經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中微分方程案例教學(xué)的探索

莊科俊 楊鵬輝

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠 233030)

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)是各高校財(cái)經(jīng)類專業(yè)設(shè)置的核心課程之一，是高等學(xué)校經(jīng)管類各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，在培養(yǎng)高素質(zhì)科學(xué)技術(shù)人才中具有獨(dú)特的、不可替代的重要作用。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)有著完整的系統(tǒng)性和邏輯性，概念的形成源于實(shí)踐，又高于實(shí)踐，教學(xué)中應(yīng)貫徹“數(shù)學(xué)為本，經(jīng)濟(jì)為用”的思想。然而，傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)往往與專業(yè)需求相脫節(jié)，將重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)及計(jì)算方面，而忽略了該課程在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用性。目前，已有文獻(xiàn)就如何將數(shù)學(xué)建模的思想融入經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課程作了初步探索［1］。因此，本文將以微積分中的常微分方程這部分內(nèi)容為例，嘗試將數(shù)學(xué)建模思想融入課堂教學(xué)，探討微分方程在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用實(shí)例，以加強(qiáng)數(shù)學(xué)和后續(xù)課程的聯(lián)系，并進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在經(jīng)濟(jì)管理和科學(xué)技術(shù)問題中，往往需要尋找與問題有關(guān)的變量之間的函數(shù)關(guān)系，且需對(duì)函數(shù)關(guān)系予以研究。針對(duì)實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題，經(jīng)過分析、處理和適當(dāng)簡(jiǎn)化后，列出的含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，就是常微分方程［2］。在現(xiàn)行的微積分教材中，通常會(huì)介紹各種一階微分方程、二階常系數(shù)線性微分方程的求解，這就讓學(xué)生產(chǎn)生一種錯(cuò)覺，這部分內(nèi)容就是計(jì)算，沒有實(shí)際用處。其實(shí)不然，下面將分別給出一些具有經(jīng)濟(jì)學(xué)背景的案例［2-5］。

1 一階微分方程模型舉例

例1(國(guó)名經(jīng)濟(jì)總值翻番問題)若國(guó)民經(jīng)濟(jì)總值每年的遞增率為7% ，試問:多少年后方可使國(guó)民經(jīng)濟(jì)總值翻兩番?

解:(1)建立數(shù)學(xué)模型

設(shè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)總值為N，且N隨時(shí)間t的變化而變化。所謂國(guó)民經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率7%就是國(guó)民經(jīng)濟(jì)總值N對(duì)時(shí)間t的變化率，也就是導(dǎo)數(shù)dN/dt。于是，所求問題可歸結(jié)為下列微分方程的初值問題:

(2)求解數(shù)學(xué)模型

這是一個(gè)可分離變量的微分方程，通過分離變量、兩邊積分、代入初始條件，可解得特解N(t)=N0e0.07t，即為國(guó)民經(jīng)濟(jì)總值N與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。

(3)作出分析

要使國(guó)民經(jīng)濟(jì)總值翻兩番，即4N0=ln4=0.07t，解得t≈20，這就是說，按7% 的增長(zhǎng)率，國(guó)民經(jīng)濟(jì)總值用20a的時(shí)間就可翻兩番。

例2(新產(chǎn)品的推銷問題)設(shè)有某種耐用商品在某地區(qū)進(jìn)行推銷，最初商家會(huì)采取各種宣傳活動(dòng)以打開銷路。假設(shè)該商品確實(shí)受歡迎，則消費(fèi)者會(huì)相互宣傳，使購(gòu)買人數(shù)逐漸增加，銷售速率逐漸增大，但由于該地區(qū)潛在消費(fèi)總量有限，所以當(dāng)購(gòu)買者占到潛在消費(fèi)總量的一定比例時(shí)，銷售速率又會(huì)逐漸下降，且該比例越接近于1，銷售速率越低，這時(shí)商家就應(yīng)更新商品了。假設(shè)消費(fèi)者總量為N，任一時(shí)刻t已出售的新商品總量為x(t)，試建立x(t)所應(yīng)滿足的微分方程;并分析x(t)的性態(tài)，給出商品的宣傳和生產(chǎn)策略。

解:(1)建立數(shù)學(xué)模型

設(shè)在該地區(qū)t時(shí)刻已售出的該新商品的總量為x(t)，由于潛在消費(fèi)者總量為N，則在銷售初期或當(dāng)N很大時(shí)，該商品銷售速率主要受已購(gòu)者數(shù)量x(t)的影響，即每一個(gè)已購(gòu)者在一定時(shí)間內(nèi)吸引若干個(gè)欲購(gòu)者，所以銷售速率近似值與已購(gòu)者的數(shù)量x(t)成比例。

但在銷售后期或N很小時(shí)，該商品的銷售速率將主要受未購(gòu)者數(shù)量(N-x(t))的影響，即銷售速率近似值與未購(gòu)者的數(shù)量(N-x(t))成比例。綜合考慮上述因素，可以認(rèn)為產(chǎn)品銷售速率和x(t)與(N-x(t))的乘積成比例，得到如下模型:

其中k是比例常數(shù)，這一模型正是經(jīng)典的Logistic模型。在許多情況下，統(tǒng)計(jì)資料證實(shí)它與實(shí)際情況相符得很好。

