板式行星分度凸輪機構的動力學和強度分析

關 偉，田廣才，王 敏

(1.西安啟源機電裝備股份有限公司研發(fā)中心，西安 710018;2.軍事交通學院 軍事物流系，天津300161)

環(huán)板式行星分度凸輪機構是一種新型的凸輪型間歇機構，具有結構簡單、分度數(shù)大、承載能力強、體積小、無輸出機構等優(yōu)點［1］。以機構學的觀點分析，環(huán)板式行星分度凸輪機構是平行四邊形機構和凸輪機構的串聯(lián)組合［2-4］，其組成原理如圖1 所示。

圖1 傳動原理圖

圖示的平行四邊形機構中，有動力輸入的曲柄軸稱為輸入軸，無動力輸入的曲柄軸稱為支承軸。平行四邊形機構的連桿稱為內凸輪環(huán)板，其上制有內凸輪，與輸出軸上的外針輪組成凸輪——針輪嚙合副。當輸入軸逆時針等速回轉時，帶動內凸輪環(huán)板做平動，通過凸輪——針輪副推動輸出軸做順時針間歇回轉，其運動規(guī)律可由具體應用場合確定［5］。

1 動力學分析

1.1 SolidWorks 模型

利用SolidWorks2010 建立環(huán)板式行星分度凸輪機構三維模型，見圖2。為便于觀察，對其上箱體作消隱處理。

1.2 Motion 運算結果

SolidWorks2010 的“Motion 分析”模塊加載約束，例如旋轉、平行等，輸入軸轉數(shù)20RPM，輸出軸加載200NM 的反向轉矩，凸輪和針齒的材料為45 號鋼，如圖3 所示，保留主要運動部件，其他作固定消隱。

圖2 實體模型

圖3 Motion 分析模型

Motion 分析計算可以得到輸出軸轉速如圖4 所示，針齒與兩個環(huán)板的接觸力如圖5 和圖6 所示。

圖4 輸出軸的轉速

圖5 針齒與環(huán)板1 的接觸力

圖6 針齒與環(huán)板2 的接觸力

從圖4 可以看出，輸出轉速符合預計的正弦函數(shù)關系;從圖5 和圖6 得出，在設計針齒時，其承載能力要滿足11 萬牛頓的力。

2 強度分析

強度分析是凸輪機構設計的基礎。環(huán)板式行星分度凸輪機構是多齒嚙合傳動，屬于超靜定問題，針齒與凸輪之間的受力狀態(tài)十分復雜，凸輪針輪副的受力狀況是整個機構受力分析的關鍵，即強度校核的難點。

通過強度分析可以為零部件尺寸設計提供依據(jù)。針對環(huán)板式行星分度凸輪機構的強度分析，已有部分學者進行了探索和研究，陳新動等［6］在介紹該凸輪機構傳動原理的基礎上闡述了整機的擺動力以及擺動力矩的平衡問題。劉明濤［7］在進行機構的受力分析時，假設嚙合副的裝配間隙為零并忽略了摩擦因素，且將內凸輪視為剛體，忽略凸輪的變形，由于存在上述一系列的假設，使得所建的模型與實際情況有所出入，故這里將借助ANSYS 軟件，建立考慮盡可能多影響因素的環(huán)板式行星分度凸輪機構的平面接觸模型，精確計算其受力及應力/應變分布情況。

2.1 有限元模型的建立

2.1.1 凸輪闊線的建立

根據(jù)共軛齒形的形成原理，按照所設想的傳動過程即:凸輪隨平行四邊形機構做沿逆時針方向旋轉的平動，針輪沿順時針方向做間歇運動，用矢量函數(shù)法可以得到凸輪的理論闊線。凸輪的實際闊線是以理論闊線為中心，以針輪的半徑為半徑形成的包絡線，即內、外等距曲線拼接而成的，可用內、外等距曲線所圍區(qū)域的布爾運算來求解，然后對尖點進行修緣，即得到凸輪的實際闊線(如圖1 所示)，其中凸輪廓線的設計參數(shù)見表1。

