UTM投影和Gauss-Krüger投影及其變換實現(xiàn)

周朝憲，房志峰，于彩虹，張云國，高應(yīng)波，燕丹晨，楊 強(qiáng)

(1.有色金屬礦產(chǎn)地質(zhì)調(diào)查中心，北京 100012;2.中色地科礦產(chǎn)勘查股份有限公司，北京 100012;3.北京礦產(chǎn)地質(zhì)研究院，北京 100012;4.山東政法學(xué)院信息科學(xué)系，山東濟(jì)南 250014;5.中國科學(xué)院遙感應(yīng)用研究所，北京 100101;6.國家海洋環(huán)境預(yù)報中心，北京 100081)

1 引言

所謂投影，包括2部分內(nèi)容，一是對地球這個橢球體參數(shù)最佳近似的理論化;二是把這個理論化的地球橢球體上的坐標(biāo)點(大地坐標(biāo)系的經(jīng)緯度)轉(zhuǎn)到(主要通過解析變換、數(shù)值變換和數(shù)值解析變換)(楊啟和，1986;呂曉華等，2002;夏蘭芳等，2007)平面坐標(biāo)(即方里網(wǎng))上。投影變換對于航天、航空、航海、建筑、軍事和地質(zhì)起著至關(guān)重要的作用，現(xiàn)實生活也一刻離不開投影變換。幾百年來，人們發(fā)明了各種投影算法，如面投影、線投影和角度投影(楊啟和，1981，1994a，1994b;Snyder，1987)等，但是各種投影都有其優(yōu)點也都有其缺點。無法保證角度、方向、長度和面積等同時不失真，只能顧及一部分而盡力抑制其他部分的失真。如Gerarus Mercator于1569年提出了墨卡托(Mercator)投影，盡管其投影后的長度和面積都失真，并且從赤道到兩極畸變越來越大，但是保證了在投影后任意一點上的角度和形狀不失真，如果循著墨卡托投影圖上兩點間的直線航行，方向不變可以一直到達(dá)目的地，因此它對飛行器和船艦在航行中的定位、確定航向都具有有利條件，給航行者帶來很大方便。墨卡托投影圖很利于導(dǎo)航，省去了大量畸變矯正計算。

在此基礎(chǔ)上，人們逐漸發(fā)展出橫墨卡托(Transverse Mercator，即TM)投影，TM投影的一個發(fā)展方向是正切的 Gauss-Krüger(高斯 －克呂格)投影，為前蘇聯(lián)、中國和德國等所采用，隨后又發(fā)展出另一種投影，即橫正軸割UTM(Universal Transverse Mercator，通用橫墨卡托)投影，現(xiàn)在為大部分國家所采用。尤其隨著地勘行業(yè)“走出去”的實施和加快，我們必須熟悉國外通用UTM坐標(biāo)。另外，GPS系統(tǒng)也越來越廣泛地使用于國內(nèi)建設(shè)，如國內(nèi)近些年開始廣泛使用的GPS接收機(jī)，再者，對任一點的大地經(jīng)緯度坐標(biāo)和Gauss-Krüger投影之間的轉(zhuǎn)換比較麻煩，尤其是到一個新區(qū)工作。而對任一點的大地經(jīng)緯度坐標(biāo)和UTM坐標(biāo)之間轉(zhuǎn)換相比十分簡便，不需要各個地區(qū)的特定校正參數(shù)。UTM投影替代Gauss-Krüger投影已成大勢所趨(沈本忠，1986;Li et al.，2003)。另外，我國的衛(wèi)星數(shù)據(jù)一般采用UTM投影。這些都對我們熟悉和掌握UTM坐標(biāo)提出了迫切要求，要求我們了解UTM投影，掌握其和大地坐標(biāo)以及Gauss-Krüger投影坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)換。但是，現(xiàn)在的國內(nèi)教科書，如2006年版的《控制測量學(xué)》(孔祥元等，2006)，也往往對UTM投影介紹得遠(yuǎn)不如Gauss-Krüger投影詳細(xì)。另外，我們國內(nèi)在對UTM投影和Gauss-Krüger投影原理的理解上往往有些偏差，在投影變換使用上還有些差距。本文在此試圖對此進(jìn)行簡單探討。

