多參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜Sprott-J系統(tǒng)及其數(shù)字硬件實(shí)現(xiàn)*

劉艷云 ，朱 雷

(1.常州紡織服裝職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程系，江蘇常州213164;2.江蘇理工學(xué)院電氣信息工程學(xué)院，江蘇常州213001;3.南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京210016)

自1963年美國(guó)氣象學(xué)家Lorenz在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中偶然發(fā)現(xiàn)Lorenz系統(tǒng)以來(lái)［1］，混沌理論研究得到了長(zhǎng)期和廣泛的關(guān)注。1999年，Chen等利用混沌反控制方法發(fā)現(xiàn)了與Lorenz系統(tǒng)相似但拓?fù)洳坏葍r(jià)的Chen系統(tǒng)［2］。2002年，Lü等發(fā)現(xiàn)了實(shí)現(xiàn) Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)之間過(guò)渡的Lü系統(tǒng)［3］和連接上述3個(gè)系統(tǒng)的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)［4］。從便于進(jìn)行工程應(yīng)用的角度出發(fā)，構(gòu)建具有某些特殊動(dòng)力學(xué)行為的混沌系統(tǒng)，使其產(chǎn)生混沌信號(hào)的幅度、相位等受系統(tǒng)參數(shù)控制，并呈現(xiàn)確定的控制規(guī)律，則易于實(shí)現(xiàn)參數(shù)調(diào)制或混沌鍵控，從而為混沌在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)，恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)便是這樣一類(lèi)系統(tǒng)。2009年，Li等在一個(gè)改進(jìn)Colpitts振蕩器模型［5］的基礎(chǔ)上，將其非線(xiàn)性指數(shù)項(xiàng)改為分段線(xiàn)性的絕對(duì)值項(xiàng)，得到一個(gè)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)［6］，在3個(gè)系統(tǒng)參數(shù)中，有一個(gè)參數(shù)具有恒Lya-punov指數(shù)譜和局部線(xiàn)性調(diào)幅特性，隨后，Li進(jìn)一步對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了改進(jìn)［7］和推廣［8］。2011 年至今，文獻(xiàn)［9-11］相繼報(bào)道了一些具有單參數(shù)或雙參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜特性的新混沌系統(tǒng)，但目前尚未發(fā)現(xiàn)關(guān)于多參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的報(bào)道。

1994年，美國(guó)學(xué)者Sprott在大量數(shù)值實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提出了19種混沌系統(tǒng)，并為這些系統(tǒng)設(shè)置了固定的參數(shù)［12］，文獻(xiàn)［13］在其中的 Sprott-B 系統(tǒng)模型基礎(chǔ)上構(gòu)建了一個(gè)具有調(diào)幅特性的分段線(xiàn)性混沌系統(tǒng)，本文則以Sprott-J系統(tǒng)作為研究對(duì)象，將其定參數(shù)改為變參數(shù)并進(jìn)行巧妙的恒Lyapunov指數(shù)譜鎖定，從而得到一個(gè)多參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)。

1 系統(tǒng)模型

通過(guò)對(duì)Sprott-J系統(tǒng)進(jìn)行多參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜鎖定，得到如下系統(tǒng):

式中a，b，c，d為非零實(shí)參數(shù)，x，y，z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。當(dāng)取參數(shù)a=2，b=2，c=1，d=1 時(shí)，系統(tǒng)(1)便成為基本Sprott-J系統(tǒng)，系統(tǒng)存在一個(gè)典型的單渦卷混沌吸引子，如圖1所示。此時(shí)系統(tǒng)(1)的3個(gè)Lyapunov指數(shù)為L(zhǎng)E1=0.074，LE2=0.003，LE3=-2.076，Lyapunov維數(shù)為dL=2.037。

圖1 系統(tǒng)(1)的相軌圖(a=2，b=2，c=1，d=1)

2 動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1 基本動(dòng)力學(xué)特性分析

對(duì)于系統(tǒng)(1)，滿(mǎn)足

從而，當(dāng)b＞0時(shí)系統(tǒng)(1)耗散。系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)為S=(0，0，0)，在平衡點(diǎn)S處線(xiàn)性化系統(tǒng)(1)，得其Jacobi矩陣:

及特征多項(xiàng)式:

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，平衡點(diǎn)S均不穩(wěn)定，可能產(chǎn)生混沌，當(dāng)a=2，b=2，c=1，d=1時(shí)，平衡點(diǎn)S對(duì)應(yīng)的特征根為λ1=-2.314 6，λ2，3=0.157 3±1.305 2i，因此，此時(shí)平衡點(diǎn)S為指標(biāo)2的鞍焦點(diǎn)。

