基于微分幾何的永磁直線同步電機(jī)非線性控制方法研究*

劉 劍，崔柳月，龔志恒，劉美菊，高恩陽

(沈陽建筑大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，沈陽110168)

永磁直線同步電機(jī)PMLSM(Permanent Magnet Linear Synchronous Motor)［1］具有機(jī)械結(jié)構(gòu)簡單、低摩擦阻力、無污染、無反沖、長距離高速高精度定位等優(yōu)勢，在很多領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。近幾年來，將其應(yīng)用于垂直升降系統(tǒng)引起了人們極大的關(guān)注。它作為電梯的曳引驅(qū)動系統(tǒng)，具有運(yùn)行能耗低、傳動效率高和占用空間小等優(yōu)點，其工作狀況直接影響著電梯的運(yùn)行狀態(tài)。然而，由于它的高精度運(yùn)動會受到負(fù)載擾動、推力波動(齒槽力波動、磁阻力波動、端部效應(yīng)等)的影響，因此對其控制器的設(shè)計提出更高的要求。

為了能夠克服伺服系統(tǒng)所具有的非線性和不確定性，很多研究人員將滑模變結(jié)構(gòu)控制算法［2］應(yīng)用于PMLSM系統(tǒng)中，滑模變結(jié)構(gòu)控制算法［3］具有響應(yīng)速度快，穩(wěn)定易實現(xiàn)等優(yōu)點。文獻(xiàn)［4］提出了二階滑模控制方法，設(shè)計速度電流控制器，在出現(xiàn)參數(shù)和推力變化時，分別選取速度和直軸電流控制的滑模量，使系統(tǒng)具有良好的速度跟蹤性能，并提高了魯棒性。文獻(xiàn)［5］提出了神經(jīng)滑?？刂品椒?，通過控制器實現(xiàn)位置跟蹤，在線調(diào)整參數(shù)，實現(xiàn)了伺服系統(tǒng)的跟蹤精度和低速平穩(wěn)性。文獻(xiàn)［6］提出自適應(yīng)模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制算法，采用自適律和模糊逼近理論來逼近滑?？刂破鞯妮敵觯€應(yīng)用自適應(yīng)的切換控制器對滑?？刂破鞯妮敵鲞M(jìn)行補(bǔ)償。提高了系統(tǒng)在高加速度運(yùn)動條件下的控制精度。但上述控制方法只能保證系統(tǒng)狀態(tài)收斂到以滑模面為中心的邊界層內(nèi)，只能任意接近滑模，不能收斂滑模［7-8］，因此在一定程度上系統(tǒng)的精度得不到保證。

為此，本文采用了基于微分幾何的最優(yōu)控制理論(簡稱微分幾何方法)［9-10］，它是一種沒有使用任何近似線性化的方法，即可將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)，并完整地保留了系統(tǒng)的非線性特性，利用這一特點，設(shè)計一個針對線性系統(tǒng)的控制器完成對永磁直線同步電動機(jī)的最優(yōu)控制。

1 永磁直線同步電機(jī)系統(tǒng)

PMLSM是一個非線性強(qiáng)耦合多變量的動態(tài)系統(tǒng)，PMLSM在d-q軸的動態(tài)數(shù)學(xué)模型可描述為:

式中ud、uq，id、iq，Ld、Lq分別為d、q軸動子電壓、電流、電感;ψf為定子永磁體磁鏈;τ為定子極距;Rs為動子電阻;v為定子線速度;FΣ為包括負(fù)載阻力、端部效應(yīng)阻力和摩擦力在內(nèi)的總擾動力;M為動子和負(fù)載的總質(zhì)量;Bv為粘滯摩擦系數(shù);p為極對數(shù)。

設(shè)狀態(tài)變量為x=［x1x2x3］T=［idiqv］T，輸入為u=［u1u2］T=［uduq］T，輸出為y1=h1(x)=x1=id，y2=h2(x)=x3=v，則PMLSM系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可表示為

通過微分幾何狀態(tài)反饋精確線性化的方法把其轉(zhuǎn)換成一個線性系統(tǒng)，再對其進(jìn)行最優(yōu)控制器的設(shè)計。

2 基于微分幾何的狀態(tài)反饋精確線性化

2.1 精確反饋線性化條件

定理1對于多輸入多輸出的仿射非線性系統(tǒng)，其表達(dá)式為:

(1)n個向量場所組成的矩陣為:

其中x0點是非奇異的;

