Walsh-Hadamard變換的含噪語音信號自適應(yīng)濾波

孫 明,吳鎮(zhèn)揚(yáng)

(1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 電子信息工程系,廣東 佛山 528000;2.東南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院 ,江蘇 南京 210096)

在語音信號處理中,噪聲的濾除是一個非常重要的步驟。由于噪聲在頻域?yàn)橐粚拵盘?頻譜分布較廣,常規(guī)的濾波器無法將其濾除。數(shù)字信號處理技術(shù)在濾波器設(shè)計(jì)、系統(tǒng)識別、語音預(yù)測等方面起著重要的作用,而傳統(tǒng)固定的濾波器設(shè)計(jì)不能快速、準(zhǔn)確地解決問題,無法滿足需求。在這種情況下,自適應(yīng)濾波器(Adaptive Filter)由于能夠得到比較好的濾波性能,因此被越來越廣泛地使用。自適應(yīng)濾波器一般使用最小均方差算法(Least Mean Square Error,LMS),該方法簡單、計(jì)算量小、易于實(shí)現(xiàn)且穩(wěn)定,成為最常用的方法之一,惟一的缺點(diǎn)是收斂速度太慢,對于時變系統(tǒng)(Time-Varying System)所造成的環(huán)境噪聲沒有很好的表現(xiàn)[1]。

傳統(tǒng)的線性 LMS算法是最基本的也是最容易實(shí)現(xiàn)的算法,如果要想得到更好的性能,必須對 LMS算法進(jìn)行改進(jìn),域變換是一條有效的改進(jìn)途徑。

目前,正交變換在語音和圖像處理中得到了廣泛的應(yīng)用[2-3]。

域變換的基本思想是:通過正交變換以降低其自相關(guān)程度,在變換域遞歸地估計(jì)各個采樣點(diǎn)的功率,并對自適應(yīng)濾波器的各個權(quán)系數(shù)均采用歸一化的收斂因子,從而使各個權(quán)系數(shù)都能獲得最佳的收斂速度[4]。

本文首先討論了時域 LMS算法及其收斂性能,然后對比分析了 LM S在Walsh變換域自適應(yīng)濾波的性能和特點(diǎn),最后通過仿真得出 LMS在不同變換域收斂性能的優(yōu)劣,并由此提出了未來自適應(yīng)濾波器發(fā)展的新方向。

1 變換域 LMS自適應(yīng)濾波

變換域自適應(yīng)濾波器是為了加快可適性濾波算法的收斂速度而提出來的一種方法[5]。簡單地說,變換域自適應(yīng)濾波器(TDAF)是一種變換系統(tǒng),其結(jié)構(gòu)如圖1所示。在將輸入信號送入自適性濾波處理之前,先用一個變換矩陣將其轉(zhuǎn)換到另一個數(shù)學(xué)域來處理。通常是利用正交變換,如離散傅里葉變換(DFT)、離散余弦變換(DCT)、Walsh-Hadamard變換(WHT)、Hartly變換等進(jìn)行變換,再應(yīng)用自適應(yīng)濾波算法進(jìn)行處理,如 LM S自適應(yīng)濾波器。

1.1 LMS自適應(yīng)濾波算法

自適應(yīng)濾波器能夠得到比較好的濾波性能。當(dāng)輸入信號的統(tǒng)計(jì)特性未知或者輸入信號的統(tǒng)計(jì)特性變化時,自適應(yīng)濾波器能夠自動地迭代調(diào)節(jié)自身的濾波器各參數(shù),以滿足某種準(zhǔn)則的要求,從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波[6]。

由Widrow和Hoff提出的基于最速下降法的最小均方誤差(LMS),因其具有計(jì)算量小、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)而在實(shí)踐中被廣泛采用。

LM S算法包含計(jì)算線性濾波器響應(yīng)、產(chǎn)生估計(jì)誤差的濾波過程和根據(jù)誤差自動調(diào)整濾波器參數(shù)的自適應(yīng)過程,其算法結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖 1變換域自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)