2.2 系統(tǒng)參數(shù)的影響

通過(guò)觀察特征多項(xiàng)式(4)可以發(fā)現(xiàn)，其特征值與b相關(guān)，與a，c，d無(wú)關(guān)。因此，參數(shù)b的改變可能導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)的演變，而參數(shù)a，c，d不影響系統(tǒng)在相空間上的動(dòng)力學(xué)特征。下面通過(guò)Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖來(lái)進(jìn)一步揭示參數(shù)a，b，c，d的改變對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)及動(dòng)力學(xué)行為的影響。

固定參數(shù)b=2，c=1，d=1，當(dāng)a∈［0.1，10］時(shí)，系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖2所示。從圖2可見(jiàn)，隨著a的變化，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜保持不變，此時(shí)的Lyapunov指數(shù)實(shí)質(zhì)就是系統(tǒng)在a=2，b=2，c=1，d=1 時(shí)的 Lyapunov指數(shù)值，而隨著a的增大，系統(tǒng)的輸出信號(hào)x的幅度增大，y和z的幅度保持不變。

圖2 a變化時(shí)系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

固定參數(shù)a=2，c=1，d=1，當(dāng)b∈［1.4，3.4］時(shí)，系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖3所示。從圖3可見(jiàn)，隨著b的改變，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜發(fā)生明顯的變化并伴隨豐富而有趣的分岔模式，從而導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)在周期與混沌之間的演變。當(dāng)1.4≤b＜1.58，1.708＜b＜1.86，1.928＜b＜2.056或2.056 1＜b＜2.312時(shí)，有一個(gè)正的 Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);當(dāng)1.58≤b≤1.708，1.86≤b≤1.928，2.056≤b≤2.0561 或2.312≤b≤3.4 時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)為0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)，并且系統(tǒng)在b=1.688和b=1.868處分別出現(xiàn)倍周期分岔和反向倍周期分岔，從而由周期3狀態(tài)進(jìn)入周期6狀態(tài);在b=2.448處出現(xiàn)反向倍周期分岔，由周期2狀態(tài)進(jìn)入周期4狀態(tài);在b=3.02處出現(xiàn)反向倍周期分岔，由周期1狀態(tài)進(jìn)入周期2狀態(tài)，這些周期狀態(tài)及其分岔模式的存在對(duì)系統(tǒng)向混沌狀態(tài)演變具有重要的作用，限于篇幅，這里僅給出兩個(gè)典型周期狀態(tài)的相軌圖，如圖4所示。

圖3 b變化時(shí)系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

圖4 系統(tǒng)(1)的典型周期相軌圖(a=2，c=1，d=1)

固定參數(shù)a=2，b=2，d=1，當(dāng)c∈［0.2，2］時(shí)，系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖5所示。從圖5可見(jiàn)，隨著c的變化，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜保持不變，即系統(tǒng)在a=2，b=2，c=1，d=1 時(shí)的Lyapunov指數(shù)值，而系統(tǒng)的輸出信號(hào)x，y和z的幅度隨著c的增大而減小。

固定參數(shù)a=2，b=2，c=1，當(dāng)d∈［0.2，2］時(shí)，系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖6所示。從圖6可見(jiàn)，隨著d的變化，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜保持不變，同樣等于系統(tǒng)在a=2，b=2，c=1，d=1時(shí)的Lyapunov指數(shù)值，而系統(tǒng)的輸出信號(hào)x，y和z的幅度隨著d的增大而減小。

圖5 c變化時(shí)系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

圖6 d變化時(shí)系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

2.3 多參數(shù)調(diào)幅特性分析

上述數(shù)值仿真表明參數(shù)a，c，d變化時(shí)，系統(tǒng)(1)輸出信號(hào)的振蕩幅度部分或全部地發(fā)生變化，參數(shù)a，c，d具有局部線(xiàn)性或全局非線(xiàn)性調(diào)幅特性。這種局部線(xiàn)性與全局非線(xiàn)性并存的多參數(shù)調(diào)幅特性為混沌應(yīng)用于多參數(shù)聯(lián)合調(diào)制的復(fù)雜通信系統(tǒng)提供了理論基礎(chǔ)。

定理1系統(tǒng)參數(shù)a是局部線(xiàn)性調(diào)幅參數(shù)，輸出信號(hào)x的幅值與a呈線(xiàn)性關(guān)系變化，輸出信號(hào)y和z的幅值與a的變化無(wú)關(guān)。

證明令x=kx*(k≠0)，y=y*，z=z*，則系統(tǒng)(1)變?yōu)槿缦滦问?