(2)求解模型

(3)分析結(jié)果

取k=0.1，N=100，x0=1時(shí)，可畫出Logistic模型的曲線(見圖1)，呈S型曲線，從圖形上可以看出，曲線存在拐點(diǎn)，通過計(jì)算知拐點(diǎn)為 (t0，50)。這說明，在銷出量小于最大需求量的一半時(shí)，銷售速率不斷增大，而當(dāng)售出量大于最大需求量的一半時(shí)，銷售速率不斷減少，銷售量在最大需求量的一半左右時(shí)，商品最為暢銷。

圖1 方程(1)的解曲線

通過對(duì) Logistic模型的分析認(rèn)為，從20%到80%的用戶采用某種新產(chǎn)品的這段時(shí)期，應(yīng)為該產(chǎn)品正式大批量生產(chǎn)的時(shí)期，初期應(yīng)以較小批量生產(chǎn)并加強(qiáng)宣傳，而到后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)。

2 考慮庫(kù)存影響的價(jià)格調(diào)整模型

一般的微積分教材中，很少有涉及到直接的二階微分方程模型，為了彌補(bǔ)這一不足，這里給出基于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的價(jià)格調(diào)整模型。

商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的一個(gè)基本任務(wù)，在簡(jiǎn)化的條件下，可以認(rèn)為需求函數(shù)與供給函數(shù)都是關(guān)于價(jià)格P(t)的線性函數(shù)，可分別表示為QD(t)=a-bP(t)與QS(t)=c+dP(t)，其中a，b，d均為正常數(shù)。在商品市場(chǎng)未達(dá)到均衡時(shí)，價(jià)格的變化率和需求函數(shù)與供給函數(shù)的差值成正比，即

這就是著名的瓦爾拉斯價(jià)格調(diào)整模型，正數(shù)α稱為價(jià)格調(diào)整強(qiáng)度系數(shù)?？梢韵胂?，當(dāng)商品供大于求，而剩余供給又不銷毀時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)庫(kù)存。到時(shí)間t為止的商品庫(kù)存量K(t)可表示為QD(s)］ds，可以合理地認(rèn)為庫(kù)存量的存在會(huì)促使價(jià)格下降，因此，可將前述價(jià)格調(diào)整模型修正為

其中β是庫(kù)存導(dǎo)致的價(jià)格調(diào)整強(qiáng)度系數(shù)，將式(2)對(duì)時(shí)間再求導(dǎo)一次，并由，可以得到下列的考慮庫(kù)存影響的價(jià)格調(diào)整模型:

這是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，價(jià)格P(t)的均衡解(即數(shù)學(xué)上的平衡點(diǎn)，也是一個(gè)特解)為P*=(a-c)/(b+d)。根據(jù)解的結(jié)構(gòu)原理，只需求出對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根，即可寫出非齊次方程(3)的通解。

對(duì)參數(shù)取不同值，可以得到不同的解的形式，并借助Matlab畫出解曲線，以加深學(xué)生對(duì)微分方程解的印象。特別地，當(dāng) a=700，b=20，c=-80，d=30，β=0.03時(shí)，均衡價(jià)格P*=15.6，取α為0.01與0.05時(shí)的解曲線分別見圖2、3。經(jīng)過一段時(shí)間后，商品價(jià)格會(huì)趨于均衡價(jià)格，達(dá)到動(dòng)態(tài)的平衡，并且，系數(shù)α變大時(shí)，趨于均衡價(jià)格的速度也越大。

3 混沌金融系統(tǒng)

圖2 α=0.01時(shí)方程組(3)的解曲線

圖3 α=0.05時(shí)方程組(3)的解曲線

在講授傳統(tǒng)的微積分內(nèi)容時(shí)，也可適當(dāng)介紹一些較新的研究成果。微積分教材通常給學(xué)生造成一種誤覺，所有的常微分方程都是可解的。但事實(shí)并非如此，應(yīng)該說，絕大部分常微分方程是無(wú)法求出解析解的，只能求得其數(shù)值解。

例如，文獻(xiàn)［5］建立了一個(gè)由生產(chǎn)子塊、貨幣、證券子塊和勞動(dòng)力子塊所組成的混沌金融系統(tǒng)，可以用下列三維的常微分方程組表示:

式中:x— 利率;y— 投資需求;z— 價(jià)格指數(shù);a≥0為儲(chǔ)蓄量;b≥0為單位投資成本;c≥0為商品需求彈性。

方程組(4)看似簡(jiǎn)單，卻無(wú)法求出解析解，并且具有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。當(dāng)a=3，b=0.1，c=1，初值為(2，3，2)時(shí)，利用 Matlab可以畫出解的空間相圖(圖4)，此時(shí)有混沌吸引子，俗稱“蝶形圖”。對(duì)模型(4)，無(wú)需介紹太多的理論知識(shí)，只需說明該系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義即可，讓學(xué)生欣賞混沌吸引子的空間相圖。即使是簡(jiǎn)單的常微分方程組，也可能出現(xiàn)復(fù)雜的混沌現(xiàn)象，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣，拓寬知識(shí)面。

圖4 方程組(4)的空間相圖

［1］錢和平，徐清舟.數(shù)學(xué)建模融入經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的案例及分析［J］. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，28(3):92-96.

［2］吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 微積分［M］.北京:高等教育出版社，2008.

［3］何良材，何牧.數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)管理中應(yīng)用實(shí)例析解［M］.重慶:重慶大學(xué)出版社，2007.

［4］王興德.動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)圖解［M］.上海:上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2012.

［5］黃登仕，李后強(qiáng).非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論和方法［M］.成都:四川大學(xué)出版社，1993.