數(shù)的大小不變。當(dāng)分?jǐn)?shù)相等時(shí)，例如2/5=4/10，分子、分母不同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)值相等?；仡櫿n前游戲旨在引導(dǎo)學(xué)生體會整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。

二、“問題解決教學(xué)”中的變異策略

“圖形中的規(guī)律”是北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊“認(rèn)識方程”單元的后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容。它是字母表示數(shù)的運(yùn)用，不僅使學(xué)生體會代數(shù)的思想和意義，更使學(xué)生初步領(lǐng)略“問題解決教學(xué)”中的變異策略?！皥D形中的規(guī)律”這一內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)是經(jīng)歷探索圖形規(guī)律的過程，并將這個(gè)探索過程上升到策略的層面；它的教學(xué)難點(diǎn)是同一圖形具有不同的分割方式，并轉(zhuǎn)化為抽象的一般關(guān)系算式。

1.教學(xué)內(nèi)容的分析

“圖形中的規(guī)律”這一內(nèi)容探究的具體問題是：“用小棒做某種正多邊形的邊，若要擺出n個(gè)這種正多邊形相接為一排的圖形，且每兩個(gè)相鄰正多邊形有一條邊重合，需要多少根小棒？”也就是探討小棒根數(shù)與按這種方式排列的正多邊形個(gè)數(shù)n之間的關(guān)系。

該問題情景和解決方法主要包括三個(gè)變異維度。其一，圖形邊數(shù)的變式。例如，正三角形、正四邊形（正方形）、正五邊形和正六邊形等。一般選擇從簡單圖形正三角形或正四邊形開始探索。其二，圖形分割方式的變式。對于具有同樣排列方式的圖形，圖形分割的方式可以有多種，不同的分割方式體現(xiàn)不同的規(guī)律（關(guān)系算式）。例如，正三角形的排列主要有三種分割方式：一是把圖形看成是n個(gè)三角形組合在一起，其中有（n-1）條邊因重合而減去，所以小棒數(shù)=3n-（n-1）；二是將第一個(gè)三角形的三條邊分割出來，后面其余的三角形都看成是由兩根小棒構(gòu)成，所以小棒數(shù)=3+2（n-1）；三是將第一個(gè)三角形最左邊的那條邊分割出來，其他的都看成是加上兩根小棒形成的三角形，那么小棒數(shù)=1+2n。其三，探索的路徑不同。主要有兩個(gè)：一是從一個(gè)三角形入手，隨著三角形個(gè)數(shù)的逐漸增多，尋找具有一般性的規(guī)律；二是從觀察由多個(gè)三角形構(gòu)成的整體圖形入手，使學(xué)生在觀察和分析整體圖形的過程中發(fā)現(xiàn)小棒數(shù)與正三角形個(gè)數(shù)的關(guān)系。這一探索路徑有助于學(xué)生對圖形進(jìn)行多樣的分割與組合，從而發(fā)現(xiàn)不同的關(guān)系算式，使學(xué)生體會同一問題的不同解決方法。

2.教學(xué)過程

針對“圖形中的規(guī)律”這一內(nèi)容，如何在課堂教學(xué)中分析與研究呢？具體有四步。其一，在課堂教學(xué)中，我嘗試從觀察多個(gè)三角形排列構(gòu)成的整體圖形入手，使學(xué)生在觀察和分析整體圖形中發(fā)現(xiàn)小棒數(shù)與正三角形個(gè)數(shù)的關(guān)系。這樣，學(xué)生不僅能體會同一問題的不同解決方法，更可通過操作和觀察找出其中的規(guī)律。其二，呈現(xiàn)不同的算式和相應(yīng)圖形的分割方式，以使學(xué)生從圖形表征過渡到字母表征。其三，引導(dǎo)學(xué)生說出算式中各數(shù)的含義，以加強(qiáng)學(xué)生對算式的理解，為隨后發(fā)現(xiàn)規(guī)律、替換變量做好準(zhǔn)備。其四，總結(jié)、歸納圖形的規(guī)律。讓學(xué)生明晰同一規(guī)律適用于不同的圖形，以使學(xué)生理解：在相似圖形中既有普遍規(guī)律，又有特殊規(guī)律；特殊規(guī)律適用于特殊問題的解決。

（作者單位：北京市海淀區(qū)亮甲店小學(xué)）

（責(zé)任編輯：梁金）