2 Gauss-Krüger投影

無論Gauss-Krüger投影還是UTM投影都是TM投影，TM投影不是球心透視橫圓柱投影(王正梅等，2002)①，在百度百科②上也把Mercator錯誤解釋成球心透視橫圓柱投影。因為前者是等角度投影，而后者是任意投影，不能保證其等角度。

圖1 Gauss-Krüger投影Fig.1 Gauss-Krüger projection

無論是UTM投影還是Gauss-Krüger投影都是等角投影(又稱正形投影)，即投影后的任意一點上長度與方向無關(guān)，依然保持投影后該點的微小圖形相似性。

Gauss-Krüger投影由 C.F.Gauss在進(jìn)行漢諾威地區(qū)的測量中提出(使用雙投影，即從橢球體投影到球體，然后投影到平面)，并由J.H.Krüger于1912年對其進(jìn)行了改正，采用單一等積投影(A single equivalent projection)，并做了進(jìn)一步數(shù)學(xué)推導(dǎo)而完成。Gauss-Krüger投影為橢圓柱橫軸正切地球橢球體，橢圓柱的中心通過橢球體。從而將橢球體上的點投影到橢圓柱上。正切線為中央經(jīng)線，將中央經(jīng)線兩側(cè)各3度(即6度帶投影)和1.5度(即3度帶投影)作為一個投影帶進(jìn)行投影。見圖1。

由此，Gauss-Krüger投影條件如下(楊啟和，1981;王正梅，2002;孔祥元等，2006):

(1)中央經(jīng)線和赤道投影為互相垂直的直線，并為其他經(jīng)緯線的對稱軸，離開赤道的緯線是弧線，凸向赤道。離開中央經(jīng)線的其他經(jīng)線是弧形，凹向中央經(jīng)線。離開中央經(jīng)線越遠(yuǎn)，變形越大。

(2)投影后無角度變形，即正形投影。

(3)中央經(jīng)線投影后無長度變形，即中央經(jīng)線圓為標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)線圓(standard line)。

據(jù)此可知其數(shù)學(xué)公式。其數(shù)學(xué)公式在很多文獻(xiàn)中都有論述，如楊啟和(1981)、孔祥元等(2006)、Deakin et al.(2010)、Kawase(2011)和 Dorrer(2003)，故不在此敘述。

3 UTM投影

UTM投影為美國陸軍工程兵測繪局(Army Map Service，US Army Corps of Engineers)于 20 世紀(jì) 40年代提出(Langley，1998)。當(dāng)時對美國本土采用Clarke 1866橢球體，對全球其它地方，包括夏威夷，采用國際橢球體(International Ellipsoid)。韓國建等(1994)所說的UTM采用Clarke 1866橢球體是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。UTM投影現(xiàn)在采用WGS(World Geodetic System)84橢球體(其最新版為2004年修訂的EGM(Earth Gravitational Model)96③。

UTM投影為橢圓柱橫正軸割地球橢球體，橢圓柱的中心線位于橢球體赤道面上，且通過橢球體質(zhì)點，從而將橢球體上的點投影到橢圓柱上。兩條割線圓在UTM投影圖上長度不變，即2條標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)線圓。兩條割線圓之正中間為中央經(jīng)線圓，中央經(jīng)線投影后的長度為其投影前的0.999 6倍，比例因子k=投影后的長度/投影前的實際長度。則標(biāo)準(zhǔn)割線和中央經(jīng)線的經(jīng)度差為 1.620 6°，即 1°37'14.244″。參見圖2。具體推導(dǎo)為:

中央經(jīng)線投影的比例因子k=0.999 6，即為中央經(jīng)線圓(通過地球橢球體質(zhì)點O、南北極N和S以及O'C的圓)圓周長的0.999 6倍為其同心圓(即弧段 N標(biāo)O—O'T—S標(biāo)O，圓心為地球橢球體質(zhì)點 O，叫做中央標(biāo)準(zhǔn)圓，即圖2中圓心為O點的紅色圓)圓周長。這樣N標(biāo)O—O的長度(表示為N標(biāo)OO，下同，略)=地球極半徑RP(即NO)的0.999 6倍。N標(biāo)OO=N標(biāo)EO標(biāo)E(O標(biāo)E為線 N標(biāo)ES標(biāo)E和線 WE 的交點)，則:

sin(α)=N標(biāo)EO標(biāo)E/R標(biāo)=N標(biāo)OO/R標(biāo)=0.999 6 ×RP/R標(biāo)

式中α為角N標(biāo)E—O－E，即點N標(biāo)E的緯度。R標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)割線圓上(也在地球橢球體表面上)N標(biāo)E的地球橢球體半徑。

由于緯度很高，接近90°，故可做近似RP=R標(biāo)，則

sin(α)=0.999 6 ×RP/R標(biāo)=0.999 6，則

α =88.379 4°

可以算出橫正軸割橢圓柱與地球橢球體割線的緯度為 88.379 4°N 和88.3794°S(如圖2)。而一些學(xué)者，如韓國建等(1994)、孫立東(2008)、陳悟天(2010)、劉明波等(2010)和熊忠招(2010)等認(rèn)為，橢圓柱割地球于80°S和84°N。從我們的計算來看，他們的此種觀點是錯誤的。退一步講，如果他們的觀點是對的，則正軸割的條件不能成立，即橢圓柱中心線不在橢球體赤道面上并通過橢球體質(zhì)點。何況這樣的話，也不符合UTM的投影條件。

這樣，可以求出兩個標(biāo)準(zhǔn)割圓和中央經(jīng)線圓之間的距離 N標(biāo)ON標(biāo)E為:

N標(biāo)ON標(biāo)E=RE×sin(90°－88.3794°)=RP×sin(90°－88.3794°)=179 776 m。

式中，極半徑 RP=6 356 752.314 245 m(根據(jù)WGS 84地球橢球體參數(shù)③)。

即標(biāo)準(zhǔn)割線圓在UTM投影上距離中央經(jīng)線距離為179.776 km(見圖3)。這樣，陳悟天(2010)所說在UTM投影帶中央經(jīng)線兩側(cè)330 km處各有一個標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)線是錯誤的。

每個UTM投影帶為經(jīng)度6°。對一個窄經(jīng)度(如6°)帶投影而言，Gauss-Krüger投影以其中央經(jīng)線保持長度不變，而向中央經(jīng)線兩側(cè)逐漸變形，明顯不如UTM保持中央經(jīng)線縮短至0.999 6，而出現(xiàn)2條長度不變的子午線的整個投影帶上的長度變形合理，改善了該6°帶內(nèi)長度投影變形分布(圖3)。這也是UTM投影相比Gauss-Krüger投影的長處之一。

由此，UTM投影除了中央經(jīng)線投影后長度縮短0.0004，其兩側(cè)的兩條割線的長度無變化外，和Gauss-Krüger投影條件基本一樣(楊啟和，1981;王正梅;2002;孔祥元等，2006;)。其數(shù)學(xué)推導(dǎo)公式在很多文獻(xiàn)中都有論述，如，Dozier(1980)、Osborne(2008)和 Deakin et al.(2010)。故亦不在此敘述。

從赤道隨著緯度的增加，收斂角(即真北和UTM投影北的夾角)越來越大。為保證投影的精度及大陸地區(qū)投影的一致性，UTM投影僅適用于緯度84°N和80°S的范圍(這個范圍覆蓋了除南極洲外的幾乎所有陸地)。

圖2 UTM投影Fig.2 UTM projection

4 UTM投影和Gauss-Krüger投影異同

圖3 經(jīng)線圈長度投影變形因子k隨該經(jīng)線圈與中央經(jīng)線的距離x的變化Fig.3 Variation of k with the distance x from the central meridian