表1 機構設計參數(shù)表

2.1.2 有限元模型的建立

由于凸輪闊線非常復雜，所以采用自底向上的方法建模。首先由計算強大的Matlab 軟件求得凸輪闊線上二千四百個點的點陣坐標，設制輸出ANSYS承認的點陣坐標格式，進而編寫ANSYS 軟件的APDL 程序建模。

環(huán)板式行星分度凸輪機構的凸輪和針齒的材料參數(shù)和單元選擇如表2 所示。

表2 材料特性和單元類型

網(wǎng)格劃分是建模中非常重要的一個環(huán)節(jié)，網(wǎng)格劃分的好壞直接影響計算精度與計算效率。根據(jù)此凸輪機構的特殊性，凸輪和針輪嚙合過程中，與凸輪接觸的針齒個數(shù)是變化的，有八到十一個。所以接觸區(qū)域的網(wǎng)格細化，如圖7 所示。這樣不僅接觸區(qū)域符合計算要求，而且非接觸區(qū)域節(jié)省了計算時間。

圖7 接觸區(qū)域細化的網(wǎng)格

環(huán)板式行星分度凸輪機構的平面接觸模型的網(wǎng)格劃分如圖8 所示，對不同的分析位置，有限元模型的單元數(shù)和節(jié)點數(shù)有所差別，其平均單元數(shù)為25000，平均節(jié)點數(shù)為50000。

圖8 凸輪和針齒的網(wǎng)格劃分

2.1.3 識別接觸對

通過目標單元和接觸單元來定義模型在變形期間可能發(fā)生接觸的區(qū)域。原則:在能保證足以描述所需要的接觸行為的條件下，盡量定義更小的局部化接觸區(qū)域，以更有效地進行計算。所以明顯看出凸輪和針齒不接觸的，直接不設接觸對;接觸不易判斷的或凸輪在載荷作用下可能接觸的進行接觸設置。通過圖9 計算結果可以判斷已設置的接觸對中有兩對實際不接觸。

圖9 接觸狀態(tài)

針輪作為目標面，凸輪作為接觸面。目標面采用單元TARGE169，接觸面采用單元CONTA172。設置單元關鍵字:單位時間步長設置選擇自動二等分;初始穿透或縫隙的影響為包括由用戶指定的接觸表面便宜量，排除由初始幾何形狀引起的縫隙或穿透。將實常數(shù)穿透容差因子和初始靠近因子分別為0.5 和－2mm。

2.1.4 設置邊界條件和載荷

約束針輪:限制針齒圓心和附近節(jié)點的水平和垂直方向的移動，這樣針齒在受到接觸力下既不會移動也不會轉動。

約束凸輪:限制凸輪最外一圈所有節(jié)點在“徑向”方向的移動，這樣凸輪在力的作用下只能旋轉，不會移動。

施加載荷:對凸輪最外一圈的節(jié)點施加周向力，即對凸輪施加轉矩載荷。

2.1.5 定義求解選項和載荷步求解

指定分析類型為靜態(tài)分析。使用牛頓拉普森平衡迭代的算法，使在每個載荷增量的末端解達到平衡收斂。

2.2 有限元結果分析

為了模擬機構運行過程中凸輪與針齒的接觸情況，將機構輸入轉角的一個運動周期離散成36 等分，即對每隔10°的36 個離散位置分別進行接觸計算?？紤]到輸入轉角為180° ～360°時機構處于停歇期，其慣性負荷為零，故不對其進行計算。

經(jīng)過計算可以得到凸輪與針齒接觸的18 位置的應力云圖，由于篇幅限制這里僅列出其中6 個位置，如圖10 所示。

圖10 機構在分度期的應力云圖

從圖10 可以看出，上述各離散位置的接觸應力云圖具有一個共同的規(guī)律:凸輪——針輪嚙合區(qū)附近的應力值較大，而在非嚙合區(qū)域，尤其是遠離嚙合點的凸輪外緣處，其應力值甚小，近似為零。換言之，環(huán)板式行星分度凸輪機構在工作載荷作用下，只有在接近嚙合區(qū)的局部產(chǎn)生明顯的變形。

在環(huán)板式行星分度凸輪機構中，外載荷主要是機構從動件和后置執(zhí)行機構的慣性負荷。外載荷按照修正正弦的規(guī)律變化，當輸入轉角為25.2°時外載荷最大，其值為145Nm。經(jīng)分析可得外載荷最大位置處機構的應力云圖，如圖11 所示。由圖可知最大應力為11.3Mpa。