圖2 LMS自適應(yīng)濾波器算法結(jié)構(gòu)

在圖2所示的自適應(yīng)算法結(jié)構(gòu)中,輸入信號x[n]通過參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器后產(chǎn)生輸出信號y[n],將其與期望信號d[n]進(jìn)行比較,得到誤差信號e[n]。通過自適應(yīng)算法對濾波器參數(shù)進(jìn)行調(diào)整,最終使得e[n]的均方誤差最小,從而使濾波器性能達(dá)到最佳。

抽頭權(quán)向量的自適應(yīng)算法的迭代公式為

式 (1)中,_是步長因子,也稱收斂因子,決定收斂速度和穩(wěn)定性。 LMS算法收斂的條件為:0＜_＜1/λmax。其中λmax是輸入信號自相關(guān)矩陣 Rxx的最大特征值,Rxx=E{x[n]xT[n]}[7]。

由此可知,自適應(yīng) LMS算法的收斂速度與輸入信號的自相關(guān)矩陣特征值的分散程度有很大的關(guān)系。其分散程度愈大,算法的收斂速度愈慢;分散程度愈小,即信號愈接近白噪聲,算法的收斂速度就愈快。該算法的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡單,魯棒性強(qiáng);其缺點(diǎn)是收斂速度很慢。

1.2 沃爾什函數(shù)和沃爾什變換

沃爾什函數(shù)(Walsh Function)是將不完備的拉德梅克函數(shù)(Rademacher Function)加以完備化,從而形成一組完備的正交矩形函數(shù)組,定義為 wal(n,t)。其中t為時間,n為序數(shù),它們以一定的方式和頻率相聯(lián)系[8-9]。

拉德梅克函數(shù)表達(dá)式為 rad(m,t),在[0,1)半開區(qū)間內(nèi)有

拉德梅克函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù),其在 [0,1)區(qū)間具有2m-1個周期的矩形脈沖,取值為+1或-1,圖形依次為二倍頻關(guān)系,當(dāng)m=0時為單位脈沖。

沃爾什函數(shù)wal(k,t)的定義為

式(3)中,k為列率,t為時間變量,m為編號k的二進(jìn)制表示的位數(shù),sgn(x)為符號函數(shù)。其二進(jìn)制表示式為

式(4)中,kr為序數(shù)k的某種編碼,m為k的二進(jìn)制表示式的位數(shù)。

將沃爾什函數(shù)按其偶奇性質(zhì)分為奇對稱和偶對稱兩組,即

將沃爾什偶函數(shù)記作cal,奇函數(shù)記作sal,這樣定義的兩個Walsh函數(shù)就與傅里葉級數(shù)寫成余弦級數(shù)和正弦級數(shù)的形式更加類似。

離散函數(shù)x[k]的沃爾什變換對為

以Walsh函數(shù)為基礎(chǔ)的沃爾什變換對于信號與系統(tǒng)分析的變換域方法作了重要的補(bǔ)充。它只有加法和減法運(yùn)算并以+1和-1兩個離散值代替傅立葉變換中的復(fù)指數(shù)函數(shù),故Walsh變換比較容易實(shí)現(xiàn)而且速度很快。

1.3 沃爾什-哈達(dá)瑪變換

在眾多的正交變換中,最簡單的正交變換是沃爾什-哈達(dá)瑪變換(Walsh-Hadamard Transform,WHT)。

以Walsh函數(shù)為基礎(chǔ)的WHT為非正弦正交變換,以+1和-1這兩個離散值代替Fourier變換中的復(fù)指數(shù)函數(shù),只有加減運(yùn)算,具有存儲空間小、運(yùn)算速度快等突出優(yōu)點(diǎn),其硬件實(shí)現(xiàn)更為簡單,且有類似于FFT的快速算法,更適合于表達(dá)和處理數(shù)字信號。它在諸如通信、圖像處理、聲納、雷達(dá)、語音處理、雷達(dá)等許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[10-14]。