4.1 Gauss-Krüger投影分帶和UTM投影分帶及其帶號

二者同屬TM投影，其根本性的區(qū)別在于其數(shù)學(xué)公式的區(qū)別。我們在此僅僅討論應(yīng)用中二者的差異，以利于工程使用。以前國內(nèi)說的3度帶和6度帶是指Gauss-Krüger投影而言，6度帶起始經(jīng)度0°，即0～6°E為6度帶帶號為1，沿著赤道經(jīng)線一次向東類推，帶號也一次增加。3度帶起始經(jīng)度為1.5°E，即1.5 ～4.5°E 為3 度帶，帶號為1，以此類推，共120帶。

UTM分帶的起始經(jīng)度為180°W。即180°W～174°W，其帶號為1，依次向東逐個累加。和Gauss-Krüger 6度帶投影一樣，也是全球共分60個6度帶。

4.2 Gauss-Krüger投影和 UTM 投影偽偏移

兩種投影的東偽偏移都是 500 km，Gauss-Krüger投影北偽偏移為零，UTM北半球投影北偽偏移為零，南半球則為10，000 km(見圖4)。

圖4 一個UTM投影6度帶(據(jù)Langley(1998)修改)Fig.4 An UTM projection 6 degree zone(modified from Langle，1998)

4.3 Gauss-Krüger投影和UTM投影x和y坐標(biāo)

UTM投影與Gauss-Krüger投影的x和y坐標(biāo)是相反的，即UTM投影中x和y分別為經(jīng)向和緯向數(shù)值(圖2和圖4)，而Gauss-Krüger投影中x和y分別為緯向和經(jīng)向數(shù)值(圖1)。具體原因源自于其投影數(shù)學(xué)公式，亦可參見圖1、圖2和圖4。

5 投影變換實現(xiàn)

UTM投影與Gauss-Krüger投影相比，中央經(jīng)線的長度比為0.999 6，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)換算比較復(fù)雜，手工計算基本是不能實現(xiàn)的，常借助于軟件來實現(xiàn)。有人提出了簡易的算法公式，但是因為簡易公式得出的結(jié)果是，這兩種投影數(shù)學(xué)公式的差異差別300 m。這在實際工作中是不可以接受的。

我們國內(nèi)常用的MapGIS軟件沒有UTM投影，且不怎么適用于國外的經(jīng)緯度，如沒有南半球緯度。ArcInfo軟件無國內(nèi)現(xiàn)用的Gauss-Krüger投影。相比之下，MapInfo?(2010 Pitney Bowes Software Inc.)兼有包括UTM投影和Gauss-Krüger投影在內(nèi)的眾多投影，且市場占有率較大，易于獲得。故此本文采用MapInfo? Professional版本10.5來探討一下如何快速實現(xiàn)批量投影變換，其步驟如下:

(1)將數(shù)據(jù)輸入或者轉(zhuǎn)成Excel文件(如文件名字為“坐標(biāo)變換.xls”)，使用 MapInfo?打開“坐標(biāo)變換.xls”文件。生成“坐標(biāo)變換.TAB”，關(guān)閉MapInfo?。然后重新打開“坐標(biāo)變換.TAB”文件。點擊“表 －創(chuàng)建點(Create Points)”，確認(rèn)投影為“Longitude/Latitude(WGS 84)”(這里先以經(jīng)緯度為例轉(zhuǎn)成UTM方里網(wǎng)過程為例簡要描述)，并設(shè)置x和y相對應(yīng)的經(jīng)緯度坐標(biāo)列，設(shè)置生成點的樣式，生成點對象，并將生成的點對象另存為“坐標(biāo)變換A.TAB”文件。然后關(guān)掉MapInfo?。