由此可知，系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量x的線(xiàn)性調(diào)整等價(jià)于參數(shù)a的尺度變化，參數(shù)a是局部線(xiàn)性調(diào)幅參數(shù)，輸出信號(hào)x的幅值與a呈線(xiàn)性關(guān)系變化，輸出信號(hào)y和z的幅值與a的變化無(wú)關(guān)。證畢。

定理2系統(tǒng)參數(shù)c是全局非線(xiàn)性調(diào)幅參數(shù)，輸出信號(hào)x和z的幅值與c呈冪函數(shù)關(guān)系變化，其指數(shù)為-2，輸出信號(hào)y的幅值與c也呈冪函數(shù)關(guān)系變化，其指數(shù)為-1。

證明令x=k2x*，y=ky*，z=k2z*(k≠0)，則與定理1類(lèi)似可以得證，這里過(guò)程從略。

定理3系統(tǒng)參數(shù)d是全局非線(xiàn)性調(diào)幅參數(shù)，輸出信號(hào)x，y和z的幅值與d呈冪函數(shù)關(guān)系變化，其指數(shù)為-1。

證明 令x=kx*，y=ky*，z=kz*(k≠0)，則與定理1類(lèi)似可以得證，這里過(guò)程從略。

3 數(shù)字硬件實(shí)現(xiàn)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

以TI公司的16bit低功耗微控制器MSP430F249為核心，結(jié)合Linear Technology公司的16 bit高速并行D/A轉(zhuǎn)換器LTC1668和TI公司的高速運(yùn)算放大器OPA2690，設(shè)計(jì)出混沌系統(tǒng)數(shù)字實(shí)現(xiàn)的硬件電路，其框圖如圖7所示。MSP430F249以數(shù)字方式實(shí)現(xiàn)混沌信號(hào)的實(shí)時(shí)生成，LTC1668將此數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)為模擬電流信號(hào)，最后由OPA2690完成電流-電壓轉(zhuǎn)換，兩路混沌電壓信號(hào)VX和VY分別被送至示波器X和Y輸入端。

圖7 混沌系統(tǒng)數(shù)字實(shí)現(xiàn)框圖

為以數(shù)字方式實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(1)，須將其系統(tǒng)微分方程離散化為差分方程，這里采用簡(jiǎn)單而高效的歐拉算法進(jìn)行離散化處理，得到:

式中h為步長(zhǎng)，n為迭代次數(shù)。

根據(jù)式(6)可以編制出基于MSP430F249的C語(yǔ)言程序，程序中設(shè)置h=0.001，設(shè)定參數(shù)a=2，c=1，d=1，并分別令b=2，b=1.65，b=2.4。采用具有高分辨率的安捷倫DSO7032A數(shù)字示波器對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行后得到的吸引子進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)觀察，結(jié)果如圖8所示，與圖1、圖4對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果保持一致，以數(shù)字方式完全可以實(shí)現(xiàn)本文所構(gòu)建的多參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜Sprott-J系統(tǒng)。

圖8 系統(tǒng)(1)的實(shí)驗(yàn)相軌圖(a=2，c=1，d=1)

4 結(jié)論

本文在基本Sprott-J系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，引入4個(gè)系統(tǒng)參數(shù)，巧妙地進(jìn)行了恒Lyapunov指數(shù)譜鎖定，致使在系統(tǒng)特征多項(xiàng)式中消去3個(gè)參數(shù)，從而得到一個(gè)多參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)。采用相軌圖、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖等動(dòng)力學(xué)手段對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真，研究結(jié)果表明，參數(shù)b可以決定系統(tǒng)的狀態(tài)及其演變，存在倍周期分岔和反向倍周期分岔通往混沌的道路，使系統(tǒng)在周期與混沌狀態(tài)之間演變，而另外3個(gè)參數(shù)a，c和d則擁有恒定的Lyapunov指數(shù)譜，從而使系統(tǒng)工作于魯棒混沌狀態(tài)。進(jìn)一步的理論分析則揭示出這3個(gè)參數(shù)還具有局部線(xiàn)性或全局非線(xiàn)性調(diào)幅特性，因此易于實(shí)現(xiàn)多參數(shù)聯(lián)合調(diào)制或混沌鍵控，為混沌在復(fù)雜通信系統(tǒng)中的應(yīng)用打下理論基礎(chǔ)。此外，設(shè)計(jì)了以16 bit低功耗微控制器MSP430F249為核心的數(shù)字硬件電路，在基于歐拉算法進(jìn)行離散化處理的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)并驗(yàn)證了本文所構(gòu)建的多參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜Sprott-J系統(tǒng)，數(shù)字化的實(shí)現(xiàn)方式便于與現(xiàn)代數(shù)字通信和軟件無(wú)線(xiàn)電系統(tǒng)中的數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)兼容，從而打下混沌系統(tǒng)應(yīng)用的工程基礎(chǔ)。

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