(2)n個向量場集合中的每一個集合都是對合的。

系統(tǒng)的輸入個數(shù)m=2，故選n1=m=2，這時只能選n2=1才能使n1+n2等于狀態(tài)變量的維數(shù)，從而知道N=2，nN=n2=1。根據(jù)定理1，組成3個向量場的集合為:

D1、D2、D3都是對合的，所以該系統(tǒng)可以精確反饋線性化。

2.2 精確反饋線性化原理

基于微分幾何方法的精確反饋線性化是一種未使用任何近似線性化的方法，完整的保留了PMLSM系統(tǒng)的非線性特性，圖1為其狀態(tài)反饋精確線性化設(shè)計原理圖。

圖1 狀態(tài)反饋精確線性化設(shè)計原理圖

由積分曲線的概念及符號，求以新的坐標(biāo)w表示的狀態(tài)空間Rn到原來以x為坐標(biāo)的狀態(tài)空間Rn的映射x=F(w)，則:

由此，解出定義的映射為:

求出導(dǎo)出映射(f)，從而求得f(0)(w)，得到以下表達(dá):

由于永磁同步直線電機(jī)系統(tǒng)中n1=2，n2=1，N=2，故只需求變換RN-1=R1。再相應(yīng)的變換T=R1F-1應(yīng)為:

T的Jacobian矩陣為:

將T變換后，可求出最后一組變換，在該坐標(biāo)變換下，原非線性系統(tǒng)的向量場 f(x)和 g1(x)、g2(x)可以重新寫為:

由此可得永磁同步直線電動機(jī)的非線性控制律為:

在新坐標(biāo)及反饋變換下，永磁直線同步電機(jī)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng):

它的Brunovsky標(biāo)準(zhǔn)型為:

3 最優(yōu)控制器設(shè)計

通過求解ATP+PA-PBBTP+Q=0得出P*，通過K*=-BTP*求出K*，從而可得，永磁同步直線電動機(jī)系統(tǒng)的最優(yōu)控制律v*為:

根據(jù)式(17)，可得永磁同步直線電機(jī)系統(tǒng)的非線性最優(yōu)控制律為:

由式(9)可知:

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)原理圖

基于微分幾何的最優(yōu)控制器結(jié)構(gòu)如圖2所示，以d、q動子電壓作為輸入，以d、q軸動子電流進(jìn)行輸出對最優(yōu)控制器進(jìn)行在線調(diào)節(jié)。

4 仿真及分析

為了驗證微分幾何最優(yōu)控制動態(tài)性能的優(yōu)越性，本文采用MATLAB對PMLSM系統(tǒng)進(jìn)行實驗仿真，永磁同步直線電動機(jī)的參數(shù)選取如表1。

為了對比分析，在相同參數(shù)及條件下，分別與傳統(tǒng)PID控制進(jìn)行仿真比較。當(dāng)PMLSM空載起動時，階躍響應(yīng)參考線速度為1 m/s，在t=0.3 s時突加FΣ=120 N的負(fù)載阻力，Ld=Lq=120%L。通過反復(fù)的調(diào)節(jié)控制器的參數(shù)，使其達(dá)到了最佳效果，采用的微分幾何最優(yōu)控制器的參數(shù)為:k*1=0.87k*2=1.19。傳統(tǒng)PID控制的參數(shù)為:kp=2.1，ki=3.6，kd=1.7。圖3和圖4為PMLSM系統(tǒng)在兩種控制方法下參數(shù)變化前后的定子線速度響應(yīng)曲線。

表1 實驗數(shù)據(jù)參數(shù)表

圖3 參數(shù)變化前定子線速度響應(yīng)曲線

圖4 參數(shù)變化后定子線速度響應(yīng)曲線

通過對比參數(shù)變化前后的定子線速度響應(yīng)曲線可以得出，在t=0.3 s時突加的負(fù)載阻力，基于微分幾何的非線性最優(yōu)控制方法對負(fù)載擾動的魯棒性要明顯的優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制方法，參數(shù)的變化也對其影響較小。超調(diào)量較小，振蕩也較小，其控制效果要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制。

5 結(jié)論

本文以PMLSM作為電梯的曳引驅(qū)動系統(tǒng)為背景，考慮其經(jīng)常受到負(fù)載擾動、推力波動的影響?；谖⒎謳缀畏椒ㄔO(shè)計了穩(wěn)定的最優(yōu)控制器，改善了系統(tǒng)的跟蹤性能，提高了系統(tǒng)的魯棒性和控制精度。

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