此時注意確認(rèn)投影(Projection)橢球體，如UTM投影采用WGS 84橢球體(圖5)，并進(jìn)一步指出投影所屬的帶號和南北半球。有些地圖的經(jīng)緯度使用的不是WGS 84橢球體。遇到此種情況，在圖5的“投影”(Projection)中選區(qū)正確的投影橢球體。如非洲有些國家的地圖使用Arc 1960體系，則圖5中應(yīng)該選擇“Longitude/Latitude(Arc 1960)”，如不加以改正，將相對于選擇“Longitude/Latitude(WGS 84)”橢球體將產(chǎn)生數(shù)值向NNW偏移281 m。

(2)重新打開“坐標(biāo)變換 A.TAB”文件，點擊“表－更新列(Update Column)”，使用對話框(如圖6)對UTM投影x和y坐標(biāo)列分別進(jìn)行更新，得到UTM投影的方里網(wǎng)x和y坐標(biāo)(圖7)。可以導(dǎo)出所得坐標(biāo)。

對方里網(wǎng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)成經(jīng)緯度坐標(biāo)步驟基本同上，只是在上述第二步“創(chuàng)建點”時采用UTM投影或Gauss-Krüger投影，第三步“更新列”時采用經(jīng)緯度投影。

圖7 得出的UTM投影x和y坐標(biāo)對話框Fig.8 Dialogue box for resulted UTM projection x and y coordinates from longitude and latitude

使用中國境內(nèi)購買的正規(guī)漢化版MapInfo?Professional版本10.5求出的TAB文件中，對南半球的點，其數(shù)據(jù)有時沒有對UTM投影y坐標(biāo)北偽偏移10，000 km校正。使用中國境內(nèi)銷售的正規(guī)MapInfo?Professional版本10.5軟件時注意此問題，要手工對得出的y坐標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行北偽偏移改正。但是在其MAP文件中的實際投影點卻無此毛病。發(fā)現(xiàn)此問題后，本文采用MapInfo? Professional版本10.5的英文版簡易漢化版進(jìn)行的變換。

表1 大地坐標(biāo)和UTM投影坐標(biāo)變換結(jié)果(WGS 84)Table 1 Results of conversion from WGS 84 ellipsiod longitude and latitude to UTM WGS 84 coordinates and vice versa.

6 結(jié)論

UTM投影與Gauss-Krüger投影都是正形橫墨卡托投影。Gauss-Krüger投影是橢圓柱橫正軸切地球橢球體，投影后中央經(jīng)線長度不變，從投影原點隨著緯度和經(jīng)度增加，投影后的長度、面積等畸變逐漸增大。

UTM投影為橢圓柱橫正軸割地球橢球體，從中央經(jīng)線圓投影比例因子k為0.999 6倍，向兩側(cè)k逐漸增大，到距離中央經(jīng)線179.776 km(WGS 84橢球體)，即經(jīng)度差1.620 6°，即為兩條標(biāo)準(zhǔn)割線圓的位置，該割線圓在UTM投影圖上k=1。向外長度以及面積畸變逐漸變大。向南北兩極收斂角也逐漸增大，為保證投影精度在一定范圍內(nèi)及使用方便，UTM投影只適用于80°S和84°N的緯度范圍內(nèi)。

兩種投影的偽偏移也不同以及x和y表達(dá)方式不同。

使用MapInfo?可以很簡單快速地實現(xiàn)大地坐標(biāo)和UTM投影以及Gauss-Krüger投影坐標(biāo)之間的大批量數(shù)據(jù)的相互轉(zhuǎn)換。

致謝 在論文的撰寫過程中得到中國科學(xué)院遙感應(yīng)用研究所劉少創(chuàng)研究員和張爍的寶貴建議，姜高珍和甘鳳偉博士以及匿名審稿人等提供了協(xié)助，在此表示感謝。

［注釋］

① Mercator’s Projection［EB/OL］.http://www.math.ubc.ca/～ israel/m103/mercator/mercator.html.2012 －12 －01.

② 墨卡托投影［EB/OL］.http://baike.baidu.com/view/301981.htm.2012－12－01.

③ World Geodetic System［EB/OL］.http://en.wikipedia.org/wiki/World_Geodetic_System#cite_note－2.2012－12－01.

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