假設(shè)N=2n,輸入信號x(n)的 WHT為

式 (8)中 ,Wx(k)為第 k個 (WHT)w系數(shù) ,且WTx(n)=[Wx(0)Wx(1)… Wx(N-1)];Hw(n)為正交對稱矩陣,其逆變換為

式(9)中 Hadamard矩陣Hw(n)是以如下迭代形式變換

1.4 WHT的 LMS自適應(yīng)濾波

WHT自適應(yīng)濾波器在將輸入信號送入自適應(yīng)濾波處理之前,先進(jìn)行WHT,然后再應(yīng)用自適應(yīng)濾波算法進(jìn)行處理。

在圖2所示的變換域自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)中,經(jīng)過WHT后的輸入信號為N×N正交換矩陣,即

經(jīng)過自適應(yīng)濾波器的輸出信號為

式(14)中,wT= [wT,0(n) wT,1(n) … wT,N-1(n)]T為自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)向量,其估計(jì)誤差為

為了優(yōu)化濾波器的設(shè)計(jì),選擇e(n)為最小均方值,因此定義代價函數(shù)為均方誤差

式(16)中,RT=E[xT(n)xTT(n)]=TE[x(n)xT(n)]TT=TRTT,pT=E[d(n)xT(n)]=TE[d(n)x(n)]=Tp。

確定使a獲得最小值的運(yùn)行條件,代入方程得最小均方差(MSE)為

2 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

所用原始語音信號為時長1 s的“你好!”語音信號,采樣頻率為 8 kHz,并將產(chǎn)生的白噪聲加入到原始信號中。對圖 3所示含噪聲語音信號分別采用 LMS和WHT LMS兩種方法進(jìn)行處理。

圖 4為通過本文算法對信號進(jìn)行濾波后的結(jié)果。由圖 4可以看出,LMS方法雖然基本上去除了噪音,但有一定失真(圖4a);WHT LMS濾波方法能較好地去除噪聲,從聽覺效果上來說,去噪后基本上聽不出背景噪聲,與原語音非常接近(圖4b)。由此可知,WHT LMS算法濾波效果較 LMS算法好。

圖3 原始語音信號、含噪語音信號和噪聲

圖4 LMS和WHTLMS濾波語音信號

學(xué)習(xí)曲線是描述自適應(yīng)濾波器均方差和迭代次數(shù)的關(guān)系曲線。圖5、6分別為LMS和WHT LMS兩種濾波算法的學(xué)習(xí)曲線。由圖5、6可以明顯看出,使用WHT LMS濾波算法在100點(diǎn)左右就收斂了,而只使用LMS的濾波算法在2000點(diǎn)左右才收斂。由此可以看出,使用WHT LMS濾波算法比LMS濾波算法收斂速度要快得多。

圖5 LMS算法學(xué)習(xí)曲線

圖6 WHTLMS算法學(xué)習(xí)曲線

3 小結(jié)

傳統(tǒng)的線性 LMS算法是最基本的、也是最容易實(shí)現(xiàn)的算法。通過對 LMS算法進(jìn)行改進(jìn),能夠得到更好的性能,本文通過域變換方法進(jìn)行改進(jìn)LMS算法。由研究結(jié)果可以看出,使用WHT LMS的濾波效果比單獨(dú)使用LMS的要好,而且收斂速度也有了較大的提高。WHT LMS濾波算法具有收斂速度快、運(yùn)算復(fù)雜度高、數(shù)值穩(wěn)定性好等特點(diǎn),能有效地節(jié)省電路上所需的成本,加上收斂速度快的優(yōu)點(diǎn),可以對付環(huán)境噪聲的特性改變。因此,WHT LMS的自適應(yīng)濾波是一個非常有效的噪聲濾除算法。

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