圖11 外載荷最大時的應力云圖

圖12 實際的最大應力位置

圖12 為θH=25.2°時凸輪與4 號針齒接觸的應力云圖，其中第1 號針齒位于坐標軸X 正向上，各針齒的序號以順時針方向依次排列。由圖可知，凸輪——針輪嚙合副的最大接觸應力并未發(fā)生在凸輪和針輪接觸點處，而是靠近凸輪廓線的齒根部位。究其原因，若其連接部分是直角時，最大彎曲應力應發(fā)生在拐角處，而實際上，凸輪的齒根部位是圓滑過渡的，從而使得最大應力點向上發(fā)生偏移。說明該類機構中凸輪齒的彎曲應力高于其接觸應力。

通過上述有限元法的分析結果可以提取每個離散位置處凸輪和針齒嚙合時的最大應力值。為便于比較，將上述結果繪制成表格，如表3 所示。

表3 凸輪和針齒在不同位置的最大應力(單位:MPa)

由表3 可以看出，在機構一個運動周期內，凸輪的最大應力發(fā)生在θH=130°時，其值為20.7MPa;針齒的最大應力發(fā)生在θH=60°，其值為16.9Mpa。二者的最大應力皆不發(fā)生在外載荷最大的時候(θH=25.2°或θH=158.4°，Tmax=145Nm)。究其原因，是由于在外載荷最大位置處，機構中參與嚙合的凸輪——針齒副嚙合對數(shù)較多，使得單對嚙合副上的載荷降低。

2.3 有限元法與理論計算結果的對照

無論是理論分析方法［7］，還是有限元法，都可以得到每個針齒在機構運轉一周內所受到的嚙合力大小。為便于比較，將兩種方法的結果分別繪制成曲線圖，如圖13 所示(篇幅所限，緊列出部分針齒的嚙合力和總嚙合力)。圖中，右側為有限元方法得到的嚙合力，左側圖為理論分析方法得到的嚙合力。第1 號針齒位于坐標軸X 正向上，各針齒的序號以順時針方向依次排列。

圖13 兩種方法嚙合力圖的對比

圖13 中橫坐標是機構運轉一周的無因次時間，縱坐標是嚙合力。從左右兩組圖的對比可以看出，由兩種模型求解出的應力曲線的變化趨勢基本相同，曲線的峰值和谷值的個數(shù)及對應的位置基本相同，其數(shù)值的大小也非常接近，只是前者的應力值要略高于后者的應力值。總體而言，兩種方法的結果比較吻合的。

但需要說明的是，本文采用的有限元法具有一些理論計算無法替代的優(yōu)點:

(1)有限元模型中考慮了機構中各個彈性環(huán)節(jié)的變形，更貼近實際的工作狀況，因而能更為準確地揭示機構的真實受力狀況。而理論模型中，凸輪——針輪的嚙合被近似為點接觸，其嚙合剛度低于實際值，因而使得所求出的接觸應力高于由有限元方法求出的應力值。

(2)有限元方法能夠揭示出機構中應力/應變的分布規(guī)律，能更全面地反映機構的受力狀況，能準確計算出最大接觸應力及其發(fā)生的部位，從而為結構設計和改進提供了可靠的力學依據(jù)。

3 結論

環(huán)板式行星分度凸輪機構通過SolidWorks2010中Motion 分析進行了動力學計算，又采用ANSYS 進行強度分析，得到如下結論:

(1)環(huán)板是環(huán)板式行星分度凸輪機構的主要設計零件，闊線設計符合預計的運動規(guī)律。最大應力發(fā)生在凸輪廓線靠近齒根的部位，而非凸輪和針齒的接觸點，說明該類機構中凸輪齒的彎曲應力高于其接觸應力，因此在設計該類機構時，應對凸輪齒的強度加以一定的考慮。

(2)針齒上安裝軸承時，軸承的強度要進行充分考慮。

(3)有限元方法比理論分析方法的優(yōu)點突出，能夠模擬實際的工作狀況，更為準確地揭示機構的真實受力狀況，為結構設計和改進提供了可靠的力學依據(jù)。

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